WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 43 |
А.С. Нинл ТЕНЗОРНАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ Москва «МИР» 2004 УДК 512.64/514.1/530.12 ББК 22.143 Н 60 Нинул А.С.

Н 60 Тензорная тригонометрия. Теория и приложения. - М.: Мир, 2004, 336с., ил.

ISBN 5-03-003717-9 В монографии изложены основы тензорной тригонометрии, базирующейся на квадратичных метриках в многомерных арифметических пространствах. В теоретическом плане тензорная тригонометрия естественным образом дополняет классические разделы аналитической геометрии и линейной алгебры. В практическом плане она даёт инструментарий для решения самых разнообразных геометрических задач в многомерных аффинных, евклидовых, квази- и псевдоевклидовых пространствах. Движения, описываемые тензорной тригонометрией, задают геометрию в малом для вложенных в них подпространств постоянной кривизны.

Кроме того, тензорная ротационная и деформационная тригонометрия в элементарной форме применена к изучению движений в неевклидовых геометриях – сферической и гиперболической, а также в теории относительности. В результате получены наиболее общие – матричные, векторные и скалярные представления этих движений в весьма наглядной тригонометрической форме. Новые методы тензорной тригонометрии предназначены для применения в ряде областей математики и математической физики.

Для специалистов в областях многомерных геометрий арифметических пространств, аналитической геометрии, линейной алгебры, неевклидовых геометрий и теории относительности; для преподавателей, аспирантов и студентов физико-математических специальностей.

УДК 512.64/514.1/530.12 ББК 22.143 Редакция литературы по математическим наукам ISBN 5-03-003717-9 © Нинул А.С., 2004 Настоящее издание посвящается 100-летию первых публикаций по теории относительности и 175-летию первых публикаций по неевклидовой геометрии К читателям Пожалуй, редко какой раздел математической науки так хорошо известен и понятен всем ещё со школьных времён как тригонометрия.

Зародившись в глубокой древности, она практически завершила своё развитие и приобрела современную форму в конце XVIII века в трудах великого Леонарда Эйлера. Между тем геометрия от исторически изначальных евклидовых форм за прошедшие два века шагнула далеко вперёд. В том числе были открыты и изучены её разнообразные неевклидовы и многомерные тензорные формы.

В данной книге предпринято построение общих тензорных форм тригонометрии в многомерных арифметических пространствах с квадратичной метрикой – как евклидовой, так и псевдоевклидовой.

В частности, в этих формах классическая скалярная тригонометрия проявляется на собственных плоскостях или псевдоплоскостях тригонометрического подпространства тензорного угла.

Чтобы прийти к намеченной цели, необходимо было основательно разобраться в ряде смежных вопросов, относящихся к теории точных матриц – составной части линейной алгебры. Затраченные усилия были вознаграждены получением, на наш взгляд, ряда интересных и неожиданных результатов в алгебре и геометрии.

С точки зрения тензорной тригонометрии некоторые довольно сложные и трудно воспринимаемые математические и физические теории видятся совершенно прозрачно и естественным образом.

Здесь это показано на примере тригонометрического моделирования движений в неевклидовых геометриях и в теории относительности.

Тензорная тригонометрия находится на стыке проблем, изучаемых многомерной аналитической геометрией и линейной алгеброй.

Ввиду того что изложение новой теории потребовало применения дополнительных обозначений и терминологии, автор стремился придать им наиболее удобную и логичную форму.

Автор будет весьма признателен всем тем, кто выскажет свои отзывы, замечания или какие-либо полезные предложения по данной книге на интернет-сайте: «http://www.ninulas.narod.ru/».

A. S. Ninul, Tensor Trigonometry. Theory and applications.

Appendix. Trigonometric motion models in non-Euklidean geometries and in theory of relativity.

Publishing House «Mir», Moscow 2004.

Resume The main aim of this monograph is to develop a number of geometric notions of a theory of exact matrices and then to work out the basic statements of a tensor trigonometry for bivalent tensor angles formed by linear subspaces or in accordance with their rotation.

In the first part (Chapters 1–4) a number of problems from a theory of exact matrices is considered. The general inequality for average values is formulated, moreover hierarchical invariants for the spectrally positive matrix are installed. Eigen projectors and quasiinverse matrices are expressed in evident form – in terms of coefficients of the characteristic polynomial. A minimal annulling polynomial is identified. The parameters of matrices singularity and inequalities, connected with them, are studied. Nullsimple and null-normal singular matrices are defined and considered.

In the second part (Chapters 5–12) a tensor trigonometry in affine and metric forms is developed. Binary angle and modulus characteristics for linear objects are determined. The quasi-Euclidean and pseudo-Euclidean tensor trigonometries are constructed in three kinds: projective, reflective and motor (the last term means here rotation or deformation). The complete trigonometric spectrum of a null-simple matrix is established, which serves as a basis for obtaining general sine and cosine normalizing inequalities. The quadratic norms of matrices are determined.

In Appendix the tensor trigonometry in elementary forms is used for studying motions in non-Euclidean geometries and in a theory of relativity. For summing two- and multistep motions (velocities) in them the polar representation of trigonometric rotations is used. The law of summing motions (velocities) is given in the general matrix form. The hyperbolic formalizations of Einstein dilation of time and Lorentz contraction of extent are realized as effects of rotational and deformational transformations of coordinates. The formulas of computation and trigonometric interpretation of particular orthospherical rotation (boost) are given. Trigonometric models for relativistic kinematics and dynamics of a material point in Minkowski space-time are proposed. Four absolute vector and scalar differentially-geometric and physical characteristics of the curved world line, completely defining its configuration in the vicinity of every own world point, are considered, moreover in a gravitational field.

This edition is devoted to the 100ys anniversary of the first publications on a theory of relativity and to the 175ys anniversary of the first publications on a hyperbolic nonEuclidean geometry and also their eminent creators.

Web-site for the communication: www.ninulas.narod.ru/english.html “В симфонию эту я вложил, без преувеличения, всю свою душу...” П. И. Чайковский Предисловие В теории матриц такие классические понятия, как сингулярная матрица и её ранг, собственные подпространства, аннулирующие многочлены, проекторы и т. д., имеют смысл лишь для точных матриц и при точных вычислениях. Различают точную теорию понятий и аппромаксимационную теорию оценок понятий [18]. Каждая из них играет свою роль. Очевидно, что понятия, связанные с точными числовыми характеристиками, относятся к точной теории. Эта теория используется не только для построения и анализа абстракций, но она важна и для анализа объектов прикладных задач. Ведь числовые характеристики объектов всегда точны, а приближённы лишь их разнообразные оценки.

В основной части монографии в двенадцати главах содержатся как результаты исследований по теории точных матриц (раздел I), так и развитая на этой платформе тензорная тригонометрия (раздел II).

Последняя, сама по себе, является составной частью соответствующей геометрии с квадратичным метрическим инвариантом в многомерном арифметическом пространстве.

Исторические корни классической скалярной тригонометрии, как составной части двумерной геометрии, уходят в далёкое прошлое.

Некоторые тригонометрические формулировки содержались ещё в “Началах” Евклида. Интересно, что сферическая тригонометрия стала математически развиваться раньше тригонометрии на плоскости.

Это было обусловлено потребностью в ней со стороны практической астрономии. Сферические функции встречались уже в IX – X веках у арабских математиков. В европейскую науку тригонометрию ввёл в начале XIY века Р. Уоллингфорд, применив её, в частности, к решению прямоугольного треугольника. Гиперболические функции открыл А. Муавр, а реально их начали применять в геометрических исследованиях И. Ламберт и Ф. Тауринус. Современный завершённый вид скалярная тригонометрия получила в трудах Л. Эйлера, который также осуществил её комплексификацию. С другой стороны, геометрия вообще продолжала развиваться далее и особенно бурно в связи с появившейся идеей многомерного геометрического пространства.

6 Предисловие Многомерная геометрия в истории развития математики возникла впервые, по-видимому, в середине ХIХ века в классическом труде Г. Грассмана “Учение о линейном протяжении” (1844г.) [54]. Им же и независимо от него У. Гамильтоном были заложены основы векторного анализа в многомерных арифметических пространствах. Выдающийся вклад в обоснование алгебраического подхода к геометрии объектов арифметического пространства внесла знаменитая аксиома Кантора– Дедекинда о континууме.

Возникновение примерно в то же время и последующее развитие линейной алгебры в трудах Фробениуса, Крамера, Кронекера, Капелли, Сильвестра, Жордана, Эрмита, Вейля и других математиков приводило со временем к всё большему её наполнению геометрическим содержанием. Она нашла эффективное применение в теории векторных евклидовых, а после известных работ А. Пуанкаре и Г. Минковского и псевдоевклидовых пространств. Этому весьма способствовало алгебраическое определение понятий, связанных с метрическими свойствами арифметических пространств (длин векторов и значений углов между ними). Как известно, базисными для определения мер и норм евклидова пространства явились косинусное неравенство Коши и синусное неравенство Адамара. Впоследствии Э. Мур и Р. Пенроуз предложили общие методы квазиобращения матриц. А. Н. Тихонов дал предельный метод нормального решения систем линейных уравнений.

Результаты этих исследований имели также большое геометрическое значение и в какой-то мере явились отправной точкой данной работы.

Главная цель настоящей монографии заключается в разработке и применении тригонометрических понятий многомерной геометрии.

В качестве основной теоретической платформы используется и развивается далее теория точных матриц. При этом показаны дополнительные возможности в использовании получаемых результатов.

Прежде всего, найдена структура матричных характеристических коэффициентов 1-го и 2-го рода, широко фигурирующих в теории точных матриц с середины ХХ века (и возникшие в работах Ж.-М. Сурьё и Д. К. Фаддеева), – в дополнение к известной со времён У. Леверье структуре скалярных характеристических коэффициентов.

Идентифицирован минимальный аннулирующий многочлен матрицы исходя из полученного в работе фундаментального соотношения для её основных параметров сингулярности. Установлен тригонометрический спектр нуль-простой матрицы, на основе которого получены генеральные нормирующие косинусное и синусное неравенства.

Введены общие квадратичные нормы для особых линейных геометрических объектов – линеоров, задаваемых nm-матрицами A, где 1 m < n (при m = 1 это векторы), а также для тензорных углов Предисловие между ними или между их образами в n-мерном арифметическом пространстве. Генеральная норма имеет порядок r, равный рангу матрицы. Евклидова норма (или норма Фробениуса) имеет порядок 1.

Теоретической базой для этих норм стали, во-первых, иерархическое генеральное неравенство для средних величин и, во-вторых, общие тригонометрические неравенства. Первое из них (иерархическое) даёт полную иерархию средних геометрических, алгебраических и степенных, в том числе в их реверсивных формах. Последующие из них (тригонометрические) обобщают неравенства Коши (косинусное) и Адамара (синусное) для общего случая определения скалярного угла между вышеуказанными объектами – линеорами или между их образами – планарами ранга m (при m = 1 между векторами или прямыми). В качестве сопутствующего применения иерархического неравенства средних величин изложен глобальный предельный метод поэтапного вычисления всех корней векового уравнения спектрально положительной матрицы, а также дан более строгий необходимый признак положительности корней алгебраического уравнения, нежели классический признак Декарта.

Главным же результатом монографии, на наш взгляд, является создание в полномасштабных формах тензорной тригонометрии – в трёх естественным образом дополняющих друг друга формах:

проективной, рефлективной и моторной. Определены и изучены два типа моторных тригонометрических преобразований: ротационные (синусно-косинусные) и деформационные (тангенсно-секансные).

В свою очередь, ротационные преобразования через их полярное представление подразделены на сферические, гиперболические и ортосферические. Между всеми сферическими и гиперболическими понятиями установлены дуальные отношения на основе широко используемой в работе сферическо-гиперболической аналогии в абстрактной и конкретной формах в исходном универсальном базисе.

Дано сходное определение квазиевклидовых и псевдоевклидовых пространств, а также их собственных тензорных тригонометрических преобразований – как ротационных, так и орторефлективных через фундаментальный рефлектор-тензор и квадратичную метрику базового n-мерного арифметического пространства.

В парах (сферическое, ортосферическое), (гиперболическое, ортосферическое) ротационные тригонометрические преобразования образуют две некоммутативные группы. Первая из них есть группа квазиевклидовых ротаций. Вторая из них – группа псевдоевклидовых ротаций, или группа Лоренца. Пересечение этих двух групп есть подгруппа ортосферических ротаций. Гиперболические и сферические ротации, вообще говоря, не образуют собственых подгрупп.

8 Предисловие В свою очередь, аналогичные им два собственных множества орторефлективных преобразований (в квазиевкдидовом и псевдоевклидовом пространствах с одним и тем же рефлектор-тензором) с общим их пересечением в виде подмножества ортосферических рефлексий не образуют собственных групп.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.