WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 ||

Сначала приведем данную систему сил {F1,...,Fn}, приложенную к абсолютно твердому телу, к центру 0. Тогда получаем эквивалентную систему, которая характеризуется главn n n ным вектором R = и главным моментом L0 = (Fi ) = Fi F1 L0 ri i=1 i=1 i=Затем приведем данную систему к новому центру C. Очевидно, главный вектор системы при этом не изменится. Главный момент изменится, так как относительно нового центра приведения момент каждой из сил системы станет другим. Найдем его изменение.

n n n Lc = Fi = Fi) = + C0) Fi = mc (ric [(ri i=1 i=1 i=n n = Fi ) + C0 = L0 + C0 R = L0 + mc R (ri Fi i=1 i=Таким образом, при изменении центра приведения, главный момент изменяется на величину, равную моменту главного вектора относительно нового центра приведения.

ВОПРОС 25.

Статические инварианты.

ОТВЕТ.

Главный вектор пространственной системы сил не изменяется при перемене центра приведения, т.е. он представляет собой статический инвариант пространственной системы сил по отношению к изменению центра приведения.

Спроектируем равенство Lc = L0 + mc R на направление главного вектора R и получим PrR Lc = PrR L0.

Это равенство показывает, что проекции главных моментов относительно центров приведения O и C на направление главного вектора равны между собой, то есть проекция главного вектора-момента относительно любой точки на направление главного вектора есть второй статический инвариант пространственной системы сил.

Если левую и правую части равенства Lc = L0 + mc R скалярно умножим на главный вектор R, то получим Lc R = L0 R.

Таким образом, скалярное произведение главного-вектора момента системы относительно любой центра приведения на ее главный вектор дает другое выражение для второго статического инварианта.

ВОПРОС 26.

Динамический винт. Центральная ось симметрии.

ОТВЕТ.

Совокупность силы и пары сил с моментом, коллинеарным силе, называется динамой или динамическим винтом.

Теорема.

Если второй статический инвариант не равен нулю, то пространственную систему сил можно привести к динамическому винту.

Действительно, приведем систему сил к точке 0. Причем угол между главным вектором R и главным моментом L0 не равен. В этом случае момент L0 можно разложить на две составляющие, одна из которых L1 направлена по линии действия главного вектора R, а вторая L2 перпендикулярна к ней.

L0 = L1 + LГлавный вектор-момент LA относительно точки A, не лежащей на линии действия главного вектора, будет LA = L0 + mA R = L1 + L2 + mA R Если в этом равенстве положить L2 + mA R = 0, то LA = L1, то есть в точке A главный вектор-момент LA геометрически равен вектору L1, направленному по линии действия главL2 L0Sin ного вектора R. Положение точки A определяем из соотношения OA = =.

R R Таким образом, доказано, что существует центр приведения A, для которого главный вектор и главный вектор-момент колинеарны.

Если =, тогда система сил приводится к одной равнодействующей силе, геометрически равной главному вектору R, линия действия которой отстоит от точки 0 на расстояLнии OA =.

R ВОПРОС 27.

Центральная ось симметрии – ось минимальных главных моментов.

ОТВЕТ.

Прямая, при приведении к точкам, которой данная система сил заменяется динамой или одной равнодействующей силой, называется центральной осью симметрии.

Покажем, что величина главного момента системы относительно точек центральной оси является минимальной.

Возьмем точку A на центральной оси и точку B в любом месте абсолютно твердого тела.

Тогда получим следующее соотношение LB = LA + mB R Так как вектора LA и R колинеарны, то вектор mB R = BA xR всегда перпендикулярен к вектору LA. Следовательно, LA LB. Поэтому центральную ось называют осью минимальных главных моментов.

ВОПРОС 28.

Возможные случаи приведения произвольной пространственной системы сил.

ОТВЕТ.

Первый инвариант Главный Второй К чему приводится Вектор-момент инвариант Система сил К паре сил R = 0 L0 0 R L0 = К равнодействуюR 0 L0 =0 R L0 = щей силе F = R К равнодействуюR L0 0 и перпенди- R L0 щей силе F = R кулярен к R К динамическому R L0 0 и не пер- R L0 винту пендикулярен к R К равновесию данR = 0 L0 =0 R L0 = ной системы сил, то есть система сил эквивалентна нулю ВОПРОС 29.

Центр параллельных сил. Координаты центра параллельных сил.

ОТВЕТ.

Центром параллельных сил называется точка на линии действия равнодействующей этих сил, которая не изменяет своего положения при повороте всех сил вокруг точек их приложения на один и тот же угол в одном направлении.

Точка, через которую проходит равнодействующая система параллельных сил определяется по формуле n ri Fi n i=rc =, где F = Fi F i=Проектируя обе части этого равенства на координатные оси, получаем n n n xi yi zi Fi Fi Fi i=1 i=1 i=xc =, yc =, zc =.

F F F Откуда следует, что положение центра параллельных сил не зависит от направления сил, а зависит только от их модулей и их точек приложения. Это позволяет сформулировать важное свойство системы параллельных сил, а именно: если все силы заданной системы параллельных сил повернуть на один и тот же угол, сохраняя неизменными их точки приложения, то и равнодействующая этих сил повернется на тот же угол, причем положение центра параллельных сил не изменится.

n n n n Выражения ri, xi, yi, zi соответственно называются статичеFi Fi Fi Fi i=1 i=1 i=1 i=скими моментами параллельных сил относительно начала координат 0 и относительно координатных плоскостей z0y, x0z, y0x.

ВОПРОС 30.

Центр тяжести ОТВЕТ.

Понятие центра тяжести впервые установлено Архимедом около 250 до н.э.

Всякое тело можно представить состоящим из большого числа материальных частиц. На каждую такую частицу действует сила тяжести Pi. Введем гипотезу о параллельности сил тяжести, хотя фактически эти силы притяжения, направлены к центру Земли.

Равнодействующая = называется весом тела, а центр С системы этих параллельPi i ных сил центром тяжести тела. Если тело будет менять свое положение в пространстве, то относительно тела силы Pi будут поворачиваться вокруг точек приложения, сохраняя при этом свою параллельность величину и точки приложения. При таком поворот параллельных сил центр С системы этих сил не изменит своего положения относительно тела. Координаты центра тяжести тела n n n xi yi zi Pi Pi Pi i=1 i=1 i=xc =, yc =, zc = P P P n где P = - вес тела и суммирование распространено на все материальные частицы теPi i=ла.

Эти формулы являются общими формулами, определяющими координаты центра тяжести любого тела.

ВОПРОС 31.

Центр тяжести однородного твёрдого тела.

ОТВЕТ.

Будем называть тело, плоскую фигуру и линию однородными, если вес единицы объёма тела, вес единицы площади плоской фигуры и вес единицы длины. Линии имеют соответственно одно и тоже значение во всех частях тела, плоской фигуры и линии, а именно:

- const, - const, - const.

Координаты центра тяжести однородного твердого тела:

S xdV S ydV SzdV (V ) (V ) (V ) xc =, yc =, zc =, где V – объём тела.

V V V Из этих формул видно, что положение центра тяжести однородного тела не зависят от веса тела. Они зависят только от его объёма и формы. Поэтому центр тяжести однородного твердого тела можно назвать центром объёма тела. Интегралы, стоящие в числителях в выше написанных формулах, называются статическими моментами объёма тела относиS xdV тельно координатных плоскостей, то есть - статический момент относительно (V ) плоскости y0z.

S ydV - статический момент относительно плоскости x0z.

(V ) S zdV - cтатический момент относительно плоскости x0y.

(V ) ВОПРОС 32.

Центр тяжести однородной плоской фигуры.

ОТВЕТ.

Если тело имеет форму тонкой однородной пластинки, то его можно рассматривать как плоскую однородную фигуру. Разобьём её на большое число очень малых площадок прямыми, параллельными координатным осям. Вес каждой такой площадки равен Pi = Si n n n n xi xiSi yi yiSi Pi Pi r =1 r =1 r =1 r=Тогда xc = =, yc = =.

n n S S Pi Pi r=1 r=Где S- площадь плоской фигуры.

xi yi - координаты площадки Si.

Переходя к пределу при Si 0, получим S) xdS S) ydS (S (S xc =, yc =.

S S Координаты центра тяжести плоской фигуры зависят от её площади и формы. Величины S) xdS, S) ydS соответственно называются статическими моментами площади фигуры (S (S относительно координатных осей y и х.

ВОПРОС 33.

Центр тяжести плоской однородной линии.

ОТВЕТ.

Пусть однородное тело имеет форму тонкого криволинейного стержня АВ с постоянной площадью S поперечного сечения. Выделим элемент тела DK длиной dl и объёма всего тела: dV=S dl, V=Sl, где S- площадь поперечного сечения стержня, l- длина стержня. Тогда на основании формул центра тяжести однородного твёрдого тела S) xdV S) ydV S) zdV (V (V (V xc =, yc =, zc =.

V V V Учитывая, что интеграл по объёму соответствует интегралу по длине l:

SxdV = xSdl = S xdl l (l ) (V ) здесь S вынесли за знак интеграла, поскольку S постоянно на всей длине l, окончательно получим Sxdl Sydl Szdl (l) (l) (l) xc =, yc =, zc =.

l l l где x,y,z – координаты элемента криволинейного стержня, длина которого равна dl.

Координаты центра тяжести однородной линии зависят только от её длины и формы. Величины Sxdl, Sydl, Szdl соответственно называются статическими моментами линии АВ относительно координатных плоскостей y0z, z0x, x0y.

ВОПРОС 34.

Способы определения центров тяжести некоторых тел.

ОТВЕТ.

1. Симметрия. Если однородное тело симметрично относительно плоскости или оси или точки, то центр тяжести лежит, соответственно, или в плоскости симметрии, или на оси симметрии, или в центре симметрии. Например, центр тяжести однородного шара лежит в центре шара.

2. Разбиение. Если тело можно разбить на конечное число частей так, что центр тяжести каждой части будет известен, то координаты центра тяжести всего тела можно вычислить по формулам:

n n n xi yi zi Pi Pi Pi r =1 r=1 r=xc =, yc =, zc = P P P 3. Метод отрицательных масс.

Этот метод является частным случаем метода разбиения. Он применяется к однородному телу, имеющему отверстия, при условии, что известен центр тяжести тела, в котором отверстия заполнены тем же веществом что и тело;

- центр тяжести отверстий также известны.

ВОПРОС 35.

Первая теорема Паппа-Гульдина.

ОТВЕТ.

С определением положений центров тяжести линий и площадей связаны две элементарные теоремы, называемые теоремами Паппа-Гульдина.

Теорема 1.

Поверхность тела, образованного вращением плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости и ее не пересекающей, равна произведению длины L этой кривой, на длину окружности, описанной ее центром тяжести S = L 2xc. Действительно, пусть AB – плоская кривая, которая вращается вокруг оси 0z, образуя боковую поверхность тела вращения.

Выделим на кривой АВ элемент ab=dl.

Площадь элемента боковой поверхности тела, образованная вращением элемента dl, с точностью до бесконечно малой второго порядка малости может быть найдена, как боковая поверхность усеченного конуса.

Следовательно, dS = 2x dl, где x – приближенное значение координаты центра тяжести элемента dl.

S xdl (L) xcL = S xdl Далее S = 2 S xdl, откуда на основании формулы xc = или, по(L) (L) L лучаем S = 2 xc L.

ВОПРОС 36.

Вторая теорема Паппа-Гульдина.

ОТВЕТ.

Теорема 2.

Объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в ее плоскости и не пересекающей ее контур, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной ее центром тяжести, а именно:

V = 2 xc S Действительно, предположим, что плоская фигура Q вращается вокруг оси 0z. Выделим элемент площади dS и рассмотрим элемент объема тела вращения, описанного этим элементом площади. С точностью до бесконечно малых второго порядка малости этот элемент объема определяется по формуле dV = 2 x ds, где x- приближенное значение координаты центра тяжести элемента dS.

S) xds (S Тогда V = 2 S) xds. Согласно формуле xc = или xc S = S) xdS имеем (S (S S V = 2 xc S.

Pages:     | 1 | 2 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.