WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 |

Если минимизирующая кривая C: {x = x(t), a} нормальна, то система множителей µ0 =1, µk, (t) ( j = 1,m, k =1,) – единственна и условие Вейерштрасса для этой системы выполняется.

j 9.4 Третье необходимое условие минимума в задаче Больца (условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, fk = Если кривая С: {x = x(t), a} реализует минимум в задаче Больца, то всегда найдется такая система множителей µ0, µk (k = 1,), (t) ( j = 1, m), что для этой кривой С удовлетворяется правило множителей, а j & для всякого ее элемента (t,x,x,µ,) выполняется неравенство n n & (t, x, x, ) ik 0 (136) & & Fxixk i=1 k=при любых = (1, 2,..., n ) (0, 0,..., 0), удовлетворяющих уравнениям n & (t, x, x)i = 0 ( j = 1, m), (137) & Fjx j i=где Fj 2F Fjxi = ; Fxi xk =.

& & & & & xi xixk В рассматриваемой задаче важную роль играет матрица Fxixk Fxi & & & Fxx Fx & & & = (138) (F )T Fxk & & x (F1, F2,..., Fm ) 2F (i, k = 1, n), Fx = ; Fxx = (, = 1, m).

& & & & & & & & (x1, x2,..., xn ) x xk i Определитель этой матрицы называется определителем Гильберта. Вариационные задачи с отличным от нуля определителем Гильберта называется регулярными (невырожденными).

9.5 Четвертое необходимое условие в задаче Больца (условие Якоби–Майера–Кнезера) Условие Якоби–Майера–Кнезера носит нелокальный (интегральный) характер и характеризует экстремальность всей кривой в целом на основе рассмотрения поведения экстремалей, лежащих в малой окрестности от данной экстремали.

Условие Якоби–Майера–Кнезера. Чтобы экстремаль C: {x(t)} доставляла на отрезке [t0, t1] минимум функционалу в задаче Больца, необходимо, чтобы отрезок [t0, t1] не содержал точек, сопряженных с t0.

~ Сопряженная точка. Считается, что экстремаль C: {x(t)} имеет на интервале (t0, t1) точку t, ~ t0 < t < t1, сопряженную с t0, если существует последовательность экстремалей, выходящих из той же начальной точки (t0, x(t0 )) и бесконечно близких к данной экстремали x(t), такая, что каждая из этих экстремалей пересекает данную экстремаль x(t) и последовательность точек пересечения имеют точку ~ t своим пределом. Сопряженная точка (~, x(~)) является точкой касания экстремали x(t) с огибающей t t семейства экстремалей, в которое данная экстремаль x(t) включена (заметим, что огибающая может вырождаться в точку). Это показывает, что в сопряженной точке (~, x(~)) расстояние между данной эксt t ~(t) тремалью x(t) и произвольной близкой экстремалью x, выходящей из той же начальной точки (t0, x(t0 )), есть величина выше первого порядка малости по сравнению с указанным расстоянием вне со~ пряженной точки (~, x(~)) (т.е. при t0 t < t ).

t t Методы определения сопряженных точек весьма трудоемки. В частности, они могут основываться на вычислении определителей Майера–Кнезера.

Для задачи Майера (см. п. 9.1) с закрепленными концами & Fj (t, x, x) = 0 ( j = 1,m), t0 t t1, (139) где t0, t1 – заданные числа, x(t0 ) = x0, x(t1) = x1 = (x1(t1),..., xn-1(t1)), (140) где x0, x1 – заданные векторы, и с функционалом J = (t0, t1, x0, x1) = xn (t1) (141) ~ сопряженная точка t может быть вычислена как момент времени, в который обращается в нуль определитель Кнезера:

x1(t,0) x1(t,0) L 10 n-1,(x1, x2,..., xn-1) D(~,0) = = L L L = 0, t (10,20,...,n-1,0) xn-1(t,0) xn-1(t,0) t=~ t L 10 n-1,t=~ t (142) 0 = (10, 20,..., n-1,0 )T ; (143) ) где x(x, 0 ) = (x1(t, 0 ),..., xn-1(t,0 )) – экстремаль, удовлетворяющая при = 0 заданным условиям (140).

Замечание. При применении численных методов решения краевой задачи иногда [например, в методе Ньютона] одновременно с основной экстремалью x(t) вычисляется (n – 1) дополнительных экстремалей xn-1(t), лежащих в близкой окрестности к основной и выходящих из той же точки (начальной) (t0, x0 ) по линейно-независимым направлениям (соответствующим линейно-независимым начальным ~ условиям для множителей Лагранжа 0 ). В этом случае можно утверждать, что точка t будет сопря~ женной с точкой t0 в сформулированной выше задаче, если в точке t определитель ( ( ( x1(t) - x11)(t), x2(t) - x21)(t), L, xn-1(t) - xn1)1(t) ( ( ( x1(t) - x12)(t), x2(t) - x22)(t), L, xn-1(t) - xn2) (t) -(~,0) = t L L L L ( ( n-x1(t) - x1n-1)(t), x2(t) - x2n-1)(t), L, xn-1(t) - xn-1(t) t=~ t (144) ~ представляет бесконечно малую величину более высокого порядка, чем при t0 t t.

Контрольные вопросы 1 Задачи Больца, Майера, Лагранжа, привести формулировки.

2 Первое необходимое условие экстремума функционала в задаче Больца.

3 Второе необходимое условие минимума функционала в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая f 0, fk 0.

4 Третье необходимое условие минимума в задаче Больца (условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, fk = 0.

5 Четвертое необходимое условие в задаче Больца (условие Якоби–Майера–Кнезера).

Глава НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ С РАЗРЫВНЫМИ ФАЗОВЫМИ КООРДИНАТАМИ Для ряда технических систем в частности механики полета (особенно для ракетодинамики) важен случай, в котором допускаются конечные разрывы (разрывы первого рода) в фазовой траектории (например, мгновенный «сброс» массы после отделения ступени). При расчете ступенчатых ракет, химических реакторов, а так же целого ряда химико-технологических и информационных процессов, полезны результаты следующей задачи с фиксированным заранее числом разрывов и варьируемой переменной величиной «скачка» в точке разрыва.

10.1 Краткая формулировка задачи Пусть q – 1 – число интервалов, внутри которых траектория непрерывна; t ( j = 1, q) – моменты вреj мени, в которые наступают разрывы фазовых координат. Точки t считаются в общем случае неизвестj ными. Индекс j указывает, что функции рассматриваются на j-ом отрезке времени t t t.

j j+На каждом j-м отрезке задана система связей & F( j) (t, x(t),x(t)) = 0, (145) где ( F( j) = (F1( j), F2( j),..., Fm j) )T ;

x = (x1, x2,..., xn )T ;

& & & & x = (x1, x2,..., xn )T, и краевые условия в точке разрыва функций xi (t) + g(t,x(tr ),x(ts )) = 0, (146) j где g = (g1, g2,..., g )T ;

p j = 1, q;

r = j; 1 j q -1;

s = j; 2 j q;

t1 < t2 <... < t <... < tq ;

j p 2(q -1)n + q.

Требуется минимизировать функционал + J = (t, x(tr ),x(ts )). (147) j + Замечание. Здесь величины x(tr ) суть правосторонние пределы в точке разрыва t, а x(ts ) – леj восторонние пределы.

10.2 Необходимые условия оптимальности Необходимые условия экстремума функционала (147) состоят из:

• правила множителей Лагранжа;

• уравнений Эйлера–Лагранжа;

• условий Эрдмана–Вейерштрасса;

• условий трансверсальности.

Для рассматриваемых разрывных задач эти условия имеют следующий вид.

Правило множителей. Вводятся функции Лагранжа для разрывных задач:

m ( j) F = Fi( j) ( j = 1, q -1) (148) i i=и p L = + gk, (149) µk k =а затем отыскиваются функции xi (t), i (t), µk, удовлетворяющие (145), (146) и доставляющие стационарное значение вспомогательному функционалу J (стационарной величиной называется такое значение J, вариация J которой равна нулю: J = 0 ):

tq t j+q-( j) J = L + =L + (150) Fdt F dt.

j=t1 t j В этом случае вариация J функционала J имеет следующее выражение:

n (1) n (1) J = L F dxi (t1) + L + F dxi (t2 ) + & & xi (t2 ) xi (t1) xi xi i=1 t1 i=1 t n (2) n (q-1) + + - (tq ) + L F dxi (t2 ) +...+ L + F dxi + xi (tq ) xi & xi (t2 ) & xi + i=1 t2 i=1 tq n (1) n (1) n (2) L F & & & + + xi dt1 + L F xi + F x dt2 + & & & t1 i=1 xi xi - i=1 xi + i= t1 t2 t2 t tn (q-1) n (1) (1) L F d F F & +...+ - + xi dtq - + xidt + tq i=1 xi & & xi xi i= tq t1 dt tq n (q-1) (q-1) d F F +...+ - + xi (t)dt.

& dt xi xi i=1 + tq-(151) Уравнения Эйлера–Лагранжа. Из выражения (151) вытекает, что если x(t) – кривая, доставляющая стационарное значение функционалу J (т.е. J = 0 ), то между точками разрывов удовлетворяются уравнения Эйлера–Лагранжа:

( j) ( j) d F F - = 0 (i = 1, n; j = 1, q -1). (152) & dt xi xi Условия Эрдмана–Вейерштрасса и условия трансверсальности. В концевых точках t1, tq и точках разрыва t выполняются соотношения, обобщающие условия трансверсальности и условия Эрдмаj на–Вейерштрасса (см. п. 9.2):

1) при t = tn (1) F ( j) L & + - = 0 ; (153) F xi = 0; L & & t1 i=1 xi t=t1 xi (t1) xi t =t 2) при t = t ( j = 2, 3,..., q -1) j ( j) F ( j-1) L L F + = 0; - = 0 ; (154) & xi (t) xi (t ) t=t- xi (t+ ) x (t) t=t+ i j j j j n ( j) n ( j-1) L & & + F xi it=t -F xi t=t = 0 ; (155) & & t xi + i=1 xi j i=j j 3) при t = tq n (q-1) F (q-1) L & - = 0. (156) F xi = 0; L + & & tg i=1 xi tq xi (tq ) xi tq Для задач с фиксированными величинами разрывов (скачков) краевые условия типа (146) включают соотношения вида + gk xi (t- ) - xi (t ) - (i j), (157) j j где (i j) – постоянная (величина скачка xi в момент времени t ), i = 1, n, j = 2, q -1, k = 1, p.

j Тогда при t = t ( j = 2,q -1) условия (154) и (155) имеют вид j n ( j) n ( j-1) L & & + (158) F xi t -F xi t=t- = 0 ;

& & t xi =t+ i=1 xi j i=j j F ( j) F ( j-1) L - + = 0. (159) & & xi (t ) xi t=t+ xi t=t j j j Контрольные вопросы 1 Перечислите необходимые условия оптимальности.

2 Приведите физическую интерпретацию задачи с разрывами.

Глава ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ 11.1 Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа Задачей Лагранжа называется следующая экстремальная задача в пространстве = C1(,Rn ) C(,Rr ) R2 :

0 (x(),u(),t0,t1) inf ; (з) & (x(), u(), t0, t1) = x(t) - (t, x(t), u(t)) = 0 ; (1) i (x(), u(), t0, t1) 0, i = 1, m ; (2) i (x(), u(), t0, t1) = 0, i = m +1, m, (3) где ti (x(), u(), t0, t1) = fi (t, x, u) dt + i (t0, x(t0 ), t1, x(t1)), i = 0, m.

tЗдесь – заданный конечный отрезок, t0, t1, fi : R Rn Rr R – функции n + r + 1 переменных, i : R Rn R Rn R – функции 2n + 2 переменных, : R Rn Rr Rn вектор-функция n + r + 1 переменных.

Ограничение (1) называется дифференциальной связью, вектор-функция x() = (x1(),..., xn ()) – фазовой переменной, вектор-функция u() = (u1(),..., ur ()) – управлением.

Четверка (x(), u(), t0, t1) называется управляемым процессом в задаче Лагранжа, если x() C1(, Rn ), u() C(, Rr ), t0,t1 int, t0 < t1, и всюду на отрезке [t0,t1] выполняется дифференциальная связь (1), и допустимым управляемым процессом, если эта четверка является управляемым процессом и, кроме того, выполнены ограничения (2), (3).

Допустимый управляемый процесс = (x(), &), t0, t1) называется оптимальным (в слабом смысле) ( процессом, или слабым минимумом в задаче (з), если существует такое > 0, что для любого допусти мого управляемого процесса = (x(),u(),t0,t1), удовлетворяющего условию - <, выполнено нера венство () ().

Правило решения.

1 Составить функцию Лагранжа:

(x(), u(), t0, t1; p(), ) = t1 m m & = i i fi (t, x,u) + p(t)(x - (t, x,u))dt + i (t0, x(t0 ),t1, x(t1)), i=t0 i= = (0, 1,..., m ), p() C1([t0, t1],Rn*).

2 Выписать необходимые условия оптимального в слабом смысле процесса = (x(), (), t0, t1) :

а) стационарности по x – уравнение Эйлера:

m d & - Lx (t) + Lx (t) = 0 p(t) = fix (t) - p(t)x (t)t [t0, t1] & i dt i=для лагранжиана m & L = fi (t, x, u) + p(t)(x - (t, x, u)) ;

i i=б) трансверсальности по x:

m & Lx (tk ) = (-1)k lx(tk ) p(tk ) = (-1)k ix(tk ), k = 0, i i=для терминанта m l = i (t0, x(t0 ), t1, x(t1)) ;

i i=в) стационарности по u:

m Lu (t) = 0 fiu (t) - p(t)u (t) = 0 t [t0, t1] ;

i i=г) стационарности по tk :

m m & tk = 0 (-1)k +1 fi (tk ) + (itk + ix(tk )x(tk )) = 0, k = 0, i i i=0 i=(условие стационарности по tk выписывается только для подвижных концов);

д) дополняющей нежесткости ii () = 0, i = 1, m ;

е) неотрицательности i 0, i = 0,m.

3 Найти допустимые управляемые процессы, для которых выполняются условия п. 2 с множителями Лагранжа и p(), одновременно не равными нулю. При этом бывает полезно отдельно рассмотреть случаи 0 = 0 и 0 0. Во втором случае можно положить 0 равным единице или любой другой положительной константе.

4 Среди всех найденных в п. 3 допустимых экстремальных процессов отыскать решение или доказать, что решения нет.

Предлагаем проверить, что правило решения составлено в полном соответствии с общим принципом Лагранжа.

Набор условий для нахождения оптимального процесса является полным. Действительно, для определения неизвестных функций x(), p(), u() мы имеем систему из дифференциальных уравнений (1) и условий б), в). Выражая из последнего (разумеется, когда это можно ссделать, например, если выполнены условия теоремы о неявной функции) u() через x() и p(), мы получаем систему из 2n скалярных дифференциальных уравнений. Ее общее решение зависит от 2n произвольных постоянных и еще от множителей Лагранжа i, среди которых m независимых. Добавляя сюда еще t0 и t1, получаем всего 2n + m + 2 неизвестных. Для их определения мы имеем 2n условий трансверсальности б), m условий дополняющей нежесткости и заданных ограничений (3) и два условия стационарности по tk. Таким образом, число неизвестных совпадает с числом уравнений. (Разумеется, разрешимости полученной системы уравнений указанное обстоятельство не гарантирует.) 11.2 Принцип максимума в форме Лагранжа Задачей оптимального управления (в понтрягинской форме) будем называть следующую задачу в пространстве KC1(, Rn ) KC(, Rr ) R2 [14]:

0 (x(), u(), t0, t1) inf ; (з) & x(t) = (t, x(t), u(t)) ; (1) u(t) Ut [t0, t1] ; (2) i (x(), u(), t0, t1) 0, i = 1,m ; (3) i (x(), u(), t0, t1) = 0, i = m +1, m, (4) где ti (x(), u(), t0, t1) = fi (t, x(t), u(t)) dt + i (t0, x(t0 ), t1, x(t1)), i = 0,m.

tЗдесь – заданный конечный отрезок, t0, t1, fi : R Rn Rr R – функции n + r + 1 переменных, i : R Rn R Rn R – функции 2n + 2 переменных;

: R Rn Rr Rn – вектор-функция n + r + 1 переменных, U – произвольное множество из Rr. Частным случаем задачи (з) является задача, в которой один из концов или даже оба закреплены.

Вектор-функция x() называется фазовой переменной, u() – управлением. Уравнение (1), называемое дифференциальной связью, должно выполняться во всех точках непрерывности управления u() на интервале (t0, t1) (это множество будет обозначаться через T).

Четверка (x(), u(), t0, t1) называется управляемым процессом в задаче оптимального управления, если x() KC1(, Rn ), u() KC(, Rr ) и выполняются дифференциальная связь (1) и ограничение типа включения (2). Управляемый процесс является допустимым, если, кроме того, выполняются соотношения (3) и (4).

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.