WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 19 |

Теорема 2.2.2 (которую условно можно назвать "теоремой об идеальном агрегировании в моделях стимулирования"), помимо оценок сравнительной эффективности имеет чрезвычайно важное методологическое значение. Она утверждает, что в случае, когда функция дохода центра зависит только от результата деятельности АС, эффективности стимулирования одинаковы как при использовании стимулирования АЭ за наблюдаемые действия, так и при стимулировании за агрегированный результат деятельности, несущий в силу предположений А.5 и А.6 меньшую информацию (отметим, что центр при этом должен знать функции затрат агентов), чем вектор действий АЭ.

Другими словами, наличие агрегирования информации не снижает эффективности функционирования системы. Это достаточно парадоксально, так как в [96] доказано, что наличие неопределенности и агрегирования в задачах стимулирования не повышает эффективности. В рассматриваемой модели присутствует идеальное агрегирование (см. определение и подробное обсуждение проблем агрегирования в управлении активными системами в [96, 103]), возможность осуществления которого содержательно обусловлена тем, что центру неважно какие действия выбирают АЭ, лишь бы эти действия приводили с минимальными суммарными затратами к заданному результату деятельности. Условия А.5 и А.6 оказывается достаточными для того, чтобы центр мог переложить все «проблемы» по определению равновесия на АЭ. При этом уменьшается информационная нагрузка на центр, а эффективность стимулирования остается такой же.

Итак, качественный вывод из результата теоремы 2.2.2 следующий: если доход центра зависит от агрегированных показателей деятельности АЭ, то целесообразно основывать стимулирование АЭ на этих агрегированных показателях. Даже если индивидуальные действия АЭ наблюдаются центром, то использование системы стимулирования, основывающейся на действиях АЭ, не приведет к увеличению эффективности управления, а лишь увеличит информационную нагрузку на центр.

Напомним, что при описании модели АС выше мы ограничились случаем, когда для всех АЭ используется система стимулирования одного типа. В том числе это предположение означает, что, если действия наблюдаемы, то они наблюдаемы центром у всех АЭ, а если ненаблюдаемы, то, опять же, у всех АЭ. На практике часто встречаются ситуации, когда действия одних элементов наблюдаемы, а других – нет. В подобных случаях центру следует использовать комбинацию моделей результатов, приведенных в настоящем разделе выше, и теоремы 2.2.1: тех АЭ, действия которых наблюдаемы, стимулировать на основании их действий, а остальных – на основании агрегированного результата их деятельности.

Итак, в настоящем разделе приведены результаты изучения теоретико-игровых моделей механизмов стимулирования в АС с агрегированием информации. При исследовании этого класса моделей ключевую роль играет обобщение принципа компенсации затрат. Принцип компенсации затрат [76, 99, 100] заключается в том, что оптимальная система стимулирования должна в точности компенсировать затраты АЭ. На модели с агрегированием информации принцип компенсации затрат обобщается следующим образом: минимальные затраты центра на стимулирование по реализации заданного результата деятельности АС определяются как минимум компенсируемых центром суммарных затрат АЭ, при условии, что последние выбирают вектор действий, приводящий к заданному результату деятельности.

2.3. Унифицированные и коллективные формы стимулирования Как отмечалось в первой главе, в управлении проектами распространены унифицированные (то есть одинаковые для всех участников системы или для некоторых их групп) системы стимулирования и системы коллективного стимулирования (когда вознаграждение агента зависит не только от абсолютной величины его собственных действий, но и от результатов деятельности коллектива и/или от сравнительной эффективности действий различных агентов). Поэтому в настоящем разделе рассматриваются задачи синтеза унифицированных и коллективных систем стимулирования – ранговых, пропорциональных, скачкообразных и др., а также оценивается их сравнительная эффективность.

Нормативные ранговые системы стимулирования (НРСС) характеризуются наличием процедур присвоения рангов АЭ в зависимости от показателей их деятельности (выбираемых действий и т.д.). Введем следующие предположения, которые будем считать выполненными на протяжении настоящего раздела.

А.1. Множества возможных действий АЭ одинаковы: A = A = 1, i I.

i + А.2. Функции затрат АЭ монотонны.

А.3. Затраты от выбора нулевого действия равны нулю.

Пусть ={1,2,...m} - множество возможных рангов, где m - размерность НРСС, {qj}, j=1, m - совокупность m неотрицательных чисел, соответствующих вознаграждениям за "попадание" в различные ранги; : A, i i i = 1, n - процедуры классификации. Нормативной ранговой системой стимулирования (НРСС) называется кортеж {m,, { }, {q }}.

i j В работе [147] доказано, что для любой системы стимулирования существует НРСС не меньшей эффективности. То, что в ней центр использует различные процедуры присвоения рангов, может показаться не "справедливым" с точки зрения АЭ. Действительно, например, выбирая одинаковые действия, два АЭ могут иметь различные ранги и, следовательно, получать различные вознаграждения. Более "справедливой" представляется НРСС, в которой процедура классификации одинакова для всех АЭ, то есть так называемая универсальная НРСС, при использовании которой элементы, выбравшие одинаковые действия, получают одинаковые вознаграждения.

Введем вектор Y = (Y, Y,..., Y ), такой, что 0 Y Y... Y < +, 1 2 m 1 2 m который определяет некоторое разбиение множества A. Универсальная НРСС задается кортежем {m, {Y }, {q }}, причем вознаграждение i-го активj j m ного элемента определяется следующим образом: (yi) = qj i i j =I(y [Y,Y )), где I(.) - функция-индикатор, Y = 0, q = 0. Универсальная i j j+! 0 НРСС называется прогрессивной, если q q q... q. Универсальная 0 1 2 m нормативная ранговая система стимулирования (УНРСС) принадлежит к классу унифицированных кусочно-постоянных систем стимулирования (см.

классификацию выше). Исследуем ее эффективность.

Так как УНРСС кусочно-постоянна, то в силу монотонности функций затрат очевидно, что АЭ будут выбирать действия с минимальными затратами на соответствующих отрезках. Иначе говоря, условно можно считать, что при фиксированной системе стимулирования множество допустимых действий равно Y = {Y, Y,..., Y }, причем, так как c (0) = 0, то следует 1 2 m i положить q = 0. Действие, выбираемое i-ым АЭ, определяется парой * (Y, q), то есть имеет место yi (Y,q) =, где Yki (1) ki = arg max {qk - ci(Yk)}, i I.

k =0,m * * * Обозначим y*(Y,q) = ( y1 (Y,q), y2 (Y,q),..., yn (Y,q)). Задача синтеза оптимальной УНРСС заключается в выборе размерности УНРСС m и векторов q и Y, удовлетворяющих заданным ограничениям, которые максимизировали бы целевую функцию центра:

(2) (y*(Y,q)) max.

Y,q Фиксируем некоторый вектор действий y* A', который мы хотели бы реализовать универсальной нормативной системой стимулирования.

Известно, что минимально возможные (среди всех систем стимулирования) затраты на стимулирование по реализации этого вектора соответствуют использованию квазикомпенсаторной системы стимулирования (см. выше и [99, 100, 103]) и равны:

n (3) (y*) = ( yi ).

QK c * i i=Из того, что при использовании УНРСС АЭ выбирают действия только из множества Y, следует, что минимальная размерность системы стимулирования должна быть равна числу попарно различных компонент вектора действий, который требуется реализовать. Следовательно, использование УНРСС размерности, большей, чем n, нецелесообразно. Поэтому ограничимся системами стимулирования, размерность которых в точности равна числу АЭ, то есть положим m = n.

* Для фиксированного y* A' положим Y = yi, i I, и обозначим i c =c (Y ), i, j I. Из определения реализуемого действия (см. (1)) следует, ij i j что для того, чтобы УНРСС реализовывала вектор y* A' необходимо и достаточно выполнения следующей системы неравенств:

(4) q - c q - c, i I, j = 0,n.

i ii j ij Запишем (4) в виде (5) q - q, i I, j = 0, n, j i ij где = c - c. Обозначим суммарные затраты на стимулирование по ij ij ii реализации действия y* УНРСС n (6) (y*) = ( y*), УНРСС q i i=где q(y*) удовлетворяет (4).

Задача синтеза оптимальной (минимальной) УНРСС заключается в минимизации (6) при условии (5).

Из того, что q c, i I, немедленно следует, что y* A' выполнено:

i ii (y*) (y*), то есть минимальные затраты на стимулирование по УНРСС QK реализации любого вектора действий АЭ при использовании универсальных нормативных систем стимулирования не ниже, чем при использовании квазикомпенсаторных систем стимулирования. Следовательно, для эффективностей стимулирования справедлива следующая достаточно "грубая" оценка: K K. Потери от использования УНРСС по сравнению УНРСС QK с оптимальной компенсаторной системой стимулирования обозначим (УНРСС, QK) = (y*) - (y*) 0.

УНРСС QK Таким образом, исследование УНРСС свелось к необходимости ответа на следующие вопросы - какие векторы действий АЭ могут быть реализованы в этом классе систем стимулирования (иначе говоря, для каких действий система неравенств (5) имеет решение) и в каких случаях УНРСС являются оптимальными во всем классе допустимых систем стимулирования (иначе говоря, при каких условиях (УНРСС, QK) = 0), где индекс QK обозначает квазикомпенсаторную систему стимулирования.

Введем в рассмотрение n-вершинный граф G (y*), веса дуг в котором определяются || (y*)||.

ij Задача минимизации (6) при условии (5) является задачей о минимальных неотрицательных потенциалах вершин графа G, для существования решения которой необходимо и достаточно отсутствия контуров отрицательной длины.

Лемма 2.3.1. [19, 103]. Для того чтобы вектор y* A' был реализуем в классе УНРСС, необходимо и достаточно, чтобы граф G (y*) не имел контуров отрицательной длины.

Рассмотрим следующую задачу о назначении:

n (7) min c x ij ij { xij} i, j=n n (8) x {0;1}, i, j, I; = 1, j I; = 1, i I.

ij x x ij ij i=1 j=Лемма 2.3.2. [19, 103]. Для того чтобы x = 1, i I, x = 0, j i, необхоii ij димо и достаточно, чтобы граф G (y*) не имел контуров отрицательной длины.

Теорема 2.3.3. [19, 103]. Для того чтобы вектор y* A' был реализуем в классе УНРСС, необходимо и достаточно, чтобы он являлся решением задачи о назначении (7)-(8).

Из теории графов известно [18], что в оптимальном решении задачи (5)-(6) минимальна не только сумма потенциалов вершин графа G (суммарные затраты на стимулирование), но и минимальны все потенциалы вершин (индивидуальные вознаграждения). То есть решение задачи о назначении (7)-(8) и двойственной к ней задачи (5)-(6) минимизирует не только суммарные выплаты АЭ со стороны центра, но обеспечивает минимальные значения всем индивидуальным вознаграждениям.

Приведенные выше результаты характеризуют множество действий, реализуемых УНРСС. Исследуем теперь эффективность этого класса систем стимулирования. Имея результат теоремы 2.3.3, мы имеем возможность предложить алгоритм вычисления минимальных потенциалов, и, следовательно, количественно оценить потери в эффективности.

Рассмотрим задачу (7)-(8). Перенумеруем АЭ таким образом, чтобы оптимальным было диагональное назначение (9) j I i = j (x = 1).

j ii Поставим в соответствие ограничению (7) двойственную переменную u, j j I, а ограничению (8) - двойственную переменную v, i I. Ограничения i двойственной к (7)-(8) задачи имеют вид:

(10) u - v, i, j, I.

j i ij Заметим, что так как x = 1, i I, то u - = = 0, а значит u - = q.

ii i i ii i i i Используя этот факт, определим следующий алгоритм:

Шаг 0. u = c, j I.

j jj Шаг 1. v := max {u - }, i I.

i j ij jI Шаг 2. u := min {v + }, j I.

j i ij iI Последовательное повторение шагов 1 и 2 алгоритма конечное число (очевидно, не превышающее n) раз даст оптимальное решение задачи (5)(6):

(11) q = u = v, i I.

i i i Обозначим dci ( yi ) (12) ci' (y ) =, i I.

i dyi и введем следующее предположение:

А.4. Существует упорядочение АЭ элементов, такое, что ' ' ' (13) y A c1 (y) c2 (y)... cn (y).

Фиксируем некоторый вектор y* A', удовлетворяющий следующему условию:

* * * (14) y1 y2... yn.

Предположениям А.2-А.4 удовлетворяют, например, такие распространенные в экономико-математическом моделировании функции затрат АЭ, как: ci(yi) = ki c(yi), ci(yi) = ki c(yi/ki) где c( ) монотонная дифференцируемая функция, а коэффициенты упорядочены: k1 k2... kn (частными случаями являются линейные функции затрат, функции затрат типа Кобба-Дугласа и др.).

Лемма 2.3.4. [19, 103]. Если выполнены предположения А.1, А.2 и А.4, то в задаче (7)-(8) оптимально диагональное назначение.

Следствие 2.3.5. Если выполнены предположения А.1, А.2 и А.4, то универсальными ранговыми системами стимулирования реализуемы такие и только такие действия, которые удовлетворяют (14).

В активных системах, удовлетворяющих предположениям А.1-А.(включая А.3!), для определения оптимальных потенциалов может быть использована следующая рекуррентная процедура, являющаяся частным случаем (соответствующим А.3-А.4) общего приведенного выше алгоритма:

q1 = c11, qi = cii + max {qj - cij}, i = 2, n.

j

j ij i-1 ii-j

i (15) q = (c ( y* ) - c ( y*-1 )).

i j j j j j =Подставляя (15) в (6), получаем, что потери от использования универсальных нормативных ранговых систем стимулирования (по сравнению с квазикомпенсаторными) равны:

n i * (16) = { (cj( y* ) - cj( y*-1 ))} - ci( yi-1 )}.

j j i=1 j =Теорема 2.3.7. [19, 103]. Если выполнены предположения А.1 - А.4, то:

а) в классе универсальных нормативных ранговых систем стимулирования реализуемы такие и только такие действия, которые удовлетворяют условию (14);

б) оптимальное решение задачи стимулирования при этом определяется выражением (15);

в) превышение затратами на стимулирование минимально необходимых определяется выражением (16);

г) оптимальная УНРСС является прогрессивной.

Отметим, что выше исследовались УНРСС размерности n. Частым случаем УНРСС являются унифицированные системы стимулирования С-типа (УНРСС размерности 1), подробно исследуемые в [19, 96, 103].

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 19 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.