WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 17 |

Пример 2. По имеющимся данным о деятельности фирм рассчитать показатели вариации стоимости ОПФ на одного работника, сделать выводы по результатам расчетов.

3. Группировка промышленных фирм одного из регионов России по вооруженности работников промышленно-производственными основными фондами Группы фирм по величине СреднегодоОПФ на од- вая числен- Середина x xfi - x x - x fi ного работ- ность ППП, интервалов, x ника, млн. р., % к итогу, fi X A 1 2 3 4 До 7,812,214,92 0,51,52,54,0 3,9018, 3,165,1 48,04862, 1.01,1...2,02, 3,324,310,66 7,515,025,0 3037,2 64,162, 95261,1...303,1...5,,9 593,20 660,84 61,97820, 05,1...10,010 182,25 8,348,3 41288,,1...20,020,1 159,00 4 126,и более 172,Итого 100,0 – 666,40 – 470,1. Прежде всего находим середины интервалов (х1) по исходным данным (гр. А) и записываем их в таблицу (гр. 2).

2. Определим произведения значений середин интервалов (х1) на соответствующие им веса (fi) (гр. 3). В итоге получаем 666,4.

Рассчитаем среднюю величину по формуле средней арифметической взвешенной fi 666,xi x = = = 6,664 млн. р.

fi 3. Для расчета среднего линейного отклонения находим абсолютные отклонения середины интервалов, принятых нами в качестве вариантов признака (х') от средней величины (х) (гр. 4).

4. Наконец, вычисляем произведения отклонений |х' – х| на их веса fi и подсчитываем сумму этих произведений. Эта сумма равна 470,324. Результаты записываем в гр. 5.

5. Делим эту сумму на сумму весов, чтобы получить искомую величину d:

470,d = = 4,70324 млн. р.

Таково в среднем отклонение вариантов признака от их средней величины. Это отклонение по сравнению со средней величиной признака очень большое. Оно отличается от средней на 1,961 млн. р. Это свидетельствует о том, что данная совокупность в отношении нашего признака неоднородна, а средняя – нетипична. Действительно, средняя величина выведена из величин, резко различающихся (например, максимальное значение признака в 50 раз больше минимального – 25,0 против 0,5).

Таким образом, среднее линейное отклонение дает обобщенную характеристику степени колеблемости признака в совокупности. Однако при его исчислении приходится допускать некорректные, с точки зрения математики, действия, нарушать законы алгебры, что побудило математиков и статистиков искать иной способ оценки вариации для того, чтобы иметь дело только с положительными величинами. Самый простой выход – возвести все отклонения во вторую степень. Это столь простое решение привело в последующем к большим научным результатам. Оказалось, что обобщающие показатели вариации, найденные с использованием вторых степеней отклонений, обладают замечательными свойствами. Поэтому они получили широкое распространение в различных областях знаний, на их основе были разработаны новые методы исследования, а также новые показатели количественной характеристики большого класса явлений.

Полученная мера вариации называется дисперсией (2), а корень квадратный из дисперсии – средним квадратическим отклонением ()*. Эти показатели являются общепринятыми мерами вариации и часто используются в статистических исследованиях, а также в технике, биологии и других отраслях знаний. Данные показатели нашли также свое широкое применение в международной практике учета и статистического анализа, в частности, в системе национального счетоводства.

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины и вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий (в зависимости от исходных данных):

- x) (xi 2 = (простая дисперсия), (7) n - x) fi (xi 2 = (взвешенная дисперсия). (8) fi Дисперсия есть средняя величина квадратов отклонений. В данном случае варианты признака выражены в первой степени, значит, и мера их вариации также должна быть взята в первой степени. Для этого достаточно извлечь из дисперсии корень второй степени, получится среднее квадратическое отклонение (). Значит, среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии:

- x)(xi =, (9) n или - x)2 fi (xi =. (10) fi Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности. Оно выражается в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, рублях, процентах и т.д.).

Рассмотрим расчет дисперсии и среднего квадратического отклонения по данным табл. 4.

4. Вычисление 2 и по несгруппированным данным Хозяйство Валовой сбор, ц xi - x (xi - x)X А 1 2 1 600 100 10 2 520 20 3 400 –100 10 4 600 100 10 5 500 0 6 380 –120 14 Итого 3000 0 44 Определяем среднюю величину по исходным данным (гр. 1) по формуле средней арифметической простой:

xi x = = = 500 ц.

n Находим отклонения хi от х и записываем их в гр. 2. Возводим отклонения во вторую степень, отводим для них гр. 3. Определяем их сумму. Она равна 44 800.

Разделив ее на число единиц совокупности, получаем дисперсию 44 2 = = 7466,67.

Извлекая из дисперсии корень второй степени 7466,67 = 86,4099 ц, получаем среднее квадратическое отклонение.

Степень вариации в данной совокупности невелика, так как средняя величина равна 500 ц. Это говорит об однородности рассматриваемой нами совокупности. Рассмотрим вычисление дисперсии и среднеквадратического отклонения по сгруппированным данным (табл. 5).

5. Расчет 2 и в двух вариационных рядах с разным распределением частот Тариф, разряд, xi Число работников, человек, fi xi - x (xi - x)2 (xi - x)2 fi НПО «Платан» 12 1 –3 9 13 5 –2 4 14 30 –1 1 15 60 0 0 16 30 1 1 17 5 2 4 18 1 3 9 Итого 132 – – НПО «Исток» 12 30 –3 9 13 20 –2 4 14 10 –1 1 15 50 0 0 16 10 1 1 17 20 2 4 18 30 3 9 Итого 170 – – Рассмотрим на примере НПО «Платан»:

x1 = 15; 1 = = 0,89; 1 = 0,89 = 0,94 разряда.

НПО «Исток»: x2 = 15; 2 = = 4,24; 2 = 4,24 = 2,05 разряда Среднее квадратическое отклонение во втором случае более чем в два раза превышает среднее квадратическое отклонение в первом. Это свидетельствует о более высокой колеблемости тарифного разряда в НПО "Исток".

Расчет дисперсии может быть упрощен. В случае равных интервалов в вариационном ряду распределения используется способ отсчета от условного нуля (способ моментов). Для его понимания необходимо знать следующие свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Свойство 2. Уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину А не меняет величины дисперсии:

(x- A) = 2. (11) x Значит, средний квадрат отклонений можно вычислить не по заданным значениям признака, а по отклонениям их от какого-то постоянного числа.

Свойство 3. Уменьшение всех значений признака в k раз уменьшает дисперсию в k2 раз, а среднее квадратическое отклонение – в k раз 2 (x / k) = 2 : k. (12) x Значит, все значения признака можно разделить на какое-то постоянное число (скажем, на величину интервала ряда), исчислить среднее квадратическое отклонение, а затем умножить его на постоянное число x = (x / k)k. (13) Свойство 4. Если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины А, в той или иной степени отличающейся от средней арифметической (х), то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений, исчисленного от средней арифметической:

2 > 2. (14) A X Средний квадрат отклонений при этом будет больше на вполне определенную величину – на квадрат разности средней и этой условно взятой величины, т.е. на (х – А)- A) fi 2 (xi 2 = 2 + (x - A), или 2 = - (x - A). (15) A X X fi Значит, дисперсия от средней всегда меньше дисперсий, исчисленных от любых других величин, т.е. она имеет свойство минимальности.

В случае когда А приравнивается к нулю и, следовательно, не вычисляются отклонения, формула принимает такой вид:

xi2 fi xi fi 2 = x2 - (x)2, или 2 = -. (16) X X fi fi Значит, средний квадрат отклонений равен среднему квадрату значений признака минус квадрат среднего значения признака.

На приведенных выше математических свойствах дисперсии основываются способы, которые позволяют упростить ее вычисления; например, расчет дисперсии по способу моментов или способу отсчета от условного нуля применяется в вариационных рядах с равными интервалами. Расчет производится по формуле x - A fi k 2 = k - (x - A)2, (17) fi где k – ширина интервала; А – условный нуль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, xi - A k обладающего наибольшей частотой; – так называемый момент второго порядка.

fi Между средним линейным и средним квадратическим отклонениями существует следующее примерное соотношение: = 1,25d, если фактическое распределение близко к нормальному. Исчисление среднего квадратического отклонения для явно несимметричных распределений не имеет смысла. По свойству мажорантности средних величин (гл. 6) среднее квадратическое отклонение () всегда больше среднего линейного отклонения (d).

Среднее квадратическое отклонение играет важную роль в анализе рядов распределения. В условиях нормального распределения существует следующая зависимость между величиной среднего квадратического отклонения и количеством наблюдений:

• в пределах х ± 1 располагается 0,683, или 68,3 %, количества наблюдений;

• в пределах х ± 2 – 0,954 или 95,4 %;

• в пределах х ± 3 – 0,997 или 99,7 % количества наблюдений.

В действительности на практике почти не встречаются отклонения, которые превышают ± 3. Отклонение 3 может считаться максимально возможным. Это положение называют "правилом трех сигм".

До сих пор говорилось о показателях вариации, выраженных в абсолютных величинах. Но для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях представляют интерес показатели вариации, приведенные в относительных величинах. Базой для сравнения должна служить средняя арифметическая. Эти показатели вычисляются как отношение размаха вариации среднего линейного отклонения или среднего квадратического отклонения к средней арифметической или медиане. Чаще всего они выражаются в процентах и определяют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % (для распределений, близких к нормальному). Различают следующие относительные показатели вариации (V): коэффициент осцилляции (Vr) R VR = 100%. (18) x Линейный коэффициент вариации (Vd):

d d Vd = 100 % или Vd = 100 %. (19) x Me Коэффициент вариации (V0) Vo = 100 %. (20) x Наиболее часто в практических расчетах применяется показатель относительной вариации – коэффициент вариации.

Для примера, приведенного в табл. 3, коэффициенты вариации получились следующие:

0,94 2,V1 = 100 % = 6,27 %; V2 = 100 % = 13,67 %.

15 Основываясь на коэффициенте вариации, можно сделать вывод, что по тарифному разряду рабочих совокупности НПО "Платан" и НПО "Исток" являются однородными. Однако вариация колеблемости тарифного разряда рабочих в НПО "Исток" несколько выше, чем вариация в НПО "Платан".

Структурные средние. Наряду со средними величинами в качестве статистических характеристик вариационных рядов распределения рассчитываются так называемые структурные средние – мода и медиана.

Мода (М0) представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой.

Медианой (Me) называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Главное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины:

S|xi – Ме| = min.

Рассмотрим определение моды и медианы по несгруппированным данным.

Предположим, рабочие бригады, состоящей из 9 человек, имеют следующие тарифные разряды: 4, 3, 4, 5, 3, 3, 6, 2, 6.

Так как в данной бригаде больше всего рабочих 3-го разряда, этот тарифный разряд и будет модальным.

Для определения медианы необходимо провести ранжирование:

233344566.

Центральным в этом ряду является рабочий 4-го разряда, следовательно, данный разряд и будет медианным. Если ранжированный ряд включает четное число единиц, то медиана определяется как средняя из двух центральных значений.

Если мода отражает типичный, наиболее распространенный вариант значения признака, то медиана практически выполняет функции средней для неоднородной, не подчиняющейся нормальному закону pacпpeдeления совокупности. Проиллюстрируем ее познавательное значение следующим примером.

Пример 2. Дать характеристику среднего дохода группы людей, насчитывающей 100 человек, из которых 99 имеют доходы в интервале от 100 до 1000 долл. в месяц, а месячные доходы последнего составляют 50 долл. (табл. 6).

6. Среднемесячные доходы исследуемой группы людей № п/п 1 2 3 4 50 51 99 Доход, долл. 100 104 104 107 162 164 200 Если мы воспользуемся средней арифметической, то получим средний доход, равный примерно 600 – долл., который не только в несколько раз меньше дохода 100-го человека, но и имеет мало общего с доходами остальной части группы. Медиана же, равная в данном случае 163 долл., позволит дать объективную характеристику уровня доходов 99 % данной группы людей.

Рассмотрим определение моды и медианы по сгруппированным данным (рядам распределения).

Предположим, распределение рабочих уже не отдельной бригады, а всего предприятия в целом по тарифному разряду имеет следующий вид (табл. 7).

Определение моды по дискретному вариационному ряду не составляет большого труда, наибольшую частоту (60 человек) имеет 5-й тарифный разряд, следовательно, он и является модальным.

7. Распределение рабочих предприятия по тарифному разряду Тарифный разряд Численность рабочих, человек 2 3 4 5 6 Всего Для определения медианного значения признака по формуле (21) находят номер медианной единицы ряда (NMe) n + NMe =, (21) где n – объем совокупности.

В нашем случае 190 +NMe = = 95,5.

Полученное дробное значение, всегда имеющее место при четном числе единиц в совокупности, указывает, что точная середина находится между 95-м и 96-м рабочими. Необходимо определить, к какой группе относятся рабочие с этими порядковыми номерами. Это можно сделать, рассчитав накопленные частоты. Очевидно, что рабочих с этими номерами нет в первой группе, где всего лишь 12 человек, нет их и во второй группе (12 + 48 = 60), 95-й и 96-й рабочие находятся в третьей группе (12 + 48 + 56 = 116), следовательно, медианным является 4-й тарифный разряд.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 17 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.