WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 43 |

В B В Эти модальные формулы нетрудно проверить через таблицу умножения характеристических проекторов (см. § 5.2). Формулы (302), (304), (306) – примеры модального преобразования, осуществляемого либо ротационной, либо рефлективной, либо симметричной тригонометрическими матрицами, но с одинаковым результатом.

В обратном порядке изложения все характеристические проекторы представляются через соответствующие им пары антикоммутативных проективных тригонометрических функций, заданных как бы самостоятельным образом:

A1A1 = 1/2 · (I + cos Ф - sin Ф) = BB, A1A1 = 1/2 · (I - cos Ф + sin Ф) = BB, (307) A2A2 = 1/2 · (I + cos Ф + sin Ф) = BB, A2A2 = 1/2 · (I - cos Ф - sin Ф) = BB;

B = 1/2 · (I + sec Ф - i tg Ф) = A1A2, B = 1/2 · (I - sec Ф + i tg Ф) = A1A2, (308) B = 1/2 · (I + sec Ф + i tg Ф) = A2A1, B = 1/2 · (I - sec Ф - i tg Ф) = A2A1.

104 Глава 5. Тензорная евклидова и квазиевклидова тригонометрия Отсюда непосредственно следует применимость и для проекторов принципа бинарности. Множество всех характеристических ортопроекторов и множество всех симметричных идемпотентных матриц одного и того же ранга тождественны. Множество всех характеристических косопроекторов и множество всех несимметричных идемпотентных матриц одного и того же ранга тождественны. При условии {det cos Ф 0 det sec Ф } пары ‹BB, BB› и ‹B, B› взаимнооднозначно соответствуют друг другу.

Представим ортопроекторы в тригонометрической W-форме, со-ласно (307). Используя бинарные соотношения, вычислим модальные матрицы, приводящие ортопроекторы к диагональной форме. Например, для ортопроектора BB имеем:

Rot ФВ BB Rot ФВ D{BB} /2 /cos i /2 – sin i /2 1 + cos i – sin i cos i /2 sin i / 1 ·1 2 · =.

/ sin i /2 cos i /2 – sin i 1 - cos i – sin i /2 cos i /2 0 – Или в матричной форме: V · BB · V = D{BB}. В исходном ортоcolI colI гональном базисе {RW} эта же модальная матрица выражается как V = Rot (- ФВ W = RW ·{R ·Rot (- ФВ W}, (309) colI /2) · R /2) · R W где в фигурных скобках дана ротационная матрица в вышеуказанной W-форме. В свою очередь, собственным подпространствам ‹im B› и ‹ker B› соответствуют системы ортогональных собственных векторстолбцов этой же модальной матрицы:

0 sin i / cos i /biI = RW·, diI = RW·.

cos i - sin i //0 Аналогичным образом устанавливается модальная матрица из вектор– столбцов для приведения BB к D-форме (V · BB ·V = D{BB}), colII colII а именно V = Rot ФВ W = RW ·{R ·Rot ФВ W}. (310) colII /2 · R /2 · R W Собственным подпространствам ‹im B› и ‹ker B› соответствуют здесь системы ортогональных собственных вектор-столбцов указанной модальной матрицы:

§ 5.12. Элементарные тензорные сферические ротации 0 cos i /2 – sin i /biII = RW·, diII = RW·.

sin i cos i /2 /0 Что же касается тригонометрических модальных матриц для диагонализации косопроекторов, то они будут вычислены в гл. 6 с применением сферическо-гиперболической аналогии. Сейчас же пока мы ограничимся формулами с использованием арифметических корней, но модальные матрицы в них теряют сферическую тригонометрическую природу:

{R }· B ·{ Def (- ФB ) · RW} = D{B}, (311) W · Def ФB {R )}· B ·{ Def ФB· RW} = D{B}. (312) W · Def (- ФB § 5.12. Элементарные тензорные сферические тригонометрические функции В евклидовом или в квазиеклидовом пространстве выделим группу централизованных непрерывных движений. Такого рода движения известны как однородные. В данном случае они задаются сферическими ротационными матрицами. Как было показано ранее – см. формулы (245), (246), такие движения для точечных элементов, векторов, прямых и гиперплоскостей в декартовом базисе задаются однозначно сферической ротационной матрицей с единственной тригонометрической 22-клеткой. Подобного вида тригонометрические матрицы-функции в дальнейшем именуются как элементарные. Они обозначаются с малой буквы, например ротационные функции как rot Ф, rot. В частности, элементарные матрицы могут применяться для описания специальных ротаций в ‹Q n + 1› – с реперной осью ‹xn + 1› (с реперной гиперплоскостью) для отсчёта скалярного значения угла ротации. Эти матрицы имеют специальную каноническую структуру в универсальном базисе 1:

{rot(± Ф)} 1 - (1 - cos )·cos2 1 - (1 - cos )·cos 1·cos 2 sin ·cos (313) - (1 - cos )·cos 1·cos 2 1 - (1 - cos )·cos2 2 sin ·cos, sin ·cos 1 sin ·cos 2 cos 106 Глава 5. Тензорная евклидова и квазиевклидова тригонометрия {rot(± Ф)}(n + 1)( n + 1) I - (1 - cos ) ·{e·e} nn sin ·e (314) (e·e = e·e ).

sin ·e cos Координаты матриц даны, как всегда, в правом декартовом базисе 1.

Прямая ориентированная линия ‹xn + 1› есть реперная (полярная) ось координат, от которой отсчитывается положительный для rot Ф скалярный угол ротации с направляющими косинусами cos k (k = 1,n), выраженными в ортогонально дополнительном к реперной оси декартовом суббазисе с координатами xk.

Сначала докажем формулу (313). Применим такое ротационное преобразование дополнительного декартова суббазиса, чтобы новая 1-я ось координат ‹x1› и вектор направляющих косинусов тензорного угла Ф, лежащий в плоскости двумерного суббазиса, а именно cos e cos 2 (где cos21 + cos22 = 1), стали коллинеарны, а в итоге = ‹x3›, e, ‹x1› стали компланарны. Для этой сферической ротации используем другой тензорный угол 12. Отметим, что при n = 2 его скалярный собственный угол 12 совпадает с углом 1. Поэтому искомое ротационное преобразование в данном случае имеет вид:

rot cos 1 – sin 1 sin 1 cos 1.

0 0 Далее в новом трёхмерном декартовом базисе применяем обычную двумерную каноническую форму для данной элементарной ротации, действующей именно в плоскости ‹x1, x3›, но с учётом того, что отсчёт угла выполняется от оси ‹x3› по часовой стрелке, а по отношению к оси ‹ x1› – против часовой стрелки:

{rot Ф}can cos 0 - sin 0 1.

sin 0 cos Затем возвращаемся в исходный трёхмерный базис 1, осуществляя обратную ротацию:

§ 5.12. Элементарные тензорные сферические ротации {rot Ф}33 = rot 12·{rot Ф}can· rot 12. (315) Нетрудно убедиться, что в итоге после этих операций получаем вышеуказанную формулу (313).

Для вывода общей формулы (314) используем аналогичную схему.

Применим такое ротационное преобразование дополнительного декартова суббазиса, чтобы новая 1-я ось координат, вектор направляющих n косинусов e = {cos k} (где k = 1) и реперная ось ‹xn + 1› cos k = стали компланарны. Для этого используем последовательно другие тензорные углы сферических координат радиус-вектора угла ротации:

12 в плоскости ‹x1, x2›; 1 3 в плоскости ‹x1, x3›; …, 1… в плоскости n ‹x1…, xn›. Причём из тригонометрических соображений имеем:

cos 12 = cos 1 cos2 1 + cos2 2, / cos 13 = cos2 1 + cos2 2 cos2 1 + cos2 2 + cos2 3, (316) / ……………………………………………………………………….

cos 1… = cos2 1 + … + cos2 n – 1 = sin n.

n Последовательные ротации осуществляют матрицы rot 12, rot 13, …:

rot 12 rot cos 12 – sin cos 13 0 – sin sin 12 cos 12 Z 0 1 Z sin 13 0 cos Z I n –,.

Z In – В итоге приходим к базису простейшей 22 клеточной формы элементарной ротации:

= rot · 1, (317) где rot = rot 12·rot 13· … ·rot 1…. Теперь уже в этом декартовом n базисе придаём двумерную каноническую форму данной элементар… ной ротации в плоскости ‹x1, xn+1›:

{rot Ф}can cos 0 - sin 0 In – 1.

sin 0 cos.

108 Глава 5. Тензорная евклидова и квазиевклидова тригонометрия Затем возвращаемся в исходный базис 1, осуществляя обратную ротацию:

{rоt Ф}(n+1)(n+1) = rot ·{rot Ф}can· rot. (318) После этих операций с учётом соотношений (316) получаем формулу (314). Это нетрудно проверить прямым вычислением. Аналогично, для отрицательного угла элементарной ротации (как угла в той же тригонометрической плоскости) имеем:

{rоt (- Ф)}(n+1)(n+1) = rot ·{rot (- Ф)}can· rot. (319) Если изучается движение точечного элемента, вектора, прямой или гиперплоскости вне связи с другими элементами, то активные и пассивные модальные преобразования информативно полно задаются с использованием только элементарных ротационных матриц. Переход к другим, элементарно связанным (с исходным) декартовым базисам осуществляется в обоих базисах (317) соответственно как 2 = rot Ф12· 1, (320) II = {rot Ф12}can· I.

При этом координаты указанных геометрических объектов преобразуются пассивно, как для тензоров валентности 1:

u(2) = rot (- Ф12 ) · u(1), (321) u(II) = {rot (- Ф12 )}can· u(I).

( u(I) = rot (- ) · u(1), u(II) = rot (- )·u(2).) Таким образом, в этой главе сформулированы основные положения тензорной тригонометрии в евклидовой и квазиевклидовой версии.

Евклидова (антиевклидова) тензорная тригонометрия и геометрия могут рассматриваться как случай с единичным (отрицательно-единичным) рефлектор-тензором, когда формально допустимо применение любого срединного рефлектора угла из их же полного множества, отвечающего пространству данной размерности. (Соответственно квадратичные метрики тогда - евклидова и антиевклидова). На ряде примеров был продемонстрирован ряд возможностей, которые открывает тензорная тригонометрия для применения в линейной алгебре и аналитической геометрии.

Глава 6. Тензорная псевдоевклидова тригонометрия § 6.1. Гиперболические тензорные тригонометрические функции и рефлекторы Модальное преобразование (271) порождает псевдогиперболические углы и функции из исходных сферических. Угол {iФ} имеет гиперболический характер. Псевдогиперболическая геометрия именно во внешнем - тензорном варианте реализуется в комплексном бинарном n + q (вещественно-мнимом) особом псевдоевклидовом пространстве ‹E › со структурой, задаваемой срединным рефлектором угла или общее тригонометрическим рефлектор-тензором. Например, из (271) имеем:

{ I}S = 0 -1·0-1. Скалярное произведение в данном пространстве тождественно таковому в исходном евклидовом пространстве:

z·{ I}S· z = (0-1· z)· (0-1· z) x· x.

Само по себе особое комплексное псевдоевклидово пространство не представляет интереса. Однако в нём весьма просто осуществляется переход от сферических понятий к гиперболическим. Обратный переход осуществляется в комплексном бинарном квазиевклидовом пространстве. При этом используются псевдоаналоги углов (§ 4.2):

Ф - iФ Г (j - ij j), (322) Г iГ Ф (j ij j). (323) Указанное соответствие определяется здесь как cферическогиперболическая аналогия абстрактного типа. Углы-аналоги при этой замене имеют абстрактный смысл (но при сохранении бинарной тензорной структуры). Далее углы могут использоваться конкретно.

В частности, применив к (295), (297) или более широко к (277)–(286) абстрактную аналогию по схеме (322), получаем гиперболические аналоги в вещественном псевдоевклидовом пространстве с тем же рефлектор-тензором{ I }S, в том числе в канонической форме в тригонометрическом базисе диагонального косинуса.

110 Глава 6. Тензорная псевдоевклидова тригонометрия ch sh j j Rw· ·R = ch Г + sh Г = Roth Г = Roth Г = exp Г, (324) sh j ch j w ch Г - sh Г = Roth-1 Г = Roth (- Г) = exp (- Г). (325) Это гиперболическая ротационная матрица-функция моторного угла Г или (- Г).

sch - th j j Rw· = sch Г + i · th Г = Defh Г, (326) w th j sch j · R sch Г - i · th Г = Defh-1 Г = Defh (- Г) = Defh Г. (327) Это гиперболическая деформационная матрица-функция моторного угла Г или (- Г).

+ ch j sh j Rw· = ch (328) w sh j – ch j · R i · sh.

Это гиперболически ортогональный рефлектор по отношению к тензору{ I}S.

+ sch j th j Rw· = sch th. (329) w th j – sch j · R Это гиперболически косогональный рефлектор по отношению к тензору { I}S. (В этих определяющих формулах – гиперболический проективный угол, Г – гиперболический моторный угол.) В псевдоевклидовой тригонометрии срединный рефлектор с максимальным тригонометрическим рангом угла задаёт не только тригонометрический базис, но и рефлектор-тензор ориентированного псевдоевклидова пространства ‹P n + q›:

Ref {ch } = { I}S = Rw· I· R ( = max = q).

w Ему же отвечает некоторое собственное подмножество нуль-простых матриц ‹Вр›. Применяя принцип бинарности с учётом (271) и (324), получаем аннигилирующее соотношение – аналог такового для сферической ортогональной матрицы:

Roth Г·{ I}S·Roth Г = { I}S. (330) § 6.2. Сферическо-гиперболическая аналогия конкретного типа В свою очередь, модальное преобразование, обратное (271), производит псевдосферические углы и функции из гиперболических.

Тензорный угол {iГ} имеет сферический характер. Псевдосферическая тригонометрия в тензорном варианте реализуется в комплексном квазиевклидовом пространстве с бинарной структурой, согласно (271). Скалярное произведение в данном пространстве тождественно таковому в исходном псевдоевклидовом пространстве:

z·z = ( 0-1x)· ( 0-1x) x·{ I}S·x.

Такого вида пространство обычно применяют как комплексный квазиевклидов аналог вещественному псевдоевклидову пространству.

(Впервые оно было введено Пуанкаре в 1905г. как метрическое пространство с группой преобразований Лоренца.) Далее, применив к псевдосферическим понятиям абстрактную аналогию по схеме (323), получаем первичные сферические аналоги в вещественном евклидовом пространстве. Это приводится, конечно, только для завершения в целом картины абстрактной аналогии, так как в итоге круг преобразований замкнулся.

С применением абстрактной сферическо-гиперболической аналогии получаем формулы связи проективных и моторных углов и их функций через срединный рефлектор (268)-(270). Например, имеем:

- iГ · Ref{ ch Г } = Г12 = + Ref{ ch Г }· iГ 12 12 12 12.

Для описания сферических и гиперболических преобразований на какой-либо собственной плоскости/псевдоплоскости (поклеточно) далее используется общая тригонометрическая диаграмма. Тут изначально нет какой-либо связи между вещественными сферическими и гиперболическими углами, что характерно для абстрактной аналогии. Для того чтобы в исходном декартовом базисе 1 установить отношение изоморфизма между сферическими и гиперболическими тригонометрическими функциями, нужно задать какую-либо однозначную взаимосвязь углов-аргументов.

§ 6.2. Сферическо-гиперболическая аналогия конкретного типа Обратим внимание на то, что множества значений сферических и гиперболических синусов и тангенсов скалярных углов тождественны:

sin th, tg sh. (331) 112 Глава 6. Тензорная псевдоевклидова тригонометрия Отсюда между углами-аргументами устанавливается взаимосвязь:

= () = Arth (sin ) = Arsh (tg ) = ln (sec + tg ), = () = arctg (sh ) = arcsin (th ) = ln (sch + i · th ) · (– i).

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.