WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 22 |

Рис.5.2 Гистограмма распределения равноинтервального ряда Для графического представления вариационных рядов может использоваться также кумулята – ломаная линия, составленная по накопленным частотам (частостям). Накопленные частоты наносятся в виде ординат; соединяя вершины отдельных ординат отрезками прямой, получаем ломаную линию, имеющую неубывающий вид. Координатами точек на графике для дискретного ряда являются { xi ; Ni }; для интервального ряда - { xiв ; Ni }. Начальная точка графика имеет н в координаты { x1 ;0 }, самая высокая точка - { xm ; N }. Общий вид кумуляты приведен на рис.5.3. Использование кумуляты особенно удобно при проведении сравнений вариационных рядов.

Рис. 5.3. Кумулята распределения При построении графиков рядов распределения большое значение имеет соотношение масштабов по оси абсцисс и оси ординат. В этом случае и необходимо руководствоваться «правилом золотого сечения», в соответствии с которым высота графика должна быть примерно в два раза меньше его основания.

5.4. Показатели центра распределения При проведении эмпирического исследования ряда распределения рассчитываются и анализируются следующие группы показателей:

Формат: Список • показатели положения центра распределения;

• показатели степени его однородности;

• показатели формы распределения.

Показатели положения центра распределения. К ним относятся степенная средняя в виде средней арифметической и структурные средние – мода и медиана.

Средняя арфметическая для дискретного ряда распределения рассчитывается по формуле:

m x n i i i=x =, m n i i=где i - варианты значений признака, ni - частота повторения данного признака.

В интервальном вариационном ряду средняя арифметическая определяется по формуле:

m b n i i i=x =, m n i i=гдеbi - середина соответствующего интервала.

В отличие от средней арифметической, рассчитываемой на основе всех вариант, мода и медиана характеризует значение признака у статистической единице, занимающей определенное положение в вариационном ряду.

Медиана ( Me) - значение признака у статистической единицы, стоящей в середине ранжированного ряда и делящей совокупность на две равные по численности части.

Мода ( Mo ) - наиболее часто встречаемое значение признак в совокупности. Мода широко используется в статистической практике при изучении покупательского спроса, регистрации цен и др.

Для дискретных вариационных рядов Mo и Me выбираются в соответствии с определениями: мода - как значение признака с наибольшей частотой ni : положение медианы при нечетном объеме N +совокупности определяется ее номером nMe =, где N – объем статистической совокупности. При четном объеме ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.

Медиану используют как наиболее надежный показатель типичного значения неоднородной совокупности, так как она нечувствительна к крайним значениям признака, которые могут значительно отличаться от основного массива его значений. Кроме этого, медиана находит практическое применение вследствие особого математического свойства:

xi - Me min.

Рассмотрим определение моды и медианы на следующем примере:

имеется ряд распределения рабочих участка по уровню квалификации.

Данные приведены в таблице 5.2.

Таблица 5.Распределения рабочих участка по уровню квалификации № Разряд Число Накопленная группы рабочих рабочих частота 1 1 3 2 2 5 3 3 9 4 4 14 5 5 10 6 6 9 Всего - 50 Мода выбирается по максимальному значению частоты: при nmax = Mo =4, т.е. чаще всего встречается 4-ый разряд. Для нахождения медианы N +Me определяются центральные единицы. Это 25 и 26-ая единицы.

По накопленным частотам определяется группа, в которую попадают эти единицы. Это 4-ая группа, в которой значение признака равно 4. Таким образом, Me = 4, это означает, что у половины рабочих разряд ниже 4-го, а у другой – выше четвертого.

В интервальном ряду значения Mo и Me вычисляются боле сложным путем.

Мода определяется следующим образом:

Формат: Список • По максимальному значению частоты определяется интервал, в котором находится значение моды. Он называется модальным.

• Внутри модального интервала значение моды вычисляется по формуле:

nMo - nMo-н Mo = xMo + aMo, (nMo - nMo-1) + (nMo + nMo+1) н где xMo - нижняя граница модального интервала, aMo - ширина модального интервала, nMo, nMo-1, nMo+1 - соответственно частоты модального, предмодального (предшествующего модальному) и постмодального (следующего за модальным) интервалов.

Для расчета медианы в интервальных рядах используется следующий подход:

Формат: Список • По накопленным частотам находится медианный интервал.

Медианным называется интервал, содержащий центральную единицу.

• Внутри медианного интервала значение Me определяется по формуле:

N - NMe-н Me = xMe + aMe, nMe н где xMe - нижняя граница медианного интервала, aMe -ширина медианного интервала, N – объем статистической совокупности, NMe-1 - накопленная частота предмедианного интервала, nMe - частота медианного интервала.

В неравноинтервальных рядах при вычислении Mo используется другая частотная характеристика – абсолютная плотность распределения:

Mo - Mo-н Mo = xMo + aMo, (Mo - Mo-1) + (Mo - Mo+1) где Mo - абсолютная плотность распределения модального интервала, Mo-1 - абсолютная плотность распределения предмодального интервала, Mo+1 - абсолютная плотность распределения послемодального интервала.

Расчет моды и медианы для интервального ряда распределения рассмотрим на примере ряда распределения рабочих по стажу по стажу, приведенного в таблице 5.3.

Таблица 5.Распределение рабочих участка по стажу ai ni Ni № Интервал группы xiн xiв 1 0 4 4 6 2 4 8 4 8 3 8 12 4 11 4 12 16 4 13 5 16 20 4 6 6 20 24 4 4 7 24 28 4 2 Всего 0 28 28 50 Расчет Mo :

Формат: Список • Максимальная частота nmax = 13, она соответствует четвертой группе, следовательно, модальным является интервал с границами 12 – лет.

• Моду рассчитаем по формуле:

nMo - nMo-н Mo = xMo + aMo = (nMo - nMo-1) + (nMo + nMo+1) 13 -11 12 + 4 = 12 + 4 = 12 + 4 0,22 13 лет.

(13 -11) + (13 - 6) 2 + Чаще всего встречаются рабочие со стажем работы около 13 лет.

Мода не находится в середине модального интервала, она смещена к его нижней границе, связано это со структурой данного ряда распределения (частота предмодального интервала значительно больше частоты постмодального интервала).

Расчет медианы:

• По графе накопленных частот определяется медианный интервал. Он содержит 25 и 26-ую статистические единицы, которые находятся в разных группах – в 3-ей и 4-ой. Для нахождения Me можно использовать любую из них. Расчет проведем по 3-ей группе:

-25 -Me = 8 + 4 = 8 + 4 = 12 лет.

11 Такое же значение Me можно получить при её расчете по 4-ой группе:

- 25 -Me = 12 + 4 = 8 + 4 = 12 лет.

13 При сдвоенном центре Me всегда находится на стыке интервалов, содержащих центральные единицы. Вычисленное значение Me показывает, что у первых 25 рабочих стаж работы - менее 12 лет, а у оставшихся 25-ти, следовательно, - более 12 лет.

Моду можно определить графически по полигону распределения в дискретных рядах, по гистограмме распределения – в интервальных, а медиану - по кумуляте.

Для нахождения моды в интервальном ряду правую вершину модального прямоугольника нужно соединить с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.

Для определение медианы высоту наибольшей ординаты кумуляты, соответствующей общей численности совокупности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения является медианой.

Кроме Mo и Me в вариантных рядах могут быть определены и другие структурные характеристики – квантили. Квантили предназначены для более глубокого изучения структуры ряда распределения. Квантиль – это значение признака, занимающее определенное место в упорядоченной по данному признаку совокупности. Различают следующие виды квантилей:

• квартили (Q1/ 4,Q2 / 4 = Me,Q3 / 4) – значения признака, делящие упорядоченную совокупность на 4 равные части;

• децили ( d1, d2....d9 ) – значения признака, делящие совокупность на 10 равных частей;

• перцентели - значения признака, делящие совокупность на 100 равных частей.

Если данные сгруппированы, то значение квартиля определяется по накопленным частотам: номер группы, которая содержит i -ый квантиль.

Определяется как номер первой группы от начала ряда, в котором сумма накопленных частот равна или превышает i ·N, где I – индекс квантиля.

Если ряд интервальный, то значение квантиля определяется по формуле:

i N - NQ -н i, Qi = xQ + aQ i i nQ i н где xQ - нижняя граница интервала, в котором находится i -ый i квантиль;

NQ -1 - сумма накопленных частот интервалов, предшествующих i интервалу, в котором находится -ый квантиль;

nQ - частота интервала, в котором находится - ый квантиль.

i Рассчитаем квартили для ряда распределения рабочих участка по стажу работы:

• нижний квартиль Q1/ 4 – соответствует 13-ой единице, верхний квартиль Q3 / 4– 38-ой. Это соответственно 2-ая и 4-ая группы.

- Q1/ 4 = 4 + 4 = 4 + 4 0,8 7,2 лет;

3 - Q3 / 4 = 12 + 4 = 12 + 4 16 лет.

Следовательно, у четверти рабочих стаж менее 7 лет и у четверти – более 16 лет.

Таким образом, для характеристики положения центра ряда распределения можно использовать 3 показателя: среднее значение признака, мода, медиана.

При выборе вида и формы конкретного показателя центра распределения необходимо исходить из следующих рекомендаций:

• для устойчивых социально-экономических процессов в качестве показателя центра используют среднюю арифметическую. Такие процессы характеризуются симметричными распределениями, в которых x = Me = Mo ;

• для неустойчивых процессов положение центра распределения характеризуется с помощью Mo или Me. Для асимметричных процессов предпочтительной характеристикой центра распределения является медиана, поскольку занимает положение между средней арифметической и модой.

5.5. Показатели вариации Вторая важнейшая задача при определении общего характера распределения – это оценка степени его однородности. Однородность статистических совокупностей характеризуется величиной вариации (рассеяния) признака, т.е. несовпадением его значений у разных статистических единиц.

Для измерения вариации в статистике используются абсолютные и относительные показатели.

К абсолютным показателям вариации относятся:

Формат: Список • размах вариации R, • среднее линейное отклонение d, • средний квадрат отклонений (дисперсия), • среднее квадратическое отклонение, Размах вариации R является наиболее простым показателем вариации, рассчитывается по формуле:

R = xmax - xmin.

Этот показатель представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признаков и характеризует разброс элементов совокупности. Размах улавливает только крайние значения признака в совокупности, не учитывает повторяемость его промежуточных значений, а также не отражает отклонений всех вариантов значений признака.

Размах часто используется в практической деятельности, например, различие между max и min пенсией, заработной платой в различных отраслях и т.д.

Среднее линейное отклонение d является более строгой характеристикой вариации признака, учитывающей различия всех единиц изучаемой совокупности. Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической. Этот показатель рассчитывается по формулам простой и взвешенной средней арифметической:

N xi - x i=d = - для несгруппированных данных;

N m xi - x ni i=d = - для сгруппированных данных.

m ni i= В практических расчетах среднее линейное отклонение используется для оценки ритмичности производства, равномерности поставок.

Так как модули обладают плохими математическими свойствами, то на практике часто применяют другие показатели среднего отклонения от средней – дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, является общепринятой мерой вариации. В зависимости от исходных данных дисперсия вычисляется по формулам простой и взвешенной средней арифметической:

N - x)(xi 2 i=для несгруппированных данных = ;

N m - x)2 ni (xi 2 i=для сгруппированных данных =.

m ni i=При использовании взвешенной средней для расчета дисперсии в интервальных рядах распределения в качестве вариантов значений признака используются серединные значения b (середины интервалов), не являющиеся средним значением в группе. В результате получают приближенное значение дисперсии.

Существуют более простые подходы в вычислении дисперсии.

Наиболее часто используется сокращенный способ расчета дисперсии (метод моментов), в соответствии с которым дисперсия есть разница между средним из квадратов значений признака x2 и квадратом их средней (x) :

2 =x2 -(x), xi где x2 = - для несгруппированных данных;

N ni xi x2 = - для сгруппированных данных.

ni Этот способ позволяет вести расчет дисперсии по исходным данным без предварительного расчета отклонений.

Дисперсия как базовый показатель вариации обладает рядом вычислительных свойств, позволяющих упростить её расчет. К ним относятся:

Формат: Список • дисперсия постоянной величины равна 0;

• дисперсия не меняется, если все варианты увеличить или уменьшить на одно и то же число А;

• если все варианты умножить (разделить) на число А, то дисперсия увеличится (уменьшится) в A2 раз.

Размерность дисперсии соответствует квадрату размерности исследуемого признака, поэтому данный показатель не имеет экономической интерпретации. Для сохранения экономического смысла рассчитывается ещё один показатель вариации – среднее квадратическое отклонение.

Среднее квадратическое отклонение представляет собой среднюю квадратическую из отклонений отдельных значений признака от их средней арифметической:

для несгруппированных да m - x)2 ni (xi i= для сгруппированных данных =.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 22 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.