WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 19 |

Обозначим ui Ui - управление, выбранное i-ым центром1, i K, u = (u1, u2, …, uk). Если управление u скалярно (с точки зрения агента), то предположим, что это скалярное управление является известной участникам ОС функцией F( ) от управлений, выбранных центрами, то есть u = F( u ), u U = {u | u = F( u ), ui Ui, i K}.

Пусть информированность участников стандартная (см. определение выше), а последовательность функционирования следующая: центры одновременно и независимо (коалиционные эффекты в настоящей работе не рассматриваются) выбирают свои управления {ui} (что приводит к реализации скалярного или векторного управления u = F( u )); далее агент при известном ему управлении u U выбирает свое действие y A, что однозначно определяет выигрыши участников ОС.

Пусть y( u ) - известная центрам зависимость действия, выбираемого агентом, от управлений, назначенных центрами. Тогда вектор uN является равновесием Нэша тогда и только тогда, когда выполнено: i K, i i - - - ui U ( uN, y(uN )) ( uNi, ui, y( uNi, ui)), где uNi = (u1, uN, …, N k ui -1, ui +1, …, uN ) - обстановка игры центров для i-го центра, i K.

N N i Относительно целевых функций центров { ( u, y)} введем следующее предположение.

i А.3. Целевая функция i-го центра (ui, y) зависит явным образом только от соответствующего управления и действия агента и непрерывна на компакте Ui A, i K.

Множество реализуемых управлением u U действий агента имеет вид: P(u) = Arg max f(u, y).

yA При решении задачи управления существенно доопределение того, что следует понимать под действием агента, выбираемым им при заданных управлениях со стороны центров, то есть какие значения в рамках Условимся, что верхние индексы нумеруют центры.

гипотезы рационального поведения агента может принимать y( u ). Подробное обсуждение приведено в [104].

Пусть yi( u ) A - представления i-го центра о выборе агента при 2 k управлении u, i K. Вектор управлений uN = (u1, uN, …, uN ) является N равновесием Нэша тогда и только тогда, когда i K, ui Ui i i ( ui, yi( uN )) (ui, yi( uNi, ui)).

N Множество равновесий Нэша обозначим EN.

Таким образом, характерной особенностью системы с распределенным контролем является наличие игры центров.

Исследуем свойства решений этой игры для задачи стимулирования.

В задаче стимулирования с одним центром скалярное управление u U определяется по управлениям центров следующим образом:

(2) ( y) = (y) = ( y).

i iK Если центров несколько, то подобный переход невозможен, так как имеются k 2 центров с целевыми функциямиi i (3) Wi(, y) = Hi(y) - (y), i K.

Целевая функция агента имеет вид:

(4) w(, y) = (y) - c(y).

Для задачи стимулирования с целевой функцией агента вида (4) в рамках предположения А.2 доказано (см. выше и [48, 100, 104]), что при использовании компенсаторной системы стимулирования в рамках ГБ агент выберет действие y*. Следовательно, минимальные суммарные затраты центров на стимулирование по реализации действия y A равны (точнее - при отказе от ГБ сколь угодно близки к) соответствующим затратам агента, то есть (y) = c(y).

min Из этого следует, что при использовании центрами компенсаторных управлений, в рамках предположения А.2 выбор агента однозначен и совпадает с y* A, поэтому будем считать, что yi(u ) = y*, i K.

Свойства стратегий центров в задаче стимулирования определяются следующей леммой.

Отметим, что рассматриваемая модель качественно эквивалентна модели, в которой единственный центр имеет векторные предпочтения на множестве U A. Именно по этой причине в настоящей работе рассматриваются управляющие органы со скалярными предпочтениями.

Лемма 2.8.2. [104]. Пусть выполнены предположения А.1-А.3 и ГБ. Тогда в задаче стимулирования для любого вектора стратегий центров, реализующего действие y* A агента (y* P( )), существует недомини* руемый им по Парето вектор стратегий центров, который реализует то же действие агента и имеет вид:

i, y = y* *i (5) (, y) =, i K, 0, y y* i где величины { } удовлетворяют следующим условиям:

i (6) 0, i K; = c(y*).

i iK Если выполнено предположение А.2' (см. выше), то существует функция с-1( ), обратная к функции затрат агента, и равенство в условии (6) можно записать в виде (7) y( ) = c-1( ).

i iK Лемма 2.8.2 позволяет в ряде случаев при исследовании задачи стимулирования в ОС с несколькими центрами (для решения которой необходимо искать k функций стимулирования и реализуемое ими действие) без потери эффективности ограничиться задачей поиска (k+1)-го скалярного i параметра, то есть k чисел { } и реализуемого действия y*.

Пусть действие агента y* A реализуется системой стимулирования i, y = y* i (8) (, y) =, i K.

0, y y* (9) = c(y*) i iK Обозначим i (10) Wmax = max {Hi(y) - c(y)}, i K, yA i (11) ymax = arg max {Hi(y) - c(y)}, i K.

yA Теорема 2.8.3. [104]. Решение игры центров в задаче стимулирования при использовании ими стратегий типа (5) определяется выражениями (9) и i i (12) Hi(y*) - Wmax, i K.

Пусть - множество векторов 0, удовлетворяющих (9), (12) при всевозможных y* A. Если это множество непусто, то говорят, что имеет место режим сотрудничества центров. Обозначим множество действий агента, реализуемых равновесными по Нэшу стратегиями центров (13) PK = {y A | 0: (9), (12)}.

Случай, когда множество пусто, называемый режимом конкуренции центров, исследуется (строятся сильно равновесные по Нэшу стратегии центров) в [104].

Содержательно, в игре центров имеются два режима - режим сотрудничества и режим конкуренции.

Режим сотрудничества имеет место когда множество не пусто (для этого интересы центров должны различаться не очень сильно). При этом центры совместно компенсируют затраты агента (множество недоминирующих друг друга по Парето допустимых дележей затрат при этом может оказаться достаточно широким) и получают полезность, превышающую полезность, получаемую каждым из них в случае индивидуального управления агентом.

Режим конкуренции появляется когда множество пусто (для этого интересы центров должны быть почти антагонистичны). При этом один из центров (содержательно - обладающий наибольшими ресурсами управления) единолично не только компенсирует затраты агента, но и переплачивает ему ровно столько, чтобы обезопасить себя от возможности соглашения агента на другие (более выгодные для него) условия, которые может предложить любой другой центр.

Интересно отметить, что режим конкуренции невыгоден ни одному из центров, так как любая точка из множества (если оно непусто) доминирует его Парето. Тем не менее этот режим является "равновесным", то есть при сильно различающихся интересах и отсутствии возможности согласовать свои действия (напомним, что мы рассматриваем некооперативное взаимодействие центров) неэффективная ситуация является единственной ситуацией, устойчивой относительно индивидуальных отклонений.

В [104] показано, что даже в случае двух центров для фиксированного действия агента, которое центры хотят реализовать, существует целое множество комбинаций выплат со стороны центров (сумма платежей фиксирована, а распределяться между центрами эти платежи могут разными способами). Все эти комбинации принадлежат множеству Парето, следовательно априори (и не вводя дополнительных предположений) сказать что-либо о конкретной реализации точки Нэша нельзя. Поэтому рассмотрим возможные дополнительные предположения о поведении центров.

Первая группа предположений относится к последовательности выбора стратегий центрами, то есть их априорному упорядочению по времени выбора стратегий и взаимным обязательствам следовать установленным правилам игры. Например, игра центров может производиться в два этапа - сначала они согласованно выбирают действие агента, которое в дальнейшем необходимо реализовать, а затем последовательно (например, по-одному) выбирают свои платежи агенту. Если принято решение реализовать действие y* A, и центры, обязанные подчиниться этому решению, упорядочены в порядке возрастания их номеров, то, очевидно, что имеет k k-i место: = min {c(y*); Hk(y*)}, = min {c(y*) - j ; Hk-1(y*)}, j>k -i i = 1,k -1.

Содержательная интерпретация такого механизма прозрачна:

представим себе k-уровневую иерархическую систему управления, которая должна побудить управляемый субъект совершить некоторые действия, то есть, как минимум, компенсировать ему затраты по совершению этих действий. Если ресурс нижнего уровня управления (с номером k, отсчитываемым от самого верхнего уровня иерархии) достаточен для этого (то есть c(y*) Hk(y*)), то он осуществляет управление самостоятельно, не затрагивая более высоких уровней иерархии. Если ресурс недостаточен (то есть c(y*) > Hk(y*)), то он полностью использует свой ресурс и обращается за разницей c(y*) - Hk(y*) к представителю более высокого уровня, который поступает аналогично и т.д. Понятно, что для более адекватного отражения специфики иерархических многоуровневых ОС можно приписывать различные "ценности" единицам ресурсов различных уровней и т.д. (см. модели иерархических ОС в [96]).

Вторая группа предположений относится к информационному взаимодействию центров (кооперативные игры с нетрансферабельной полезностью), а также к их возможности обмениваться полезностью (кооперативные игры с трансферабельной полезностью) [41, 54, 189]. Если центры могут принимать решения сообща и обладают возможность осуществлять побочные платежи (условно можно считать, что в классе стратегий вида (5) игра центров уже является игрой с трансферабельной полезностью - центры могут в широких пределах "передавать" друг другу полезность, варьируя {i}), то возникает кооперативная игра центров. Для поиска решений этой игры (например для исследования условий непустоты Сядра или существования и свойств какого-либо иного решения) необходимо (но не достаточно!) использование введенного представления. Содержательно последнее утверждение означает, что в первую очередь центры могут, например, в первую очередь попробовать образовать максимальную (включающую все центры) коалицию и максимизировать суммарную полезность, побуждая агента выбрать соответствующее действие, а затем обменяться платежами, компенсировав тем центрам, которым выбор агентом именно этого действия не очень выгоден, "потери" в полезности.

Если имеется векторное множество допустимых действий агента, предпочтительность которых оценивается им по значениям скалярной функции полезности, то содержательно такая модель соответствует, например, ОС, в которой имеются несколько бизнеспроцессов, результаты которых оцениваются по некоторому единому критерию, например, времени, или объему выпуска, или маржинальной прибыли, или затратам и т.д. Все общие результаты, описанные выше, остаются в силе и для этого случая (напомним, что предположение А.1 заключалось в частности только в компактности допустимых множеств, размерность которых не оговаривалась, а в предположении А.2 достаточно потребовать, чтобы выполнялось A = n A, и строгой монотонности функций дохода и + затрат по всем переменным).

Для задач стимулирования существует глубокая взаимосвязь между моделями ОС с векторными действиями агента и многоэлементной ОС, в которой агенты выбирают скалярные действия, а их вознаграждение основывается на наблюдаемом агрегированном результате их деятельности, являющемся известной функцией от их действий (подробное описание решения этой задачи и соответствующие примеры приведены в [103, 104]).

Рассмотрим теперь случай, когда имеется векторная целевая функция агента, по значениям компонент которой он оценивает предпочтительность скалярного или векторного действия. Содержательно такая модель соответствует, например, ОС, в которой имеется один бизнес-процесс, результаты которого оцениваются агентом, реализующим этот процесс, по нескольким критериям, например, времени, объему выпуска, затратам и т.д.

В теории принятия решений получено значительное число результатов [12, 64, 105, 113], посвященных методам поиска множества Парето, исследованию его свойств и т.д., описывать которые подробно мы не будем. Отметим лишь, что вся трудность исследования моделей ОС с векторными предпочтениями участников заключается в отсутствии для этого случая единой универсальной концепции рационального выбора. Если в случае скалярных предпочтений участников (то есть предпочтений, описываемых целевыми функциями, отображающими декартово произведение допустимых множеств всех участников в ) их рациональное поведение заключалось в стремлении к максимизации целевой функции выбором собственной стратегии (при этом, правда, приходится доопределять выбор в случае, когда множество максимумов содержит более одной точки - см. ГБ и принцип МГР выше), то в случае векторных предпочтений понятие рационального поведения определяется не столь однозначно. Понятно, что следует потребовать, чтобы участник ОС выбирал стратегию которая не ухудшала бы одновременно значения всех критериев (аксиома Парето), однако в большинстве случаев это требование является слишком слабым.

Поэтому при построении конкретной модели исследователь операций вынужден конкретизировать закладываемые в модель предположения о поведении центров и агента, то есть вводить допущения, в рамках которых моделируемая ОС описывается наиболее адекватно (с его субъективной точки зрения с учетом всей имеющейся объективной информации). Перейдем к формальным определениям.

Обозначим N = {1, 2, …, n } - множество критериев и определим мноf f жество действий, оценки которых при данном управлении u U эффективны по Парето1:

Еще раз подчеркнем глубокую взаимосвязь (с точки зрения методов описания и исследования) между многоэлементными ОС с унитарным контролем и ОС РК. В многоэлементных ОС УК имеет место игра агентов и считается, что агенты выбирают вектор действий, принад(14) Par(A, u, {f }) = {y A | y' A (f (u, y') f (u, y), i N ) i i i f f (u, y') = f (u, y)}, i i то есть множество таких действий агента, что выбор любых других действий приводит к ухудшению оценок хотя бы по одному из критериев.

Определим также множество полуэффективных (оптимальных по Слейтеру) при данном управлении u U действий агента:

(15) Sl(A, u, {f }) = {y A | y' A i N : f (u, y') f (u, y)}.

i f i i Естественно считать1, что множество реализуемых действий содержится в соответствующем множестве типа (14), то есть агент заведомо выбирает действия, недоминируемые по Парето.

Множество (14) может оказаться слишком широким для того, чтобы конструктивно его использовать как определение множества реализуемых действий P(u), следовательно, хотелось бы определить P(u) таким образом, чтобы выполнялось P(u) Par(u).

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 19 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.