WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

- определение факта ее устойчивости (неустойчивости);

- анализ качества перехода АС из одного состояния в другое;

- исследование точности АС в установившемся режиме.

Процесс перехода АС из одного состояния в другое называется переходным процессом. Характеристики поведения системы в переходном процессе называются динамическими. Следовательно, переходный процесс есть реакция системы на любое входное воздействие. При исследовании АС входные воздействия желательно выбирать так, чтобы в переходном процессе наиболее полно проявлялись все свойства системы. Такие воздействия называются типовыми:

- импульсное;

- степенные;

- гармонические.

Реакция системы (рис.1б.) на эти воздействия и будет оцениваться динамическими характеристиками.

Рис.1б. Обобщенная схема исследования характеристик АС В качестве таких характеристик чаще всего используются следующие (табл. 1).

Таблица Основные динамические характеристики АС Типовые воздействия Характеристики x1=1(t) x2=h(t) x1=(t) x2=w(t) x1=A1sint x2=A2sin(t+) Ниже рассмотрен алгоритм определения динамических характеристик АС, основанный на представлении системы в виде математической модели и решении описывающих АС уравнений.

Основной формой представления математической модели (ММ) АС является линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ). В случае, если система описывается нелинейным дифференциальным уравнением (ЛНДУ), то его линеаризация производится позднее, на этапе решения ЛНДУ.

Математическая модель АС как правило изображается в общей форме d x2(t) + d1x2 (t) + d x2(t) = b1x1(t) + b0x1(t), 2 F F F F F г де d =, d1 =, d =, b1 =, b0 = x2 0 x2 0 0 x2 0 x1 0 x1 (1) или в стандартной форме T2x2 + 2Tx2(t) + x2 (t) = k T1x1(t) + x1(t), (t) [ ] b0 d b1 d1 d(2) г де k =, T =, T1 =, ==.

d d b0 2Td0 2 d d 0 2 Математическая модель АС, представленная в виде ЛДУ является основой для нахождения динамических характеристик систем в соответствии с алгоритмом (рис.2).

Рис.2. Алгоритм определения динамических характеристик АС Пример Найти функцию веса w(t) по известной переходной функции h(t) h(t)=2(1-e-0,2t).

Решение. Известно [1], что w(t)=h’(t). Поэтому, продифференцировав исходное выражение, получим w(t)=0,4e-0,2t.

Задачи для самостоятельного решения 1. h(t)=5t.

2. h(t)=10.

Найти переходную функцию h(t) по известной функции веса w(t).

3. w(t)=7t.

4. w(t)=3.

t k w(t) = T e 5..

T Для описания АС и исследования их устойчивости применяется аппарат передаточных функций (ПФ). На практике применяются следующие виды передаточных функций:

- передаточные функции по Лапласу;

- передаточные функции по Фурье;

- дискретные передаточные функции;

- передаточные функции по Хевисайду-Карсону;

- передаточные функции – дифференциальные операторы.

В ПФ по Лапласу аргументом является комплексная величина p=С+j.

ПФ по Фурье являются частным случаем операторов Лапласа, когда С=0 и, следовательно, p=j. В ПФ - дифференциальных операторах аргумент p = d dt.

Остальные ПФ получили распространение лишь в узких задачах теории АС.

ПФ могут быть получены различными способами, например:

с использованием преобразований Лапласа от входной и выходной величин объекта;

с использованием дифференциального уравнения объекта;

с использованием соответствующей функции веса.

В первом случае ПФ объекта численно равна отношению преобразования Лапласа его выходной величины к преобразованию Лапласа от его входного воздействия при нулевых начальных условиях i x (t)e-ptdt ( ) L xi t { } xi (p) Wij(p) ===, p = C + j x (p) ( ) j. (3) L x t { } j x (t)e-ptdt j В остальных случаях ПФ находятся по следующим зависимостям BS)-оператор внешних воздействий;

( WS) = ( (4) A(S) - собственный оператор системы;

WS) = L wt) или WS) = L h(t).

( ( ( { } { } (5) Пример Найти передаточную функцию системы по известному дифференциальному уравнению. Начальные условия – нулевые.

4 x2 (t) + 2 x2 (t) + 10 x2 (t) = 5 x1(t).

Решение. Приведя уравнение к стандартной форме, получим 04 x2 (t) + 02 x2 (t) + x2 (t) = 05 x1(t).

,,, Запишем полученное уравнение в операторной форме, используя преобразование Лапласа (04 p2 + 02 p + 1) x2 (p) = 05 x1(t).

,,, Тогда передаточная функция будет иметь вид x2 (p), Wp) ==.

( x1(p) 04 p2 + 02 p +,, Задачи для самостоятельного решения 2 x2 (t) + 4 x2 (t) = 2 x1(t) + 5 x1(t).

6.

8 x2 (t) + 5 x2 (t) = 4 x1(t) + 2 x1(t).

7.

6 x2 (t) + x2 (t) + 2 x2 (t) = 8 x1(t) + 2 f(t).

8.

Найти передаточную функцию W(p) системы по известной функции веса w(t) w(t)=5t.

Решение. Используя связь между передаточной функцией и функцией ( ( веса Wp) = L wt), получим [ ] W(p)=L[5t]=5/p2.

Задачи для самостоятельного решения 9. w(t)=12.

t k w(t) =.

T e 10.

T 11. w(t)=4t2.

По передаточной функции системы найти ее реакцию на единое ступенчатое воздействие (переходную функцию).

kWp) = + k2.

( p Решение. Как следует из условия, звенья с передаточными функциями kи k2 соединены параллельно. По принципу суперпозиции, справедливому p для линейных систем, имеем h(t)=h1(t)+h2(t), где h(t) – переходная функция всей системы;

h1(t) – переходная функция интегрирующего звена;

h2(t) – переходная функция усилительного звена.

Известно, что h1(t)= k1t, h2(t)=k21(t).

Тогда h(t)= k1t+k21(t).

Задачи для самостоятельного решения 4 Wp) = + + 2(4p + 1).

( 12.

p 2p + kWp) = k1 + k2p +.

( 13.

p 2 Wp) = + (8p + 1) +.

( 14.

p 5p + Кроме передаточных функций по Лапласу в теории автоматического управления (ТАУ) активно используются передаточные функции по Фурье, называющиеся также частотными передаточными функциями.

Они позволяют получить информацию о всех показателях синусоидального выходного сигнала объекта, если известна амплитуда и частота его входного синусоидального воздействия. При этом рассматривается только установившийся процесс.

Частотные передаточные функции (передаточные функции по Фурье) получаются теми же тремя способами, что и операторы Лапласа. Только вместо преобразования Лапласа используется преобразование Фурье, определяемое выражением x( j) = x(t) dt.

e- jt (6) где x(t), t0 – любая функция времени, удовлетворяющая условию применения преобразования Фурье.

Кроме того, частотные ПФ не трудно получить, если использовать мнемоническое правило W(S)W(j). (7) При этом частотные ПФ могут быть представлены:

в прямоугольной форме Wj) = P() + jQ();

( (8) в показательной форме j() W( j) = A() ;

(9) e в тригонометрической форме Wj) = A() cos() + jsin() ;

( [ ] (10) Применение частотных передаточных функций позволяет получить частотные характеристики автоматических систем. К ним относятся:

амплитудная частотная характеристика (АЧХ) A(j) = Wj) ;

( (11) логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ) L()=20lgA(); (12) фазовая частотная характеристика (ФЧХ) Q() () = arg ;

(13) P() вещественная частотная характеристика (ВЧХ) P()=A()cos(); (14) мнимая частотная характеристика (МЧХ) Q()=A()sin(). (15) Пример Найти АЧХ и АФХ по известной передаточной функции системы Wj) = (.

4p + Решение. Если записать W( j) = P() + jQ(), где P() – действительная часть;

Q() – мнимая часть, то АЧХ и ФЧХ определяются соответственно по формулам A() = P2 () + Q2 (), (16) Q() () = arctg.

(17) P() Часто W(j) представляет собой дробь R( j) P1() + jQ1() W( j) ==.

G( j) P2 () + jQ2 () Тогда, используя известные в теории комплексных чисел соотношения и подставив исходную ПФ, получим 2 R( j) P1 () + Q1 () A() == = ;

G( j) P2 () + Q2 () 162 + Q1() Q2 () () = arg R( j) - arg G( j) = arctg - arctg = P1() P2 () = 0 - arctg4 = -arctg4.

Задачи для самостоятельного решения Wp) =.

( 15.

p Wp) =.

( 16.

5p + 17. W(p)=10(2p+1).

10p + Wp) =.

( 18.

4p + Пример Определить сигнал x2(t) на выходе системы по известному входному сигналу и передаточной функции системы x1(t)=2sin10t, Wp) =.

( 01p +, Решение. Известно, что при воздействии входного сигнала x1(t)=X1sint на систему выходной сигнал x2(t) по истечении времени переходного процесса также будет гармоническим, но отличается от входного амплитудой и фазой x2(t)=A()X1sin[t+()], (18) где A() – АЧХ системы;

() – ФЧХ системы.

Следовательно для определения x2(t) необходимо найти A(), () и воспользоваться выражением (18).

По передаточной функции найдем A() =, 012 +, ()= -arctg 0,1.

A( = 10) = ; ( = 10) = -.

На частоте =x2 (t) = sin 10t - 4.

() Тогда Задачи для самостоятельного решения x1(t) = 5 sin t; W(p) =.

19.

p x1(t) = 8 sin 0,25t; W(p) =.

20.

4p + x1(t) = 2 sin10t; W(p) = 2 p.

21.

x1(t) = 4 sin25t; W(p) = 10(4p + 1).

22.

2p + x1(t) = 3 sin 4t; W(p) =.

23.

4p + 3. СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ Основные задачи структурного анализа:

изучение способов соединений между звеньями и влияния этих соединений на свойства звеньев;

- изучение влияния звеньев и их соединений на свойства всей системы в целом;

- преобразование многоконтурных структурно-динамических схем к эквивалентным одноконтурным схемам с целью определения по ним требуемых передаточных функций для последующего анализа устойчивости и качества процесса управления.

Основой структурного анализа АС является составление их структурнодинамических схем. Структурная схема обычно составляется на основе анализа функциональной схемы по следующему алгоритму:

- составить уравнения связи объекта управления и элементов управляющего устройства;

- перейти от полученных уравнений связи к уравнениям связи в форме преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях;

- решить каждое уравнение относительно изображения выходной величины и построить по ним структурно-динамические схемы;

- соединить построенные схемы между собой в соответствии с прохождением сигналов и получить искомую СДС системы.

Порядок отображения элементов на схеме. Динамические звенья на схеме обозначаются в виде прямоугольника с указанием входной и выходной величин в операторной форме при нулевых начальных условиях. Внутри прямоугольника записывается передаточная функция. Точки, от которых сигналы начинают проходить по двум или нескольким направлениям, называются узлами разветвления или точками съема. Суммирование сигнала обозначается сумматором. Связи между звеньями, а также между звеньями и сумматорами изображаются сплошными линиями со стрелками, указывающими направление передачи воздействий.

Основными способами соединения звеньев являются:

последовательное, в котором выходной сигнал предыдущего звена является входным сигналом последующего звена (рис.3).

Рис. 3. Последовательное соединение звеньев Передаточная функция последовательного соединения звеньев равна произведению передаточных функций звеньев, входящих в это соединение Xвых (p) Wэ (p) == W1(p) W2 (p) Wn (p) ; (19) Xвх (p) параллельное, в котором на вход всех звеньев подается одновременно один и тот же входной сигнал, а выходные сигналы этих звеньев алгебраически суммируются, образуя общую выходную величину (рис.4).

Передаточная функция параллельного соединения звеньев равна алгебраической сумме передаточных функций звеньев, входящих в это соединение Xвых (p) Wэ (p) == W1(p) + W2 (p)+ +Wn (p) ; (20) Xвх (p) Рис.4. Параллельное соединение звеньев соединение с обратной связью, в котором выход звена соединяется с его входом через звено с передаточной функцией Woc(p), в результате чего образуется замкнутый контур передачи воздействий (рис.5).

Рис.5. Соединение с обратной связью Передаточная функция соединения с обратной связью определяется выражением отрицательная обратная связь (ООС) W1(p) Wэ (p) = ; (21) 1+ W1(p) Woc (p) положительная обратная связь (ПОС) W1(p) Wэ (p) = (22) 1- W1(p) Woc (p);

Пример Найти передаточную функцию системы по ее структурной схеме (рис.6).

Рис.6. Структурная схема АС Решение. Приведем структурную схему к одноконтурной. Сворачивая звенья с передаточными функциями W2(p), W4(p) получим W2 (p) W24 (p) =.

1+ W2 (p) W4 (p) Тогда передаточная функция разомкнутой системы X(p) Wp) == W1(p) W24 (p) W3(p) (.

G(p) Передаточная функция разомкнутой системы по возмущающему воздействию X(p) V(p) == W3(p).

F(p) Передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию X(p) Wp) W1(p) W24 (p) W3(p) ( (p) == =.

G(P) 1+ Wp) 1+ W1(p) W24 (p) W3(p) ( Передаточная функция системы по сигналу ошибки E(p) 1 (p) == = G(p) 1+ Wp) 1+ W1(p) W24 (p) W3(p).

( Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию X(p) V(p) W3(p) f (p) == = F(p) 1+ Wp) 1+ W1(p) W24 (p) W3(p).

( Задачи для самостоятельного решения 24.

25.

26.

27.

28.

Одноконтурные структурно-динамические схемы АС представляют собой замкнутую цепь последовательно соединенных звеньев и определение передаточных функций по таким схемам не представляет больших затруднений.

Многоконтурные структурно-динамические схемы характеризуются наличием звеньев, охваченных обратными связями. Поэтому для определения передаточных функций возникает необходимость в преобразовании таких схем к эквивалентным одноконтурным схемам.

В общем случае преобразование многоконтурных схем к эквивалентным одноконтурным схемам сводится к замене параллельного соединения и соединения с обратной связью эквивалентными звеньями, а также к перестановке различных элементов схемы (точек съема сигналов, сумматоров, звеньев) как по ходу, так и против хода сигнала.

Таблица Преобразование структурных схем № Правило Исходная Эквивалентная преобразования схема схема 1 Перенос точки съема сигнала через звено по ходу сигнала 2 То же против хода сигнала 3 Перенос сумматора через звено по ходу сигнала 4 То же против хода сигнала Основной принцип перестановки элементов схемы состоит в том, чтобы все входные и выходные величины исходного и преобразованного участка схемы остались неизменными. Выполнение этого принципа при структурных преобразованиях обеспечивает получение одноконтурной схемы, которая эквивалентна (тождественно равноценна) исходной многоконтурной схеме.

Основные правила перестановки элементов структурно-динамической схемы, вытекающие из этого принципа, приведены в табл.2.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.