WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 43 |

sec Ф = sec Ф = cos-1 Ф, (261) tg Ф = tg Ф = + i sin Ф · sec Ф = - sec Ф · i sin Ф. (262) Очевидны тригонометрические соотношения, аналогичные ранее полученным для проективных функций:

cos2 Ф + sin2 Ф = I = cos2 Ф - (i sin Ф)2. (263) sec2 Ф - tg2 Ф = I. (264) Вышеуказанные пары моторных функций коммутативны:

cos Ф · sin Ф = sin Ф · cos Ф, sec Ф · tg Ф = tg Ф · sec Ф. (265,266) Для углов и функций моторного типа необходимо выполняется условие ‹P4› = 0. Канонические W-формы вещественной ортогональной матрицы, а также моторного косинуса и синуса в тригонометрическом базисе имеют вид:

Rot Ф = cos Ф + i·sin Ф = exp (iФ) = (267) cos Ф sin Ф cos j 0 + i· sin j =.

cos j + i · – 0 i· sin j 1 0 ‹P3› § 5.8. Моторные тензорные синус, косинус, секанс и тангенс Далее установим канонические формы моторных функций и угла.

Для этого сначала перейдём в комплексный базис диагональной формы синуса, а затем вернёмся в исходный вещественный тригонометрический базис (то есть в базис диагонального косинуса). Это в итоге тождественное модальное преобразование позволяет установить каноничecкyю форму моторного угла в тригонометрическом базисе:

D{Ф} D{Ф} D + j 0 D-+ j cos + i · sin 0 - j 0 - j 0 Ф Ф D- j + j 0 + i · 0 i · cos + i · sin = - j - j i · 0 i · 0 iФ 0 - j = exp.

+ j (Заметим, что для матриц, комплексифицированных за счёт перехода из декартова в эрмитово ортонормированный базис, при сопряжении используется операция эрмитова транспонирования.) В дополнение к формулам (164) и (170) для углов проективного типа отсюда вытекают родственные соотношения для углов моторного типа:

Ф12 = - (Ф12 ) = - Ф21, ФB = - (ФB ) = - ФB. (268) Ф D{Ф} cos Ф cos j + j + j 0 i · cos = cos = cos j - j i · 0 0 - j 0 (эта формула более очевидна, если использовать ряд Маклорена), Ф i·sin Ф + j 0 i · 0 – j sin i· sin =.

- j + sin j i · 0 0 96 Глава 5. Тензорная евклидова и квазиевклидова тригонометрия § 5.9. Взаимосвязь между проективными и моторными тригонометрическими функциями и углами C учётом (236)-(239), (261), (262) и (267) получаем соотношение:

Ref {cos Ф}· (iФ) = Ф = (-iФ)·Ref{cos Ф}, (269) (Ф2 = Ф2);

cos Ф cos Ф cos Ф - sin Ф i sin Ф sin Ф Ref {cos Ф}· = = ·Ref {cos Ф}. (270) sec Ф sec Ф sec Ф - i tg Ф tg Ф i tg Ф Правило №4. Квадраты и любые чётные степени тензорного угла проективного и моторного типа, а также их тригонометрических функций одноимённого вида равны.

Углы Ф и Ф суть симметричный и эрмитов тензоры, приводимые к тождественным диагональным формам, но в различных ортогональных базисах – декартовом и эрмитово ортонормированном. Здесь, конечно, подразумевается, что ‹P4› = 0, например при Ф = Ф.

B Далее для преобразования вещественных тригонометрических функций в их комплексные псевдоаналоги (с целью последующего естественного ввода тензорных гиперболических функций) определим комплексный тригонометрический базис. Ему отвечает модальная матрица соответствующего перехода – псевдоарифметический квадратный корень из срединного рефлектора тензорного угла (248):

+1 0 = Ref {cos Ф} · RW = RW · = RW · I. (271) 0 + i При этом подпространству ‹P3› соответствует либо мнимоединичный блок (2r < n), либо положительный единичный блок (2r > n), либо этот блок вовсе отсутствует (2r = n). Комплексный тригонометрический базис отличается от вещественного тем, что в нём координаты, соответствующие отрицательным собственным значениям проективного косинуса (то есть ординаты), мнимонизированы:

vj i·vj. При переходе в комплексный тригонометрический базис косинус и секанс не изменяются, а угол, синус и тангенс трансформируются в псевдогиперболические аналоги. (Далее нижние индексы «r» и «c» отвечают вышеуказанным вещественному и комплексному тригонометрическому базису.) § 5.9. Взаимосвязь между проективными и моторными функциями 0-1·{Ф}r·0 {Ф}r i·{-iФ}c 0-1·{i}r·0 i{-Ф}r {-i}с, (272) 0-1·{sin Ф}r·0 {sin Ф}r {i sh (- iФ)}с (273) 0-1·{i sin Ф}r·0 i·{-sin Ф}r {sh (- iФ)}с, (274) 0-1·{i tg Ф}r·0 i·{-tg Ф}r {th (- iФ)}с (275) 0-1·{tg Ф}r·0 {tg Ф}r {i·th (- iФ)}с. (276) Ниже сопоставлены канонические формы угла и функций в тригонометрических базисах – вещественном (слева) и комплексном (справа):

0 j 0 j + i {Ф}r = = {Ф}r, {Ф}c = = {Ф}c*, (277) j - i j 0 - j 0 i j {iФ}r = = -{iФ}r, {iФ}c = = -{iФ}c*; (278) i j + j + cos j 0 + ch ij {сos Ф}r = = = {сh (± iФ)}c, (279) 0 - cos j 0 - ch ij cos j ch ij 0 {cos Ф}r = = = {ch (± iФ)}c, (280) cos j 0 ch ij + sec j 0 + sch ij {sec Ф}r = = = {sсh (± iФ)}c, (281) 0 - sec j 0 - sch ij sec j sch ij 0 {sec Ф}r = = = {sch (± iФ)}c ; (282) sch ij 0 sec j 0 sin j + sh ij {sin Ф}r =, = {i sh (- iФ)}с, (283) sin j 0 - sh ij 0 - sin j 0 - sh ij {i sin Ф}r =, = {sh (- iФ)}с ; (284) + sin j 0 - sh ij 98 Глава 5. Тензорная евклидова и квазиевклидова тригонометрия 0 - tg j 0 - th ij {i tg Ф}r =, = {th (- iФ)}с, (285) + tg j 0 - th ij 0 tg j 0 + th ij {tg Ф}r =, = {i·th (- iФ)}с. (286) tg j 0 - th ij Для ротационной ортогональной матрицы справедливы формулы Муавра и Эйлера:

Rotm Ф = cos {m·Ф} + isin {m·Ф} = = ch {m·iФ} + sh {m·iФ} = exp {m·iФ} = Rot {mФ}. (287) В вещественном тригонометрическом базисе это интерпретируется как cos mj – sin mj mj 0 - Rotm Ф =.

cos mj = exp + mj + sin mj В комплексном тригонометрическом базисе это интерпретируется как i·mj cos mj – i· sin mj 0 - {Rotm Ф}с =.

– i· sin mj cos mj = exp - i·mj (Если в эти формулы подставить m = 1/2, то таким образом можно вычислить тригонометрический квадратный корень (245) из ротационной матрицы-функции.) § 5.10. Деформационные тензорные тригонометрические функции от сферических углов моторного типа К сферической ротационной матрице-функции ранее формально привело последовательное применение ортогональных рефлекторов, связанных с двумя эквиранговыми линеорами (планарами), согласно (243). Аналогичным образом, с использованием принципа бинарности последовательное применение косогональных рефлекторов, связанных § 5.10. Деформационные тензорные функции от сферических углов с той же парой эквиранговых линеоров (планаров), формально приводит к определению другого нового понятия – сферической деформационной матрицы-функции. Как и ротационная матрица-функция, она имеет бинарную элементарную тригонометрическую структуру в виде:

Ref{B} Ref{B} Def B sec j - tg j sec j tg j sec j tg j ).

B tg j - sec j - tg j - sec j = tg j sec j (B 2Ф При этом подпространству ‹P3› в указанном произведении всегда соответствует диагонально-единичный блок. В целом же указанная матрица-функция осуществляет сферическую деформацию на тензорный угол. В аналитической форме это матричное преобразование B реализуется аналогично (243) и (244):

Ref{B}·Ref{B} = (sec Ф + i tg Ф ) · (sec Ф - i tg Ф ) = B B B B = (sec2 Ф + tg2 Ф ) + (2i · tg Ф · sес Ф ) = Def, (288) B B B B B Ref{B}·Ref{B} = Def -1 = Def (- ). (289) B B Приставка «Def» обозначает деформационную матрицу-функцию от тензорного сферического угла моторного типа. Но если ротационные тензорные функции имеют синусно-косинусную природу, то как бы аналогичные им по формальному определению деформационные тензорные функции имеют тангенсно-секансную природу. (Полной аналогии в сферическом варианте угла здесь, очевидно, нет.) Бинарная тензорная деформация осуществляется также, как и ротация, в тригонометрическом подпространстве (рис. 2) относительно его сферически ортогонального дополнения. Тензорные секанс и тангенс теперь уже вполне естественным путём определяются через сферическую деформационную матрицу соотношениями, аналогичными (259) и (260):

(– sес Ф = (Def Ф + Def - 1Ф) 2 = [Def Ф + Def Ф)] 2, (290) / / (– tg Ф = (Def Ф – Def - 1Ф) 2 = [Def Ф – Def Ф)] 2. (291) / / Тензорные косеканс и котангенс моторного угла определяются соответственно как обратные или квазиобратные синус и тангенс.

Каноническая W-форма для вещественной деформационной матрицы реализуется в том же вещественном тригонометрическом базисе:

100 Глава 5. Тензорная евклидова и квазиевклидова тригонометрия sec j tg j Def Ф = Def Ф = sec Ф + tg Ф =, (292) tg j sec j (j = - /2 + /2) Def -1 Ф = Def (- Ф) = sec Ф - tg Ф. (293) Канонические формы ротационной и деформационной матрицфункций сферического тензорного угла в комплексном тригонометрическом базисе имеют вид:

cos j – i·sin j {Rot Ф}с = cos Ф + {i · sin Ф}с = = – i·sin j cos j = ch (- iФ) + sh (- iФ), (294) {Rot Ф}с* = {Rot (-Ф)}с = cos Ф - {i · sin Ф}с ; (295) sec j – i·tg j {Def Ф}с = sec Ф + {tg Ф}с= = sch (- iФ) + i · th (- iФ), (296) + i·tg j sec j {Def Ф}с-1 = {Def (- Ф)}с = sec Ф - {tg Ф}с. (297) Как для ротационной, так и для бинарной деформационной матрицы детерминант каждой клетки W-формы и в целом равен +1.

Деформационная матрица-функция от сферического угла симметрична и положительно определена. Ротация базисов 22-клеток W-формы, то есть в пределах собственных тригонометрических плоскостей, на углы j = ± 4 приводит к диагонализации этих клеток. Собственные / значения матрицы: 2j = sec j + tg j > 0, 2j +1 = sec j - tg j = = 2j-1 > 0 и, возможно, k = + 1. Чтобы выяснить суть бинарного деформационного преобразования, представим его в виде:

sec j tg j cos /4 – sin /4 sec j+ tg j cos /4 sin / = · ·.

tg j sec j sin /4 cos /4 0 sec j– tg j – sin /4 cos /Отсюда видно, что модальное сферическое деформационное преобразование в канонической форме (292) сводится на собственной тригонометрической плоскости к тому, что осуществляется растяжение координатной сетки по главной диагонали (1-й и 3-й квадрант) с § 5.10. Деформационные тензорные функции от сферических углов коэффициентом = sec + tg > 0 и сжатие сетки по побочной диагонали с обратным коэффициентом -1 = sec - tg > 0. По аналогии с представлением комплексного числа в форме (149), любое положительное число и обратное ему взаимно-однозначно представляются через сферический угол:

= sec + tg > 0, sec = ( + –1) 2, / (298) -1 = sec - tg > 0, - 2 < < + 2 tg = ( - –1) 2.

/ / / Дадим ещё одну интерпретацию бинарного деформационного преобразования, связанную с использованием перекрёстных базисов.

В частности, она применима при релятивистских преобразованиях в пространстве-времени Минковского. А именно пусть декартовы базисы i и j связаны ротационным преобразованием: i = Rоt (-Фij)·j.

Декартовы координаты вектора в обоих базисах связаны пассивным преобразованием:

cos t – sin t x1( j) cos t· x1( j) - sin t· x2( j) x1( i) a(i) = Rot Фij· a( j) = · = =.

sin t cos j x2( j) sin t· x1( j) + cos t· x2( j) x2( i) В пределах t-й 22-клетки базис j повёрнут относительно базиса i на угол t по часовой стрелке. Определим перекрёстные базисы i, j со смешанными осями ‹x1(i), x2(j)› и j, i со смешанными осями ‹x1(j), x2(i)›.

Они связаны активным модальным преобразованием вида i,j = Def (- Фij) · j, i. (299) В пределах той же 22-клетки перекрёстные координаты вектора в обоих базисах связаны пассивным модальным преобразованием того же вида:

sec t tg t x1( j, i) a(i, j) = Def Фij· a( j, i) = · = tg t sec t x2(i, j) sec t· x1( j, i) x1(i, - tg t· x2(i, j) j) = =. (300) tg t· x1( j, i) + sec t· x2(i, j) x2( j, i) Здесь координаты вектора находятся перекрёстным проецированием.

Заметим, что в евклидовом пространстве при декартовом проецировании значениям координат тензорного объекта соответствует тригонометрический инвариант (182), а при перекрёстном проецировании значениям координат тензорного объекта соответствует тригонометрический инвариант (208).

102 Глава 5. Тензорная евклидова и квазиевклидова тригонометрия Естественным обобщением бинарной сферической деформационной матрицы является положительно определённая симметричная n матрица с единичным детерминантом, например {G det G }. Любое / линейное модальное преобразование V без рефлексии (для двухвалентных тензоров) сводится к модальной матрице с единичным детерминантом. Поэтому, согласно её полярному разложению, такое модальное преобразование представляется произведением ротационной и обобщённой деформационной матриц при сохранении одной и той же ориентации базиса, то есть при det V > 0.

§ 5.11. Специальные модальные преобразования собственных ортогональных и косогональных проекторов и рефлекторов В тензорной тригонометрии между центральным планаром и симметричным проектором одного и того же ранга имеется взаимнооднозначное соответствие. То же в евклидовом пространстве относится к их ортогональным дополнениям. Эквиранговые планары, как и ортопроекторы, преобразуются друг в друга посредством как тензорной ротации, так и тензорной рефлексии. Формулы модального преобразования следуют, например, из (252), (176), (177) или непосредственно с применением принципа бинарности:

А2А2 = Rot Ф12·A1A1 ·Rot (- Ф12) = Ref {cos Ф }·A1A1 ·Ref {cos Ф }, (301) 12 B B = Rot ФB·BB ·Rot (- ФB) = Ref {cos Ф }· BB · Ref {cos Ф }. (302) В B Они преобразуются как ортогональные тензоры валентности 2.

“Внутри” символического октаэдра (рис. 1), проведя диагональ PQ, можно указать два характеристических “равнобедренных” тензорных треугольника PZQ и PIQ, где PZQ PIQ ФB. Кроме того, в тензорной тригонометрии, согласно условиям (217) – (220), имеется взаимно-однозначное соответствие между парой центральных эквиранговых планаров ‹im А1› и ‹im A2› ранга r (det A1A2 0) и косопроекторами В и В. Характеристические косопроекторы В и В (В и В) преобразуются друг в друга посредством как бинарной тензорной деформации, так и тензорной рефлексии. Формулы преобразований, аналогичные (252), (301), (302), устанавливаются также исходя из принципа бинарности и структуры косопроекторов (211), (212):

Ref {В} = Def ФB·Ref {B}·Def (- ФB ) = = Ref {cos Ф ·Ref {B}·Ref {cos Ф }, (303) B } B § 5.11. Модальные преобразования проекторов и рефлекторов В = Def ФB· B · Def (- ФB ) = Ref {cos Ф }· B · Ref {cos Ф }. (304) B B Аналогично (251), имеем:

Ref {cos Ф } = Def ФB · Ref {В} = Def (- ФB) · Ref {В}. (305) B “Внутри” символического октаэдра (рис. 1), проведя диагональ RS, можно указать ещё два особых характеристических треугольника: RZS и RIS. Они будут рассмотрены в главе 6.

Формулы рефлективного модального преобразования характеристических проекторов в (301) и в (304) приводятся к тригонометрической форме путём поклеточного умножения слева и справа на собственные косинусы и секансы (что возможно лишь для нуль-простой исходной матрицы):

BB BB BB = cos Ф = sec Ф (306) B · · sec Ф B B · · cos ФB.

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.