WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 16 |

В математике для описания связей между переменными величинами используют понятие функции F, которая ставит в соответствие каждому определенному значению независимой переменной X определенное значение зависимой переменной Y. Поэтому полученная зависимость Y = F(X) называется функциональной. Эта зависимость однозначна, т.е. для данного значения X будет существовать единственное значение Y.

В тоже время для стохастических процессов связь между переменными может быть выявлена чаще всего только после соответствующей обработки данных.

Допустим, например, что производится механическая обработка заготовок типа тел вращения на токарном станке с разной глубиной резания s при постоянной подаче. Очевидно, что объем снятого материала Q при увеличении глубины резания будет пропорционально расти. Функциональная зависимость объема от глубины резания выразится уравнением Q = k·s, где k – постоянный множитель. В действительности при изменении глубины резания прирост объема снятого материала не будет точно подчиняться приведенному уравнению, так как в процессе резания на резец и деталь действуют случайные факторы в виде динамических возмущений, изменяющие значения показателей процесса, рассчитанных в приведенном уравнении на какие-то постоянные условия обработки. Эти постоянные условия заложены в постоянный множитель k. К динамическим факторам резания относятся температура резания, износ режущей кромки резца, вибрации элементов технологической системы и др. Возможный график стохастической зависимости объема материала от глубины резания имеет вид, отраженный на рис. 2.15.

Q, смs, мм Рис. 2. 15. Стохастическая зависимость переменных Q и s. 1 – линия регрессии Такого рода статистическая зависимость между переменными величинами называются корреляционной. Корреляционная зависимость возникает тогда, когда один из признаков зависит не только от второго, но и от ряда случайных факторов или условий, от которых зависят оба фактора. Корреляционные связи не могут рассматриваться как свидетельство причинноследственной зависимости. Они свидетельствуют лишь о том, что изменения одного признака, как правило, соответствуют определенному изменению другого. При этом неизвестно, находится ли причина изменений в одном из признаков или она оказывается за пределами исследуемой пары признаков [17].

Виды корреляционных связей между измеренными признаками могут быть линейными и нелинейными, положительными или отрицательными.

Варианты корреляционных связей отражены на рис. 2.16 (а - г). Возможна также ситуация, когда между переменными невозможно установить какуюлибо зависимость (рис. 2.16 г). В этом случае говорят об отсутствии корреляционной связи. С целью выявления характеристик корреляционных зависимостей применяют корреляционный анализ.

Прежде чем начать исследование парной стохастической зависимости, необходимо убедиться, что массив данных характеризует наличие только двух переменных, корреляционные связи которых надо раскрыть. То есть надо проанализировать собранную информацию на предмет расслоения данных измерения, проверить возможность вмешательства в одну из переменных дополнительного стратифицирующего фактора.

у у n =30 r 0,9 n =30 r - 0,5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 x 0 1 2 3 4 5 6 7 x a б у n =30 r 0,0 у n =7 6 5 Выбросы 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 х 0 1 2 3 4 5 6 7 х г в Рис. 2. 16. Диаграммы рассеяния: а) положительная корреляция, б) отрицательная корреляция, в) корреляция отсутствует, г) выбросы измерений из поля корреляции В задачи корреляционного анализа входит:

- установление направления (положительное или отрицательное) и формы (линейная или нелинейная) связи между варьирующими признаками, - измерение тесноты связи (значения коэффициентов корреляции), - проверка уровня значимости коэффициентов корреляции.

2.4.2. Определение уравнений регрессии Корреляционную зависимость между переменными X и Y можно выразить с помощью уравнений типа Y = F(x) или X = F(Y), y которые называются уравнениями регрессии. В этих уравнениях Y и X явx y ляются средними арифметическими переменных X и Y.

Графическое выражение регрессионного уравнения называют линией регрессии. Линия регрессии выражает наилучшее предсказание зависимой переменной Y по независимым переменным X (рис. 2.17). Эти независимые переменные в математике называются предикатами.

у xy = в0 + в1y B yx = ao + a1x O y A X x Рис. 2. 17. Линия регрессии У = F(x) и X = F(у) в системе прямоугольных координат В соответствии с уравнениями (1) корреляционную зависимость можно выразить с помощью двух уравнений регрессии, которые в самом простом случае выглядят как уравнения прямой:

Y = a0 + a1 X, (2.10) X = b1 + b1 Y. (2.11) В уравнении (2.10) Y – зависимая переменная, а X – независимая переменная, a0 – свободный член, a1 – коэффициент регрессии, или угловой коэффициент, определяющий наклон линии регрессии по отношению к осям координат.

В уравнении (2.11) наоборот X – зависимая переменная, а Y – независимая, b0 – свободный член, b1 – коэффициент регрессии, или угловой коэффициент, определяющий наклон линии регрессии по отношению к осям координат.

Если произвольно на рис. 2.17 изобразить линии регрессии по уравнениям (2.10) и (2.11), то они пересекаются в точке O(x,y) с координатами, соответствующими средним арифметическим значений переменных X и Y. Линия AB, проходящая через точку O, соответствует линейной функциональной зависимости между переменными Y и X, когда коэффициент корреляции между ними rxy равен единице. При этом наблюдается следующая закономерность: чем сильнее связь между X и Y, тем ближе обе линии регрессии к прямой АВ, и наоборот, чем слабее корреляция, тем больше линии регрессии отклоняются от прямой АВ. При отсутствии связи (rxy =0) между X и Y линии регрессии оказываются под прямым углом по отношению друг к другу.

Количественное установление связи (зависимости) между X и Y (или между Y и X) называется регрессионным анализом. Главная задача регрессионного анализа состоит:

- в определение коэффициентов a0, b0, a1, b1, - в определение уровня значимости полученных уравнений регрессии (2.10) и (2.11), связывающих между собой переменные X и Y.

Если до проведения регрессионного анализа выполнен корреляционный анализ переменных и определены коэффициенты корреляции между ними, то легко определить коэффициенты регрессии a1 и b1 по формулам:

Sy a1 = rxy, Sx Sx b1 = ryx, Sy где Sx, Sy – среднеквадратические отклонения, подсчитанные для переменных X и Y соответственно.

Можно рассчитать коэффициенты регрессии и без подсчета среднеквадратических отклонений по формулам:

(y - y)i a1 = rxy, (2.12) (xi - x) (x - x)i b1 = ryx. (2.13) (y - y)i В том случае, если коэффициент корреляции неизвестен, коэффициенты регрессии можно вычислить по следующим формулам:

(x - x) (yi - y).

i a1 = (2.14) (x - x) i (x - x) (yi - y).

i b1 = (2.15) (y1 - y) Зная коэффициенты регрессии, можно легко получить коэффициент корреляции:

rxy = a1 b1. (2.16) Свободные члены уравнений регрессии a0 и b0 вычисляются по следующим формулам:

y x - x x yi.

i i i i a0 = (2.17) x - (x )i i x y - y x yi.

i i i i b0 = y - (y )i i Трудоемкость вычислений по формулам (2.14),(2.15),(2.16),(2.17) свободных членов и коэффициентов регрессии достаточно велика, поэтому в регрессионном анализе используются более простые методы их определения, базирующиеся на методе наименьших квадратов [3].

Применяя этот метод для линейной функции зависимости переменных, получим две системы уравнений, позволяющие определить из одной системы величины a0 и a1:

a0·N + a1 xi = yi, (2.18) a0 ·xi + a1 (xi·xi) = yi·xi, а из другой системы величины b0 и b1:

b0·N + b1·yi = xi, b0·yi + b1·(yi·yi) = yi·xi, где N – число переменных x или y.

Приведем пример вычисления коэффициентов линейной регрессии.

Допустим, что при исследовании статистической зависимости между объемом снятого в процессе токарной обработки материала заготовки Q и глубиной резания s получены следующие результаты эксперимента (табл.2.11):

Таблица 2.Номер эксперимента Глубина резания s, Объем материала Q, мм куб. см 1 2,2 2,2 2,4 3,3 2,6 3,4 2,8 3,5 3,0 4,6 3,2 4,7 3,4 4,8 3,6 4,9 3,8 4,10 4,0 5,11 4,2 5,12 4,4 5,Графическое отражение экспериментальных данных приведено на рис.2.18.

Уравнение регрессии при этом имеет вид Y = a0 + a1·X, где в качестве независимой переменной X выступает глубина резания s, а в качестве зависимой переменной Y выступает объем снятого материала Q.

Q, смa s, мм 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4 4,Рис. 2.18. Экспериментальная зависимость сошлифованного материала Q от глубины резания s; а – линия регрессии Q = f (s) Для решения уравнений (2.18) заполним вспомогательную таблицу 2.12:

Таблица 2.Номер эксX X·X Y Y·Y X·Y перимента 1 2,2 4,84 2,70 7,29 5,2 2,4 5,76 3,15 9,92 7,3 2,6 6,76 3,44 11,83 8,4 2,8 7,84 3,52 12,39 9,5 3,0 9,00 4,05 16,40 12,6 3,2 10,24 4,12 16,97 13,7 3,4 11,56 4,54 20,61 15,8 3,6 12,96 4,61 21,25 16,9 3,8 14,44 4,80 23,04 18,10 4,0 16,00 5,31 28,20 21,11 4,2 17,64 5,53 30,58 23,12 4,4 19,36 5,66 32,04 24, 39,60 136,40 51,43 230,52 177,Подставляя значения данных табл.2.12 в уравнение (2.18), получим следующую систему линейных уравнений:

a0 ·12 + a1·39,60 = 51,43, a039,60 + a1·136,40 = 177,28.

Решая эту систему уравнений, получим a0 = -0,44 ; a1= 1,40.Тогда Y = -0,44+ 1,40·X..

Для решения уравнения регрессии X = b0 + b1·Y получим следующую систему уравнений:

b0 12 + b1·51,43 = 39,60, b0 ·51,43 + b1·230,52 = 177,28.

Решая эту систему уравнений, получим b0 = 0,30; b1 = 0,70. Тогда X = 0,30 + 0,70·Y.

2.4.3. Определение коэффициента корреляции Термин «корреляция» был введен в науку английским ученым Ф.Гальтоном, а точную формулу для расчета коэффициента корреляции разработал его ученик К.Пирсон. Этот коэффициент характеризует наличие только линейной связи между признаками (переменными), обозначаемыми, как правило, символами X и Y. Формула расчета коэффициента корреляции построена таким образом, что, если связь между признаками имеет линейный характер, то коэффициент Пирсона rxy устанавливает тесноту связи. Величина rxy не может превышать +1 и быть меньше –1. Это границы для значений коэффициента корреляции. При коэффициенте корреляции равном ±1 имеем не статистическую, а функциональную зависимость.

Основная формула для вычисления коэффициента корреляции имеет вид:

(x - x) (yi - y).

i rxy = (2.19) (x - x)2 (yi - y)i Формула (2.19) не совсем удобна для расчета коэффициента корреляции, так как в ней много трудоемких расчетов, связанных с определением суммы разностей (xi – x) и (yi – y). Поэтому для практических расчетов чаще пользуются разновидностью этой же формулы N (x yi ) - (x y ) i i i rxy =. (2.20) 2 [N - ( )2 ] [N - ( )2 ] x x y y i i i i Воспользуемся данными табл.2.12 для расчета коэффициента корреляции статистической зависимости (2.20) (см. пример).

12 177,28 - 2036,rxy= = 0,990.

12 136,4 -1568,2) (12 230,52 - 2645,0) Точность расчетов можно проверить по формуле (2.16):

rxy = 1,40 0,70 = 0,989.

Расхождение в 0,001 можно записать за счет погрешности округлений при расчетах.

Такое высокое значение коэффициента корреляции свидетельствует о высокой тесноте связи объема снятого материала Q и глубины резания s. Тем не менее, проверим уровень значимости полученного коэффициента путем проверки статистических гипотез.

В качестве нулевой гипотезы Н0 принимаем, что полученный в результате обработки данных коэффициент корреляции rxy не значим, т.е. корреляции между Q и s или нет, или она слабая. За гипотезу Н1 принимаем альтернативное событие: – rxy – значим, т.е. имеется тесная корреляция между Q и s.

Воспользуемся математической таблицей «Критические значения коэффициента корреляции rxy Пирсона» (см. приложение П3).

Определим вначале число степеней свободы k = n – 2 = 12 – 2 =10. Находим по указанной таблице критические пределы уровней значимости коэффициента корреляции:

0,58 для Р 0, rкр = 0,71 для Р 0,01.

Построим соответствующую «ось» значимости (рис. 2.19). Нанесем на «оси» критические границы и полученное значение коэффициента корреляции. Видно, что значение rxy лежит далеко за верхней критической границей rкр = 0,71 в зоне значимости.

Таким образом, нулевая гипотеза Но отвергается, а принимается гипотеза Н1 – полученная регрессионная зависимость Q=F(s) статистически значима.

Зона незначимости Зона значимости 0,05 0,ось значимости rкр 0,58 rкр 0,rфакт 0,Рис. 2.19. Оценка значимости коэффициента корреляции rху 2.5. Планирование многофакторного эксперимента 2.5.1.Основные понятия и определения Эксперимент, в процессе которого исследуется стохастическая зависимость одной величины Y от нескольких других Xi, называется многофакторным экспериментом:

Y = f (X1, X2, …Xn). (2.21) Независимые переменные X1, X2, …Xn называют факторами, n – число факторов. Зависимая переменная Y называется функцией отклика [10].

Планирование многофакторного эксперимента – это совокупность действий, позволяющих решить поставленную задачу экспериментальным путем с требуемой точностью при проведении минимального числа опытов. При проведении экспериментальных исследований чаще всего решает две задачи:

интерполяционную и задачу оптимизации. Интерполяционной задачей называется задача построения уравнения регрессии (2.21), адекватного результатам опыта. Задачей оптимизации называется задача отыскания факторов Xi, при которых функция отклика Y достигает экстремума. В настоящей работе рассматривается только первая задача.

Для решения указанной задачи проводят опыты, то есть измерение функции отклика Y при фиксированных значениях X. Опыт может состоять как из однократного измерения (прямого или косвенного), так и из n повторных измерений. Совокупность опытов, необходимых для решения поставленной задачи, называется планом эксперимента.

Фиксированное значение фактора будем называть его уровнем. Разность двух ближайших уровней фактора называется интервалом варьирования. Совокупность численных значений, которые может принимать фактор, будем называть областью варьирования фактора.

2.5.2. Выбор факторов, областей их варьирования и вида уравнения регрессии Последовательность действий, необходимых для решения интерполяционной задачи, может быть представлен в виде блок-схемы (рис. 2.20).

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.