WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 43 |

Согласно тригонометрической диаграмме (рис. 3), главные значения сферических углов, как и ранее (гл. 5), берутся в интервале = - /2 + /2. При этом значения сферического косинуса и секанса для них неотрицательны. Поэтому тождества (331) можно дополнить ещё двумя аналогами:

cos sch 0, sec ch 0. (332) При тригонометрических преобразованиях планаров и двухвалентных тензоров вполне достаточно использовать вышеуказанный интервал для собственных сферических углов. На тождествах (331) базируется сферическо-гиперболическая аналогия конкретного типа.

Она же есть синус-тангенсная аналогия. В её тензорном варианте, или с тождествами по бинарным клеткам, эта аналогия представляется в виде:

sin Ф th Г, tg Ф sh Г, (333) сos Ф sch Г, sec Ф ch Г (i = - /2 + /2, i = - + ).

Далее в исходном единичном базисе 1 она распространяется на все типы тригонометрических матриц-функций:

Def Ф Roth Г, (334) Rot Ф Defh Г. (335) Отсюда следует функциональная связь обоих углов моторного типа:

Г = Г(Ф) = ln Def Ф, iФ = iФ(Г) = ln Defh Г. (336) Характеристические рефлекторы (178), (179), (211), (212) в том же варианте принимают вид:

Ref {BB} = sch Г - th Г, (337) В В Ref {BB} = sch Г + th Г, (338) В В Ref {B} = ch Г - i sh Г, (339) В В Ref {B} = ch Г + i sh Г. (340) В В § 6.2. Сферическо-гиперболическая аналогия конкретного типа II ch tg x2 – y2 = i2 ch F + () sh sh C tg th () ch sin ch C C I III R() R () + + cos C F O C ch F sh sh x2 – y2 = x2 – y2 = 2 C C ch ch / C / + sh F x2 – y2 = iIV Рис. 3. Тригонометрическая диаграмма на плоскости псевдоплоскости в / правом универсальном базисе и сферическо-гиперболическая аналогия:

- сферический угол, - гиперболический угол;

I, II, III и IV суть 1-й, 2-й, 3-й и 4-й гиперболические квадранты для отображения скалярных гиперболических углов на псевдоплоскости;

и - положительный и отрицательный углы гиперболической ротации в универсальном базисе, определяемые парой вещественных гипербол, как примеры в 1-м и 3-м квадрантах;

() и () - примеры сферическо-гиперболической аналогии синустангенсного типа (во 2-м квадранте);

R() и R() - примеры сферическо-гиперболической аналогии тангенс-тангенсного типа (в 3-м квадранте);

в 4-м квадранте даны примеры бисекции (слева) и удвоения (справа) гиперблического угла в универсальном базисе с использованием вышеуказанных аналогий.

114 Глава 6. Тензорная псевдоевклидова тригонометрия С использованием сферическо-гиперболической аналогии обоих типов моторные матрицы-функции преобразуются друг в друга по нижеуказанному квартовому кругу:

Rot (iГ) Defh (- iФ) Roth Г Def Ф (341) Rot Ф Defh Г Roth (- iФ) Def (iГ).

Для тригонометрически согласованных гиперболических ротационных матриц и ортогональных рефлекторов действуют Правила №2 и №3 (§ 5.6). Для скалярных тригонометрических функций правила выполняются автоматически, так как у них n = 2. В частности, имеем:

m m m (sec i ± tg i)hi (ch i ± sh i)hi = exp ( ± hi i ) = exp = i = 1 i = 1 i = = ch + sh sec + tg (- /2 + /2).

Синус-тангенсная аналогия позволяет придать гиперболически ортогональную форму ранее рассмотренным собственным аффинным проекторам, квазиобратной матрице и рефлекторам, получая те же соотношения, что и для сферических прототипов, но в гиперболическом варианте, а именно:

Ref {B}· Ref {B} = (ch Г + sh Г ) · ( ch Г - sh Г ) = Roth 2ГB. (342) В В В В То есть двукратная рефлексия типа {( I )h· ( I )h}, где ( I )h ( I )h – простой несимметричный корень, есть гиперболическая ротация по аналогии с (245):

1/Roth ( ГB ) = [(ch Г i·sh Г ) · ( ch Г i · sh Г )]. (343) В В В В Здесь из матрицы в квадратных скобках извлекается арифметический корень и он же в данном случае гиперболический тригонометрический корень, аналогичный сферическому. Для пары неориентированных векторов или планаров ранга 1 при условии a1·a2 0 однозначно вычисляется собственная элементарная ротационная матрица ( =1):

1/Roth Г12 = [(I - 2 · a2a1) · (I - 2 · a1a2)] = (344) 1/a1a2 a2a1 a2a= [I - 2 · ( + ) + 4ch2 12· ], a2a1 a1a2 a2aa2a1 a1aгде a2a1 = a1a2 = a1a2, a2a1, в том числе a1 = e1, a2 = e2.

§ 6.2. Сферическо-гиперболическая аналогия конкретного типа С использованием формулы взаимосвязи углов (336) вычисляется тензорный сферический угол B в соотношении (288):

Def ФB Roth ГB, B = - i·ln {Defh [2ln (Def ФB )]}.

Def B Roth 2ГB, Согласно синус-тангенсной аналогии, срединный рефлектор тензорного угла выражается в 4-х тождественных вариантах:

Ref {cos Ф} = Ref {sec Ф} Ref {ch Г} = Ref {sch Г}. (345) Умножая матрицы в квартовом круге (341) справа на срединный рефлектор, переходим к квартовому кругу для рефлекторов. Повторив эту операцию, возвращаемся к исходному моторному варианту. Также нетрудно получить формулы-аналоги (336) для взаимосвязи между проективными углами. Изначально проективные гиперболические углы и функции можно определить по формулам проективной евклидовой тригонометрии, но с использованием синус-тангенсной аналогии. Применяя её же к модальным преобразованиям (303), (304), получаем соотношения, родственные (252), (302):

Ref{B}=Roth ГB·Ref{B}·Roth (- ГB) = Ref{ch Г }·Ref{B}·Ref{ch Г }, (346) В В B = Roth ГB· B · Roth(- ГB) = Ref {ch Г }· B · Ref {ch Г }. (347) В В На множестве ротационных модальных матриц ‹TB›, выполняющих операции типа (346), (347), матрица Roth ГB, получаемая однозначно из (343), имеет тригонометрическое подпространство минимальной размерности. Теперь стало возможным также вычислить ротационный вариант модальной матрицы для приведения собственных аффинных проекторов к диагональной форме, то есть развивая дальше (311), (312):

Rw · Roth ГB 2 · B · Roth (- ГB 2) · Rw = D{B}, / / (348) Rw· Roth (- ГB 2) · B· Roth ГB 2 · Rw = D{B}.

/ / § Точно также, как в тензорной евклидовой тригонометрии -см. в 5.формулы (249), (251), - здесь соотношения (346), (347) имеют место для общих ротационных матриц из множества ‹TB› ‹ Roth ГB· Rot B› с учётом транспонирования. Причём B – сферический угол ортогональной ротации по отношению к ГB, или ортосферический угол. Для этих тензорных углов и только для них выполняются соотношения:

116 Глава 6. Тензорная псевдоевклидова тригонометрия Roth ГB·Ref{ch Г }·RothГB= Ref{ch Г } = Roth(-ГB) ·Ref{ch Г }· Roth(-ГB), В В В (349) Rot B·Ref{ch Г }·Rot B = Ref{ch Г } = Rot B·Ref{ch Г }·Rot B.

В В В Соотношения (349) лежат в основе как ротационной псевдоевклидовой тригонометрии с вышеуказанным срединным рефлектором в качестве вводимого независимо рефлектор-тензора, так и внешней гиперболической геометрии. Последняя по существу есть общая геометрия постоянной отрицательной кривизны (с гиперболической тригонометрией в ней). Эта геометрия реализуется на специальных гиперболоидах, вложенных в псевдоевклидово пространство, задаваемое рефлектор-тензором и псевдоевклидовой метрикой.

§ 6.3. Фундаментальный рефлектор-тензор в квазиевклидовой и псевдоевклидовой интерпретации Применению гиперболических и сферических матриц в тензорной тригонометрии и в теории собственных проекторов нужно дать надлежащее обоснование, имея ввиду используемые метрические пространства и допустимые в них преобразования базисов. Выберем в исходном арифметическом (аффинном) пространстве координатный базис с единичной матрицей вектор-столбцов 1 = {I}. Далее вводим в этом пространстве совершенно независимым образом рефлектортензор Ref { I}S, который придаёт ему, в частности, определённую ориентацию. Во-первых, в этом пространстве как исходно аффинном допускается операция параллельного переноса, в том числе базиса. Вовторых, определим в 1 ротационные преобразования 3-х типов:

‹Rot Ф›: Rot Ф · { I}S · Rot Ф = { I}S = Rot (- Ф) · { I}S· Rot (- Ф) – основные сферические ротации, ‹Roth Г›: Roth Г · { I}S · Roth Г = { I}S = Roth (- Г) · { I}S · Roth (- Г) – гиперболические ротации, ‹Rot ›: Rot · { I}S · Rot = { I}S = Rot · { I}S · Rot – ортогональные сферические ротации (по отношению к предыдущим двум).

n + q Квазиевклидово пространство ‹Q › (ориентированное) определяется евклидовой квадратичной метрикой и рефлектор-тензором { I}S, задающим допустимые преобразования, в том числе базиса, вида:

= Rot Ф · Rot · 1. (350) Это суть ротационно связанные квазидекартовы базисы. Именно в таком пространстве воплощается квазиевклидова тригонометрия в правых квазидекартовых базисах.

§ 6.3. Фундаментальный рефлектор тензор n + q Псвдоевклидово пространство ‹P › (ориентированное) определяется псевдоевклидовой квадратичной метрикой и рефлектортензором { I}S, задающим допустимые преобразования, в том числе базиса, вида:

= Roth Г · Rot · 1. (351) Это суть ротационно связанные псевдодекартовы базисы. Именно в таком пространстве воплощается псевдоевклидова тригонометрия в правых псевдодекартовых базисах.

Кроме того, определим универсальные базисы (правые):

· 1u = I, 1u ‹1u› ‹Rot · 1› ‹Rot › (det 1u = + 1) (352) ·{ I}S·1u = { I}S.

1u В частности, сюда входит исходный единичный базис 1 = {I}, то есть простейший по форме. Универсальные базисы принадлежат пересечению множеств ротационно связанных базисов обоих вышеуказанных типов. Благодаря этому в них реализуется совместно квазиевклидова и псевдоевклидова тригонометрия, а, следовательно, и сферическо-гиперболическая аналогия конкретного типа. (Например, в теории относительности в универсальных базисах описывается движение с точки зрения относительно неподвижного наблюдателя.) Пусть B – нуль-простая матрица какого-то линейного преобраn зования в ‹A ›. Введём рефлектор-тензор, равный срединному рефлектору её характеристического тензорного угла, с переходом при этом в ориентированное псевдоевклидово пространство:

{ I}S = Ref {cos Ф } Ref {ch Г }. (353) B B В любом универсальном базисе, в том числе в {I}, проекторы BB и BB сферически ортогональны друг к другу, то есть BB · I · BB = Z, а проекторы B и B гиперболически ортогональны друг к другу с учётом (347), то есть (B) · Ref {ch Г } · B = Ref {ch Г } · B · B = Z.

B B Соответственно B- есть гиперболически ортогональная квазиобратная матрица. Подпространства ‹im B› и ‹ker B› образуют гиперболически ортогональную прямую сумму тогда и только тогда, когда B нуль-простая. Для проекторов B и B собственные векторы 118 Глава 6. Тензорная псевдоевклидова тригонометрия или подпространства, относящиеся к различным собственным значениям («+1» и «0»), гиперболически ортогональны. Эквиранговые проекторы B и B (B и B) и связанные с ними планары преобразуются друг в друга гиперболической ротацией (347) как гиперболически ортогональные тензоры и тензорные объекты валентности 2. Проектор B проецирует гиперболически ортогонально на ‹im B›, а проектор B проецирует гиперболически ортогонально на ‹ker B›. Сферически и гиперболически ортогональные собственные проекторы принадлежат своим подмножествам множества идемпотентных матриц. Здесь ‹BB› - симметричные, а ‹B› - несимметричные идемпотентные матрицы.

Соответствующую гиперболическую трансформацию претерпевают проективные формулы (186) – (197). В символическом октаэдре (рис.1), проведя диагональ RS, с учётом (347) имеем два псевдоравнобедренных тензорных треугольника RZS и RIS с равными гиперболическими углами RZS RIS ГВ.

Для гиперболически ортогональной ротационной матрицы имеют место аналоги формул Муавра и Эйлера:

Rothm Г = ch {mГ} + sh {mГ} = exp {mГ} = Roth {mГ}.

Её свойства, безотносительно к углу ротации, те же, что у деформационной сферической матрицы. Она симметрична и положительно определена: 2j = ch j + sh j > 0, 2j +1 = 2j-1 = ch j - sh j > 0 и, возможно, к = + 1. Любое положительное число и мультипликативно обратное ему взаимно-однозначно представляются через скалярный гиперболический угол, в том числе в форме 22-матрицы.

Естественное обобщение бинарной гиперболической ротационной матрицы есть положительно определённая симметричная матрица с единичным детерминантом. В тригонометрическом базисе она разбивается на единичный блок и специальные симметричные клетки с единичными детерминантами. В базисе диагональной формы она представляется как S = exp {ii}, где по клеткам ii = 0. Согласно полярному разложению, приведённое модальное преобразование V без рефлексий двухвалентных тензоров представляется произведением сферической и обобщённой гиперболической ротационных матриц при одной и той же ориентации базиcа, то есть det V > 0.

В псевдоевклидовой геометрии, как и в евклидовой, применяются матрицы только бинарной тригонометрической структуры.

В случае ориентированного псевдоевклидова пространства для приведения Roth Г к W-форме используется матрица RW, выходящая из множества матриц, согласованных с рефлектор-тензором { I}S ‹W›.

§ 6.4. Гиперболическая тригонометрия на псевдоплоскости Но заметим, что некоторая модальная матрица RW приводит cовместно Roth Г к W-форме и { I}S к D-форме:

RW· (RW · Roth Г· RW) · (RW ·{ I}S· RW) · RW = {I } ch sh j + 1 j = RW· · sh j ch j 0 – 1 · RW, ++так как, согласно (330), Roth Г·{ I}S = { I}S· Roth (– Г) и действует Правило № 3.

§ 6.4. Скалярная тригонометрия на псевдоплоскости Диагональный рефлектор-тензор {I } (см. выше) отвечает неориентированному пространству, бинарная структура которого согласована с координатными осями. В тригонометрическом базисе гиперболическая ротационная матрица Roth Г имеет каноническую W-форму (324).

С другой стороны, для i-й 22-клетки две асимптоты квадрогиперболы, или главная и побочная диагонали тригонометрического базиса на i-й псевдоплоскости (рис. 3) задают две координатные оси её же диагональной формы. Ввиду согласованности рефлектор-тензора с ротационными матрицами эти две асимптоты с квадрогиперболой остаются на месте при гиперболическом ротационном преобразовании соответствующей им псевдоплоскости. В исходном псевдоевклидовом пространстве размерности более двух этим геометрическим объектам, как известно, отвечают изотропный конус (асимптотическое плоское подпространство) и вложенные в него полостные гиперболоиды. На какой-либо i-й псевдоплоскости данного пространства, рассекающей гиперболоиды по квадрогиперболе (рис. 3), осуществляется чисто гиперболическая ротация, соответствующая i-й 22-клетке Roth Г.

Отсчёт значений скалярных собственных углов i выполняется во всех гиперболических квадрантах в направлении к главной диагонали. Гиперболический угол, как известно, измеряется либо псевдоевклидовой длиной дуги гиперболы, либо удвоенной площадью гиперболического сектора на псевдоплоскости (при R = 1):

l = R (d sh ) - (d ch )2 = R (2 - 1), 120 Глава 6. Тензорная псевдоевклидова тригонометрия 2 S = R · [ 2 ] = / R · (2 - 1).

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.