WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 19 |

Более того, величины { } в выражениях (5), (8) и (9) играют важную роль и i с точки зрения устойчивости [107] компенсаторной системы стимулирования по параметрам модели. Например, если функция затрат i-го АЭ известна с точностью до / 2, то компенсаторная система стимулироваi i ния все равно реализует действие y* (см. доказательства и подробное обсуждение в [48, 91, 98]).

Вектор оптимальных реализуемых действий АЭ y*, фигурирующий в качестве параметра в выражении (9), определяется в результате решения следующей задачи оптимального согласованного планирования: y* = arg max {H(t) – (t)}, а эффективность tA системы стимулирования (9) равна следующей величине:

n K* = H(y*) - ( y* ) -.

c i i=Теорема 2.1.3. [101, 103]. Класс (с параметром y*) систем стимулирования (8), (9) является -оптимальным.

В рассмотренных задачах стимулирования оптимальными являются, в частности, разрывные квазикомпенсаторные функции стимулирования: АЭ компенсировались затраты при выборе ими определенных действий (при тех или иных предположениях об обстановке игры), в остальных случаях вознаграждение равнялось нулю. Рассмотрим насколько изменятся полученные результаты, если потребовать, чтобы функции стимулирования были непрерывными. Интуитивно понятно, что, если стимулирование будет в окрестности реализуемого действия изменяться быстрее, чем затраты, то все результаты останутся в силе. Приведем формальный результат.

Пусть в рассмотренной выше модели функции затрат АЭ непрерывны по всем переменным, а множества возможных действий АЭ компактны.

Определим непрерывные функции стимулирования следующего вида * (12) (y) = c (y) q (y, y), i i i i * где q (y, y) – непрерывная функция своих переменных, удовлетворяющая i i следующему условию:

* * * (13) i I y A y-i i i i i i A-i q (y, y) 1, q (y, y, y-i ) = 1.

i i Теорема 2.1.4. [101, 103]. Если выполнена гипотеза благожелательности, то при использовании центром системы стимулирования (12)-(13) y* – РДС.

Таким образом, при исследовании моделей стимулирования в АС с сильно связанными элементами ключевую роль играют два принципа – принцип декомпозиции игры АЭ и принцип компенсации затрат. Принцип компенсации затрат, заключающийся в том, что минимальная система стимулирования, реализующая любое действие АЭ, должна в точности компенсировать его затраты, справедлив и для многоэлементных, и для одноэлементных АС. Принцип декомпозиции игры (см. теоремы 2.1.1 и 2.1.2) АЭ специфичен для многоэлементных АС и заключается побуждении АЭ выбирать наиболее выгодные для центра действия как РДС, за счет использования соответствующих систем стимулирования (см. выражения (8) и (9)), которые являются оптимальными (теорема 2.1.3).

2.2. Агрегирование информации Как отмечалось в первой главе, определение проекта как целенаправленного изменения некоторой системы подразумевает существование критерия его завершения в виде факта достижения определенного результата. Этот результат достигается за счет совместной деятельности множества участников проекта (исполнителей), причем проект-менеджер, особенно высшего звена, зачастую не имеет возможности (а иногда и необходимости или желания) осуществлять оперативный мониторинг и контроль действий каждого исполнителя, так как его интересует в первую очередь конечный результат деятельности. Поэтому в настоящем разделе решается задача синтеза оптимальной системы стимулирования исполнителей для системы, в которой имеет место агрегирование информации относительно индивидуальных действий участников проекта.

В большинстве известных моделей стимулирования рассматриваются либо детерминированные активные системы (АС), в которых управляющий орган - центр - наблюдает результат деятельности каждого из управляемых субъектов - активных элементов (АЭ), находящийся в известном взаимно однозначном соответствии с выбранной последним стратегией (действием), либо АС с неопределенностью, в которых наблюдаемый результат деятельности АЭ зависит не только от его собственных действий, но и от неопределенных и/или случайных факторов.

Модели детерминированных многоэлементных АС, в которых центру известен только агрегированный результат деятельности АС, зависящий от действий всех АЭ, на сегодняшний день практически не исследованы (исключение составляют работы [5, 6], в которых рассматриваются проблемы точного агрегирования в иерархических играх, и [96], в которой производится в основном качественное обсуждение задач агрегирования в моделях АС).

Ниже формулируется и решается задача стимулирования в многоэлементной детерминированной АС, в которой центр имеет агрегированную информацию о результатах деятельности АЭ.

Методологическую основу исследования составляют результаты изучения проблем агрегирования в теоретико-игровых моделях [5, 6] и принцип декомпозиции игры АЭ (см. раздел 2.1), позволяющий эффективно решать задачи управления многоэлементными АС.

Постановка задачи стимулирования в АС с агрегированием информации. Рассмотрим многоэлементную детерминированную двухуровневую АС, состоящую из центра и n АЭ. Стратегией АЭ является выбор действий, стратегией центра – выбор функции стимулирования, то есть зависимости вознаграждения каждого АЭ от его действий и, быть может, действий других АЭ или других агрегированных показателей их совместной деятельности.

Пусть результат деятельности z A0 = Q(A’) АС, состоящей из n АЭ, является функцией (называемой функцией агрегирования) их действий: z = Q(y). Интересы и предпочтения участников АС – центра и АЭ – выражены их целевыми функциями. Целевая функция центра является функционалом (, z) и представляет собой разность между его доходом H(z) и суммарным вознаграждением n (z), выплачиваемым АЭ: (z) = (z), где (z) - стимулирова i i i=ние i-го АЭ, (z) = ( (z), (z), …, (z)), то есть 1 2 n n (1) ( ( ), z) = H(z) - (z).

i i=Целевая функция i-го АЭ является функционалом fi(, y) и i представляет собой разность между стимулированием, получаемым им от центра, и затратами ci(y), то есть:

(2) fi( ( ), y) = (z) - ci(y), i I.

i i Примем следующий порядок функционирования АС. Центру и АЭ на момент принятия решения о выбираемых стратегиях (соответственно - функциях стимулирования и действиях) известны целевые функции и допустимые множества всех участников АС, а также функция агрегирования. Центр, обладая правом первого хода, выбирает функции стимулирования и сообщает их АЭ, после чего АЭ при известных функциях стимулирования выбирают действия, максимизирующие их целевые функции.

В случае, когда индивидуальные действия АЭ наблюдаемы для центра (или когда центр может однозначно восстановить их по наблюдаемому результату деятельности), последний может использовать систему стимулирования, зависящую непосредственно от действий АЭ: i I ~i (y) = (Q(y)). Методы решения задачи i стимулирования для этого случая описаны выше. Поэтому рассмотрим случай, когда центр наблюдает только результат деятельности АС, от которого зависит его доход, но не знает и не может восстановить индивидуальных действий АЭ, то есть имеет место агрегирование информации - центр имеет не всю информацию о действиях АЭ, а ему известен лишь некоторый их агрегат.

Относительно параметров АС введем следующие предположения, которые, если не оговорено особо, будем считать выполненными в ходе всего последующего изложения материала настоящего раздела:

А.1. i I A - отрезок 1 с левым концом в нуле.

i + А.2. i I 1) функция ci( ) непрерывна по всем переменным; 2) yi Ai ci(y) не убывает по yi, i I; 3) y A’, ci(y) 0; 4) y-i A-i, ci(0, y-i ) = 0.

А.3. Функции стимулирования кусочно-непрерывны и принимают неотрицательные значения.

А.4. Функция дохода центра непрерывна и достигает максимума при ненулевом результате деятельности АС.

m А.5. Q: A’ A – однозначное непрерывное отображение, где 1 m < n (при m n смысл агрегирования теряется).

Обозначим P( ) – множество равновесных по Нэшу при системе стимулирования действий АЭ – множество реализуемых действий (то есть будем считать, что АЭ выбирают свои стратегии одновременно и независимо друг от друга, не имея возможности обмениваться дополнительной информацией и полезностью). Минимальными затратами центра на стимулирование по реализации действий АЭ y’ A’ будем называть минимальное значение суммарных выплат элементам, при которых данный вектор действий является равновесием Нэша в игре АЭ, то есть решение следующей задачи: ( Q( y' )) min, где (y’) = { () | y’ P( )}.

i ( )( y' ) iI Как и в одноэлементной АС [27, 99, 100], гарантированной эффективностью (далее просто "эффективностью") стимулирования является минимальное значение целевой функции центра на соответствующем множестве решений игры:

(3) K( ( )) = min ( ( ), Q(y)).

yP( ()) Задача синтеза оптимальной функции стимулирования заклю* чается в поиске допустимой системы стимулирования, имеющей максимальную эффективность:

* (4) = arg max K( ( )).

() В разделе 2.1 показано, что в частном случае, когда действия АЭ наблюдаются центром, оптимальной (точнее – -оптимальной, n где = ) является квазикомпенсаторная система стимулиро i i=^ вания, зависящая от наблюдаемых действий АЭ:

K * * ^ ci ( yi, y-i ) + i, yi = yi (5) =, i I, i K * yi yi 0, где - сколь угодно малые строго положительные константы, а i оптимальное действие y*, реализуемое системой стимулирования (5) как единственное равновесие в доминантных стратегиях [99, 103], является решением следующей задачи оптимального ^ n согласованного планирования: y* = arg max { H (y) – ( yi ) }, c i yA i=^ где H () – функция дохода центра, зависящая от наблюдаемых ^ действий АЭ. Взаимосвязь между функциями H() и H (), а также ^ ( ) и () исследовалась в [5]. В ходе дальнейшего изложения мы будем считать что функция дохода центра H( ) и функция стимулирования ( ) зависят от агрегированного результата деятельности z A0.

Отметим, что в рассмотренных в [101, 103] задачах стимулирования декомпозиция игры АЭ, то есть переход к набору одноэлементных АС, основывалась на возможности центра поощрять АЭ за выбор определенного (и наблюдаемого центром) действия. Если действия АЭ ненаблюдаемы, то непосредственное применение идеи декомпозиции (то есть оптимальной системы стимулирования (5)) невозможно, поэтому при решении задач стимулирования, в которых вознаграждение АЭ зависит от агрегированного результата деятельности АС, следует использовать следующий подход (принцип агрегирования) – найти множество действий, приводящих к заданному агрегированному результату деятельности, выделить среди них подмножество, характеризуемое минимальными суммарными затратами АЭ (и, следовательно, минимальными затратами центра на стимулирование при использовании компенсаторных функций стимулирования, которые оптимальны), построить систему стимулирования, реализующую это подмножество действий, а затем определить - реализация какого из результатов деятельности наиболее выгодна для центра.

Перейдем к формальному описанию решения задачи стимулирования в АС с агрегированием информации.

Решение задачи стимулирования в АС с агрегированием информации. Определим множество векторов действий АЭ, приводящих к заданному результату деятельности АС:

Y(z) = {y A’ | Q(y) = z} A’, z A0.

В [27, 48, 100] доказано, что в случае наблюдаемых действий АЭ минимальные затраты центра на стимулирование по реализации вектора действий y A’ равны суммарным затратам АЭ ( y).

c i iI По аналогии вычислим минимальные суммарные затраты АЭ по ~ достижению результата деятельности z A0 (z) = min yY (z) n n ci(y), а также множество действий Y*(z) = Arg min ci(y), yY (z) i=1 i=на котором этот минимум достигается.

Введем следующее предположение.

А.6. x A, y’ Y(x), i I, y Proj Y(x) c (y, y’-i ) не убывает по 0 i i j i y, j I.

i В частности, предположение А.6 выполнено в случае, когда затраты каждого АЭ зависят только от его собственных действий.

Фиксируем произвольный результат деятельности x A0 и произвольный вектор y*(x) Y*(x) Y(x).

Теорема 2.2.1. [102, 103]. При использовании центром системы стимулирования ci ( y*(x)), z = x * (6) (z) =, i I, ix z x 0, вектор действий АЭ y*(x) реализуется с минимальными затратами ~ центра на стимулирование равными (x).

Недостатком системы стимулирования (6) является то, что при ее использовании центром, помимо определяемого теоремой 1 множества равновесий Нэша, существует равновесие в доминантных стратегиях, в том числе – вектор нулевых действий. Из доказательства теоремы 2.2.(см. [102, 103]) следует, что для того чтобы точки множества Y*(x) были единственными равновесными точками, центр должен за их выбор доплачивать АЭ сколь угодно малую, но положительную, величину, то есть использовать следующую систему стимулирования (см. для сравнения (5)):

ci ( y* (x)) + i, z = x * (z) =, i I, ix 0, z x которая является -оптимальной.

Итак, первый шаг решения задачи стимулирования (3)-(4) заключается в поиске минимальной системы стимулирования (характеризуемой в силу теоремы 2.2.1 затратами центра на стимулирова~ ние, равными (x) ), реализующей вектор действий АЭ, приводящий к заданному результату деятельности x A0. Поэтому на втором шаге решения задачи стимулирования найдем наиболее выгодный для центра результат деятельности АС x* A0 как решение задачи оптимального согласованного планирования:

~ x* = arg max [H(x) - (x) ].

xAЭффективность унифицированных систем стимулирования, то есть систем стимулирования, в которых центр использует для всех АЭ одну и ту же зависимость индивидуального вознаграждения от результата деятельности АС (системы стимулирования, в которых зависимости вознаграждений АЭ от результатов их деятельности различны, называются персонифицированными [96]) исследовалась в [104] и оказалась не выше эффективности персонифицированного стимулирования.

Исследуем как незнание (невозможность наблюдения) центром индивидуальных действий АЭ влияет на эффективность стимулирования.

Пусть как и выше функция дохода центра зависит от результата деятельности АС. Рассмотрим два случая. Первый случай - когда действия АЭ наблюдаемы, и центр может основывать стимулирование как на действиях АЭ, так и на результате деятельности АС.

Второй случай, когда действия АЭ ненаблюдаемы, и стимулирование может зависеть только от наблюдаемого результата деятельности АС. Сравним эффективности стимулирования для этих двух случаев.

В первом случае минимальные затраты на стимулирование (y) по n реализации вектора y A' действий АЭ равны: (y) = c (y), а эффек1 i i=тивность стимулирования K равна: K = max {H(Q(y)) - (y)}. Во втором 1 1 yA случае минимальные затраты центра на стимулирование (z) по реализации результата деятельности z A определяются следующим образом n (см. теорему 2.2.1): (z) = min c (y), а эффективность стимулиро2 i yY (z) i=вания K2 равна: K2 = max {H(z) - (z)}.

zAТеорема 2.2.2. [102, 103]. K2 = K1.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 19 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.