WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 43 |

cos i + sin i cos i – sin i + + Ref{A1A1} =, Ref{A2A2} = ; (241) + sin i - cos i cos i - sin i - ––‹P3› +–1 ‹P4› (r2 > r1; r1 + r2 < n) sec i tg i sec i + + + – tg i Ref{B} =, Ref{B} =. (242) sec i + tg i - sec i - tg i - ––‹P3› (2r < n) § 5.6. Ротационные тензорные тригонометрические функции § 5.6. Ротационные тензорные тригонометрические функции от сферических углов моторного типа В дальнейшем при выводе ряда формул и неравенств, относящихся к тензорной тригонометрии, будет довольно широко использоваться принцип бинарности. Поясним его. Если простые вещественные матрицы P1 и Р2 антикоммутативны, то тогда и только тогда они представляются в одном и том же специальном базисе в вещественных монобинарных клеточных формах W1 и W2 (§ 4.1), антикоммутативных по общим собственным подпространствам размерности 1 и 2 (см. также далее в § 7.2). При этом в каких-либо базисах любая аналитическая функция F(P1, Р2 ) выражается в той же форме, что и функция F(W1, W2). В вышеуказанном специальном базисе функция F(P1, P2) представляется прямой суммой аналогичных собственных функций от монарных и бинарных клеток матриц W1 и W2. В свою очередь, скалярные инварианты F(P1, P2 ) равны произведению собственных инвариантов по клеткам. Заметим, что для аналитических функций от нескольких простых, попарно коммутативных матриц-аргументов Pt в теории матриц, в том числе и в изучаемой тензорной тригонометрии, используется аналогичный принцип монарности. Принцип бинарности исходит из коммутативности именно квадратов простых матриц. Оба данных принципа позволяют непосредственым образом переносить аналитические операции и их результаты с простейшей клеточной формы на исходные матрицы или на их аналитические функции. Пусть Р1 = cos Ф, Р2 = sin Ф (r1 = r2 ‹ P4› = 0). Составим некоторую аналитическую функцию от них с учётом (176), (177):

F(P1, Р2) = (Р1 + Р2)·(Р1 - Р2) = Ref{A2A2}·Ref{A1A1}, где rang A1 = rang A2, то есть A1 и A2 – эквиранговые линеоры.

Её W-форма в ортонормированном базисе {RW} исходя из бинарных произведений по 22-клеткам есть ортогональная ротационная матрицафункция:

Ref{A2A2} Ref{A1A1} Rot 2Фcos i sin i cos i - sin i cos 2i - sin 2i.

.

= sin i - cos i – sin i - cos i sin 2i cos 2i При этом подпространству ‹P3› в указанном произведении всегда соответствует диагонально-единичный блок. Полученная 22-матрица осуществляет ротацию на собственной плоскости на угол 2i против часовой стрелки. В целом матрица-функция осуществляет сферическую ротацию на тензорный угол 2Ф12:

88 Глава 5. Тензорная евклидова и квазиевклидова тригонометрия Ref{A2A2}·Ref{A1A1} = (cos Ф + sin Ф ) · (cos Ф - sin Ф ) = 12 12 12 = (cos2 Ф - sin2 Ф ) + (2sin Ф · соs Ф ) = 12 12 = cos 2Ф12 + i·sin 2Ф12 = Rot 2Ф12, (243) Ref{A1A1}· Ref{A2A2} = Rot 2Ф12 = Rot (- 2Ф12), (244) где приставка «Rot» обозначает ротационную матрицу-функцию от моторного тензорного сферического угла Ф. В отличие от угла проективного типа Ф в его обозначении знак тильды сверху отсутствует.

Нетрудно проверить, что cos2 Ф = cos2 Ф, sin2 Ф = sin2 Ф (см. Правило №1);

sin Ф · соs Ф = sin Ф · cos Ф = cos Ф · sin Ф = - соs Ф · sin Ф.

Тригонометрические функции от относятся также к моторному типу. Тензорная ротация осуществляется в тригонометрическом подпространстве размерности 2R, где R = r1 - (рис.2) относительно его ортогонального дополнения размерности (n - 2R), то есть обобщённой оси ротации. Ортогональная матрица R является ротационной, если det R = +1, и является рефлективной, если R = R.

Оба эти качества могут совмещаться, а могут и нет. В свою очередь, ротационная матрица Rot Ф12 теоретически вычисляется как тригонометрический квадратный корень из (243):

Rot Ф12 = [Ref{A2A2}·Ref{A1A1}]1/2. (245) Формула (243) наглядно интерпретируется так. Ортогональная рефлексия от ‹im A1› и затем от ‹im A2› тождественна ротации на удвоенный угол между ‹im A1› и ‹im A2›. Это очевидно для пары векторов или пары прямых. В частности, для пары неориентированных векторов или планаров ранга 1 имеем ротационную матрицу ( = 1):

Rot Ф12 = [(I - 2 · a2a2) · (I - 2 · a1a1)]1/2 = 1/a1a1 a2a2 a2a= I - 2 · ( a a1 + ) + 4cos2 12· (246) [ ] a2a2 a1a2, a a a2aгде aa =, a2a1 =, в том числе при a = e: ee = ee.

a a a1aДля ориентированных векторов или линеоров принятый ранее для собственного угла i допустимый интервал [- 2 + 2] занижен / / вдвое. Поэтому для i в монобинарной клеточной форме матрицы Rot Ф применяют интервал [- + ].

§ 5.6. Ротационные тензорные тригонометрические функции В формулах (243), (244) фигурируют ортогональные рефлекторы, для которых зеркала есть r-подпространства ‹im A1› и ‹im A2›, согласно (176), (177). Помимо них в евклидовой тензорной тригонометрии при r1 = r2 = r особое значение имеет симметричный рефлектор, для которого зеркало есть срединное подпространство тензорного угла. В тригонометрическом базисе это подпространство задаётся вектор-осями ui (i = 1,) - см. § 5. 5, то есть собственными векторами проективного косинуса с положительными собственными значениями «+ cos i» при условии 2r < n (рис.2).

В случае же 2r > n срединное подпространство расширяется ещё на ‹P3›. Новая тензорная характеристика именуется как срединный рефлектор. Согласно (242), проективный косинус представляется в виде алгебраической суммы двух ортогональных слагаемых – с положительными и с отрицательными собственными значениями:

cos Ф = {cos Ф } + {cos Ф }.

12 12 Эти слагаемые суть сингулярные симметричные матрицы. Зеркало срединного рефлектора есть подпространство ‹im {cos Ф }›.

Согласно (176), срединный рефлектор теоретически выражается как Ref{cos Ф } = {cos Ф } - {cos Ф }. (247) 12 Покажем, что зеркало данного рефлектора расположено действительно посередине между зеркалами планаров, образующих тензорный угол.

Для этого получим срединный рефлектор либо ротацией рефлектора первого планара на угол {+ Ф/2}, либо ротацией рефлектора второго планара на угол {– Ф/ 2} как двухвалентных тензоров. В соответствии с принципом бинарности имеем:

Rot Ф12 2 Ref {A1A1} Rot Ф12 / / cos i cos i - sin i cos i /2 sin i //2 -sin i /· · = sin i cos i cos i -sin i /2 cos i / /2 /2 – sin i - Rot Ф12 2 Ref {A2A2} Rot Ф12 / / cos i sin i cos i sin i /2 / cos i /2 -sin i /= · · = cos i sin i /2 cos i /-sin i cos i sin i - /2 /Ref {cos Ф } + 1 =. (248) 0 - 90 Глава 5. Тензорная евклидова и квазиевклидова тригонометрия Здесь подпространству ‹P3› соответствует либо отрицательный единичный блок (2r < n), либо положительный единичный блок (2r > n), либо этот блок отсутствует (2r = n). Простые матрицы определяются как тригонометрически согласованные, если они приводятся к W-форме одной и той же структуры в общем базисе. Причём, как известно, нормальные матрицы приводятся к ней ортогональным преобразованием, обозначаемым далее как RW.

Правило №2. Тригонометрически согласованные ротационные матрицы одного и того же вида, например сферические, коммутативны. При этом в их произведениях тензорные углы-аргументы моторного типа образуют алгебраическую сумму.

Правило № 3. Ротационная сферическая матрица переносится через сферически ортогональный рефлектор (при их тригонометрической согласованности) с изменением знака её угла-аргумента.

Эти правила получают также непосредственным путём с использованием принципа бинарности. Кроме того, имеем:

Rot Ф12· (соs Ф ± sin Ф) · Rot (- Ф12 ) = Rot 2Ф12· (соs Ф ± sin Ф) = = (cos Ф ± sin Ф) · Rot (- 2Ф12 ) = {cos (Ф ± 2Ф ) ± sin (Ф ± 2Ф )}, 12 Ref{А2А2} = Rot Ф12· Ref{А1А1}· Rot (- Ф12) = Rot 2Ф12· Ref{А1А1}.

Следствие. Согласованная ротация рефлектора как двухвалентного тензора на угол Ф тождественна его ротации как одновалентного тензора на угол 2Ф.

Кроме того, для согласованных рефлекторов справедливо наиболее полное обобщение утверждений (243) и (244):

(cos Ф sin Ф ) · (cos Ф sin Ф ) = Rot { Ф12 Ф34}.

12 12 34 Множество тригонометрически согласованных матриц включает в себя, например, все матрицы, производимые аналитической функцией от пары антикоммутативных простых матриц. Если в (243) и (245) в качестве второго линеора взять А2 = R12·А1, где det R12 = + 1, то с учётом (98) и (99) имеем:

А2А2 = R12·А1А1·R12, Ref{А2А2} = R12·Ref{А1А1}·R12. (249) На множестве матриц ‹R12›, выполняющих указанную операцию, матрица Rot Ф12, получаемая однозначно из (245), имеет тригонометрическое подпространство минимальной размерности. Именно она тригонометрически согласована со следующими рефлекторами:

Ref{А1А1}, Ref{А2А2} и Ref{cos Ф }. С учётом Правила №справедлива общая формула:

§ 5.6. Ротационные тензорные тригонометрические функции Rot Ф12·Ref{AA}·Rot Ф12 = Ref{AA} (А = А1 или А2). (250) В указанном случае множество ‹R12› не произвольно. А именно:

‹R12› ‹Rot Ф12·Rot 12›, где 12 – сферический угол ортогональной ротации по отношению к Ф12, или ортосферический угол. Для тензорных углов этих двух типов и только для них выполняются соотношения:

Rot Ф12· Ref{cosФ }·Rot Ф12= Ref{cosФ }= Rot (-Ф12)·Ref{cosФ }Rot (-Ф12), 12 12 (251) Rot 12· Ref{cosФ }·Rot 12= Ref{cosФ }= Rot12· Ref{cosФ } · Rot12.

12 12 Соотношения (251) лежат в основе как ротационной квазиевклидовой тригонометрии с вышеуказанным срединным рефлектором в качестве вводимого независимо рефлектор-тензора, так и внешней сферической геометрии. Последняя по существу есть общая геометрия постоянной положительной кривизны (со сферической тригонометрией в ней).

Эта геометрия реализуется на специальном гиперсфероиде, вложенном в квазиевклидово пространство, задаваемое рефлектор-тензором и евклидовой метрикой.

В тригонометрической форме срединный рефлектор представляется в виде:

Ref{cos Ф } = cos Ф12· cos Ф - i · sin Ф12· sin Ф = 12 12 = cos Ф · cos Ф12 + i · sin Ф · sin Ф12.

12 Нетрудно видеть, что срединный рефлектор определяется однозначно при заданной канонической форме проективного косинуса (237).

Ориентация тензорного угла не имеет значения. В тригонометрическом базисе видно, что срединный рефлектор осуществляет операцию ортогонального отражения (рефлексии) относительно подпространства, задаваемого координатными осями ui (то есть зеркала):

Ref{cos Ф } = Rot Ф12· Ref{А1А1} = Rot (- Ф12) · Ref{А2А2};

В проективной версии тензорной тригонометрии все рефлекторы согласуются по формулам типа:

Ref{А2А2} = Ref{cos Ф }· Ref{А1А1}· Ref{cos Ф }, 12 (252) Ref{А1А1} = Ref{cos Ф }·Ref{А2А2}· Ref{cos Ф }.

12 В квазиевклидовой тригонометрии срединный рефлектор с максимальным тригонометрическим рангом (§ 5.5) задаёт не только тригонометрический базис, но и рефлектор-тензор пространства ‹Q n + q›:

Ref{cos Ф } = { I}S ( = max = q).

92 Глава 5. Тензорная евклидова и квазиевклидова тригонометрия § 5.7. Тригонометрическая теория простых корней I Далее выясним связь тензорной тригонометрии с теорией корней I. Простой квадратный корень и он же рефлектор I = Ref{Bp} приводится модальным преобразованием к блочно-единичной форме:

q+ + I Z (q+ + q- = n);

Z – I qгде q+ = rang Bp = rang A = r, q- = sing Bp = sing A = n - r.

Определим тригонометрический ранг матрицы как 2 = 2min ‹q+, q-› = = 2min ‹ r, n - r›. Это фактически размерность тригонометрического подпространства любой тригонометрической матрицы. Выделим симметричные корни ( I ) = ( I ). Пусть ( I )1 и ( I )2 – пара независимых симметричных корней. Полагаем I + ( I )1 I - ( I )A1A1 =, A1A1 =, ( I )1 = 2A1A1 - I = I -2A1A1, 2 (253) I + ( I )2 I - ( I )A2A2 =, A2A2 =, ( I )2 = 2A2A2 - I = I -2A2A2.

2 Откуда с учётом (163), (171), (176) и (177) получаем:

cos Ф - sin Ф = ( I )1 = Ref{A1A1}, 12 (254) cos Ф + sin Ф = ( I )2 = Ref{A2A2}.

12 ( I )2 + ( I )cos Ф =, (255) ( I )2 – ( I ).

sin Ф = Если исходные корни имеют один и тот же тригонометрический ранг, то однородные проекторы эквиранговые и обратно.

Следствия n 1. Симметричный корень I задаёт в ‹E › взаимно-однозначно сфе рически ортогональные проектор и рефлектор, а также прямой тензорный угол одного и того же тригонометрического ранга.

n 2. Пара симметричных корней ( I )1 и ( I )2 задаёт в ‹E › взаимно однозначно тензорный угол Ф и его тригонометрические функции.

§ 5.7. Тригонометрическая теория простых корней Если же исходные корни имеют один и тот же тригонометрический ранг, то ( I )2· ( I )1 = Rot 2Ф12.

3. Пара симметричных корней ( I )1 и ( I )2 всегда представима в ‹E n› в W-форме одной и той же структуры, согласно (254), в одном и том же ортонормированном базисе {RW} при исходном декартовом базисе = {R}.

Далее выделим простые несимметричные корни I ( I ). Пусть координаты корней даны также в ‹E n› в некотором исходном ортонормированном базисе {R}. Полагаем I + I I – I B =, B =, I = 2B - I = I - 2B, 2 (256) I + ( I ) I – ( I ) B =, B =, ( I ) = 2B - I = I - 2B.

2 Откуда с учётом (198), (203), (211), (212) имеем:

sес Ф - i·tg Ф = I = Ref{В}, B B (257) sес Ф + i·tg Ф = ( I ) = Ref{В}.

B B ( I ) + I ( I ) – I sес Ф =, i·tg Ф =. (258) B B 2 Исходные корни I и ( I ) всегда имеют один и тот же тригонометричес кий ранг. Между простым корнем I ( I ) и B (B), согласно (256), имеется взаимно-однозначное соответствие. Они же однозначно задают эквиранговые ортопроекторы в (253), при этом det сos Ф 0, или ортопроекторы BB и BB, при этом det сos Ф 0, и пару симметричB ных корней ( I )1 и ( I )2, при этом det [( I )1 + ( I )2] 0.

Следствия n 1. Простой несимметричный корень I задаёт в ‹E › взаимно однозначно сферически косогональные проектор, рефлектор и тригонометрические функции tg Ф и sec Ф и однозначно пару эквиранговых B B ортопроекторов и орторефлекторов, а также тензорный угол Ф и B тригонометрические функции sin Ф и cos Ф.

B B 2. Все характеристические проекторы В, В, ВВ, ВВ, а также тригонометрические функции угла Ф и соответствующие им B n рефлекторы (тригонометрические корни) в ‹E › приводятся к согласованным W-формам в одном и том же ортонормированном базисе {RW} при исходном декартовом базисе ={R}.

94 Глава 5. Тензорная евклидова и квазиевклидова тригонометрия (Наиболее общо аналогичные “тригонометрические” утверждения имеют место для симметричных и простых несимметричных корней типа S.) § 5.8. Моторные тензорные синус, косинус, секанс и тангенс Тензорный косинус и синус моторного угла формально определяются через ротационную ортогональную матрицу (det R = +1 R = = Rot Ф) как Rot Ф + Rot Ф Rot Ф + Rot (– Ф) cos Ф = cos Ф = =, (259) 2 Rot Ф – Rot Ф Rot Ф – Rot (– Ф) i sin Ф = - (i sin Ф) = =. (260) 2 Тензорный секанс и тангенс моторного угла пока определим формулами:

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.