WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 10 |

в, е – нестрогий минимум (особое управление) Так, например, если гамильтониан H от управления u не зависит, то H достигает максимума при j любом u.

j Условия (61) не могут установить различие между управлениями u, дающими минимум или макj симум функционалу J[u]. На участке особого управления выполняется соотношение 2H det 0 (i, j = 1, m) на [1, 2 ], (62) uiu j показывающее, что условие Гильберта невырожденности вариационной задачи нарушено. Задачи, для которых имеет место условие, в классическом вариационном исчислении называются вырожденными.

m Если множество U – замкнуто и ограничено, то в вырожденных задачах может наблюдаться два режима оптимального управления: регулярный, когда u определяется из принципа максимума [как, например, (60)], и особый, когда u не может быть найдено из принципа максимума [как, например, при выполнении (61)] и когда требуется особая процедура для его отыскания.

6.2 Процедура нахождения особого управления Общая теория вырожденных вариационных задач разработана недостаточно. Наиболее полно исследован случай особого управления по одной компоненте u. В этом случае решение можно получить j следующим образом.

Условие (62) показывает, что режим особого управления на участке [1,2] (участке особого управления) имеет место, если n H = rij (t, x) 0.

i u j i=Последовательное дифференцирование этого соотношения по t приводит к соотношениям k d H 0 на [1,2] (k = 0, 1, 2,...). (64) u dtk j Можно показать, что первое ненулевое значение величины k d H k u u j dt j возможно лишь при четном k. Обозначим его k = kmin = 2 p. Число p называется порядком вырожденности (сингулярности) вариационной задачи (оптимального управления).

d H При k = 2p управление u войдет в явным образом. Теперь величину особого оптимальноj u dtk j го управления u* можно найти из условия j 2 p d H = 0 на [1,2], (65) u dt2 p j которое линейно по u (в силу линейности по u системы (56)). Уравнения сопряженной системы в данj ном случае имеют вид ds n i m n rij u = - +. (66) i i j dt xs j=1 i=0 xs i=Считая, что все остальные компоненты вектора u регулярны, т.е. определяются соотношениями типа (60), условие (65) можно записать в виде 2 p d H = M1(x,,t) + u M (x,,t) = 0, (67) j u dt2 p j откуда и может быть найдено особое управление для компонент M1(x,,t) u = -.

j M (x,,t) 6.3 Необходимое условие оптимальности особого управления Для минимума критерия качества J[u] на особом управлении u* j в задаче (56)–(57) должно выполняться следующее необходимое условие:

2 p d H p 0, p = 0, 1, 2,....

(-1) (68) 2 p u j dt u j При максимизации критерия качества знак в неравенстве (68) следует заменить на обратный.

Отметим, что при p = 0, т.е. для невырожденных задач, это условие переходит в условие 2H u2 j (при m = 1) и, таким образом, (68) является аналогом условия Лежандра–Клебша для особых (вырожденных) экстремалей (для одномерного управления u ). При p = 1 условие (68) имеет вид j d H.

u u dt j j 6.4 Необходимые условия в точках сопряжения особого и регулярного управлений Результаты, полученные в пп. 6.2 и 6.3, применимы, если значения оптимального особого управлеm ния u*(t) являются внутренними точками множества U на отрезке [1,2]. Необходимые условия для j m перехода с регулярного оптимального управления на особое оптимальное в случае, когда U – mмерный прямоугольник a (t) u (t) bj (t), а j j 1 – момент времени начала перехода, определяются следующими неравенствами:

[M1(x,,t) + bj (t)M2(x,,t)]1 < 0 (69) (необходимое условие для возможности перехода регулярного управления с верхней границы u (t) = bj (t) j на особое оптимальное управление) и [M1(x,,t) + a (t)M2(x,,t)]1 > 0 (70) j (необходимое условие для возможности перехода регулярного управления) с верхней границы u (t) = bj (t) j на особое оптимальное управление).

Требование совместного выполнения условий (69) и (70) может быть представлено в виде неравенства 2 p d H. (71) 2 p u j dt u j Это условие является необходимым для возможности перехода с обеих границ регулярного управления на особое. Необходимое условие (71) легче проверить, так как оно не связано с вычислением M1(x,,t). Однако следует иметь в виду, что оно является более слабым, чем условия (69) и (70), поскольку последние из него не вытекают.

Контрольные вопросы 1 Что такое особое управление и когда оно возникает 2 Процедура нахождения особого управления.

3 Необходимое условие оптимальности особого управления.

4 Необходимые условия в точках сопряжения особого и регулярного управлений.

Глава НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧАХ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ТИПА НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИМИ ТОЛЬКО ФАЗОВЫЕ КООРДИНАТЫ x В технических приложениях имеется ряд задач, когда при формировании оптимальной траектории необходимо учитывать ограничения на область допустимых значений фазовых координат. Например, при наборе самолетом высоты или при рассмотрении траекторий спуска (h(t))v2 (t) q = qзад, т.е.

q(h(t),v(t),t) - qзад 0.

При движении ЛА типичными также являются ограничения на допустимые значения высоты полета h и массы m ЛА:

h(t) 0; m(t) m.

В общем случае ограничения указанного типа можно записать в виде (t, x) 0, (72) где = (1, 2,..., µ1 )T ; x = (x1, x2,..., xn )T.

7.1 Краткая формулировка задачи Пусть эволюция рассматриваемой системы S описывается векторным дифференциальным уравнением dx = f (t, x,u), (73) dt где f = ( f1, f2,..., xn )T ; x = (x1, x2,..., xn )T ; u = (u1, u2,..., um )T ;

m m u U ; U – некоторая замкнутая и ограниченная область в пространстве Rm.

Заданы:

• начальное значение x(t0 ) = x0, (74) • интервал времени [t0,t1], • критерий качества tJ[u] = (t1, x(t1)) + f0 (t, x,u)dt. (75) tm Необходимо найти такое кусочно-непрерывное управление u(t) U, которое переводит начальное условие (t0, x0 ) в некоторую конечную точку (t1, x(t1)), удовлетворяющую условиям q(t1, x(t1)) = 0, q = (q1, q2,..., ql )T, (76) l < n + 1, и минимизирует функционал J[u] на траекториях, удовлетворяющих условиям (t, x) 0, = (1, 2,..., µ1 )T. (76') Здесь значения функции i не зависят явно от управления u. Предполагается, что t, f0, обладают непрерывными производными до второго порядка.

7.2 Необходимые условия оптимальности В постановке п. 7.1 вся оптимальная траектория полета в общем случае может состоять из двух типов участков: участков, целиком лежащих внутри допустимой области, и участков, лежащих на границе допустимой области (рис. 10). Количество таких участков и их чередование зависит от конкретной задачи и граничных условий. На участках, целиком расположенных внутри допустимой области, условия (72) выполняются в виде строгих неравенств (t, x) > 0.

Для этих участков справедлив принцип максимума, сформулированный в п. 4.3.

На участках, лежащих на границе допустимой области, одно или несколько условий типа (72) выполняются в виде равенств. Эти участки называются граничными, для них принцип максимума п. 4.уже не справедлив. Наличием этих участков данная задача и отличается от задач п. 4.1.

Известно несколько эквивалентных подходов к получению необходимых условий оптимальности для участков, расположенных на границе (t, x) = 0. Будучи эквивалентными, эти подходы ведут к различным вычислительным процедурам получения решения.

а) б) в) г) д) е) ж) з) Рис. 10 Типы возможных оптимальных траекторий в задачах с ограничениями на фазовые координаты:

а – г – случаи, когда допустимые траектории располагаются внутри некоторой области (не обязательно замкнутой); а – траектория, целиком лежащая внутри допустимой области; б – траектория, имеющая с границей области одну общую точку (типа отражения от границы); в – траектория, целиком лежащая на границе; г – траектория, частично расположенная на границе;

д – з – случаи, когда допустимые траектории располагаются вне некоторой области; д – случай двух траекторий, доставляющих относительный минимум в задаче о кратчайшем пути на плоскости; е – случай невыпуклой запрещенной области; траектории с несколькими участками входа и схода;

ж – 1–2 – траектория, не имеющая общих точек с границей; 1–3 – траектория, имеющая одну общую точку (касание) с границей; з – случай негладкой границы допустимой области; 1 – начальная точка траектории; 2 – конечная точка траектории; 1' – точка входа на границу; 2' – точка схода с границы Рассмотрим случай одного скалярного ограничения вида i (t, x) 0.

7.3 Первый тип необходимых условий оптимальности для граничных участков траектории Для простоты рассматривается случай, когда лишь одно из ограничений типа (72) выполняется в виде равенства (например, ограничение 1). Пусть это ограничение 1(t,x) = 0 (77) таково, что полная производная по времени d1(t,x) 1 1 & 1 f = + x = + (t,x,u) (78) dt t x t x содержит управление u явно.

Необходимое и достаточное условие того, что (77) имеет место на некотором ненулевом отрезке [t1, t2 ], водится к уравнению d1(t, x) 1 & & 1 = = + f (t, x,u) = 1(t, x,u) = 0 (79) dt t x Составляется гамильтониан H1 для граничных участков & H1 = H + 1(t, x,u), (80) где n H = 0 f0 + fii ;

i= = 0 на участках, где 1 > 0; 0 на участках, где 1 = 0.

Теперь необходимые условия для граничного участка совпадают с необходимыми условиями п. 8.& с заменой в условиях (95), (97), (101) функции на 1. Отличие этой задачи от задачи п. 8.2 заключается в условиях, накладываемых на переменные в точках выхода траектории на границу и схода с нее. В этих точках сопряженные переменные i (t) могут претерпевать разрывы. Если имеется всего два участка, то сопряженные переменные непрерывны. При этом условие 1(t,x) = 0 может толковаться либо как связь, наложенная на начальные значения (t0, x0 ), либо как связь, наложенная конечные значения (t1,x1), в зависимости от порядка следования участков с 1 > 0 и 1 = 0.

При трех участках, если сначала идет граничный участок, затем участок с 1 > 0 и далее снова граничный участок, множители тоже непрерывны вдоль всей траектории. При всех других порядках следования участков, если последних больше трех, сопряженные переменные имеют разрыв типа скачка.

Этот скачок в значениях i (t) можно осуществить на любом конце граничного участка, при этом на другом конце множители уже могут быть выбраны непрерывными (выбор конца, на котором происхо дит скачок, не имеет значения). Если этот конец выбран в момент времени t2, то условия скачка имеют вид 1(t ) + (t2 ) = - (t2 ) - C ; (81) x 1(t2) + - H (t2) = H (t2 ) + C ; (82) t 1 (t2 ) = 0, (83) где С – произвольная постоянная; индексы «+» и «–» обозначают пределы справа и слева, соответственно.

& Если условия (81) подставить в (82), то коэффициент при С будет 1 и, таким образом, условие (82) не зависит от С, а содержит только значения - (t2 ). После указанной подстановки уравнение (82) может быть использовано в качестве эквивалентного необходимого условия.

В данной задаче решение x(t), (t) не зависит от i0, С как от параметров x = x(t, i0, C); = (t, i0, C).

В каждой точке разрыва непрерывности сопряженных переменных должна добавляться новая константа С. Величина С не может быть определена заранее из необходимых условий и является дополнительным параметром, определяющим точку схода. Поскольку число граничных участков заранее неизвестно, задача становится проблемой с переменным числом параметров, что существенно усложняет ее практическое решение даже с помощью ЭВМ.

Пример 3. Пусть имеются три участка оптимальной траектории, следующие в таком порядке:

1 участок – траектория в открытой области, 1 > 0 ;

2 участок – граничная траектория, 1 = 0 ;

3 участок – снова траектория в открытой области, 1 > 0.

Необходимые условия в конечной точке дают (n + 1) уравнение относительно (n + 2) неизвестных i0, t1, C. Условия (82), (83) и (t2 + 0) = 0 (84) определяют точку t2 и дают дополнительное уравнение относительно неизвестных i0, t1, C. Задача, таким образом, свелась к нахождению решения (n + 2) уравнений с (n + 2) неизвестными.

Если участков больше, чем три, задача сводится к многоточечной краевой проблеме.

7.4 Второй тип необходимых условий для оптимальности управления на граничных участках Пусть tвх – момент входа траектории на границу допустимой области, tсх – момент схода с этой границы. Гамильтониан H2 для граничных участков может быть представлен в следующем виде:

n & & H2 = 0 f0 + fi + 11 + 21 = H + 11 + 21, i i=& где 1 = 2 = 0, если 1 > 0 ; 1 0, 2 0, если 1 = 0, а 1 определяется правой частью соотношения (78).

На граничном участке (т.е. при tвх t tсх ) вдоль оптимальной траектории выполняются условия t T H2 & H & & x =, = -, 1 = 0,1 = 0. (85) x m Оптимальное управление на граничном участке определяется из условия минимума H по u U1 (t,x), m m где U1 (t,x) – та часть значений u из области U, которая удовлетворяет условию 1(t,x,u) = 0.

m Если минимум H по u в области U1 (t,x) достигается в ее внутренней точке, то H2 H & & = + 2 ((t, x,u)) = 0, 1(t, x) = 0, 1(t, x,u) = 0.

u u u Значения вектора и гамильтониана H2 непрерывны в точке входа на границу допустимой области:

(tвх + 0) = (tвх - 0); H2 (tвх + 0) = H2 (tвх - 0).

Остальные недостающие граничные условия могут быть найдены из общих условий трансверсальности (см. п. 4.3). В частности, из этих условий следует, что при t = tT L (t1) = ; L = (t1,x(t1)) + µT q(t1,x(t1)) ;

x t=tL + H2(t1) = 0 (если t1 – не задано).

tКроме того, к этим условиям надо добавить заданное граничное условие (76):

q(t1, x(t1)) = 0.

Контрольные вопросы 1 Необходимые условия оптимальности.

2 Первый тип необходимых условий оптимальности для граничных участков траектории.

3 Второй тип необходимых условий для оптимальности управления на граничных участках.

Глава НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧАХ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ТИПА НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИМИ ОДНОВРЕМЕННО ФАЗОВЫЕ КООРДИНАТЫ x И УПРАВЛЕНИЕ u При рассмотрении технических систем часто встречаются задачи, в которых допустимые значения управляющих функций не должны превосходить пределов, зависящих от текущего состояния системы.

Ограничения рассматриваемого типа можно записать в виде (t, x,u) 0, (86) где явным образом зависит от состояния x и управления u. Принцип максимума, сформулированный в п. 4.3, справедлив лишь для неравенств типа i (t,u) 0, (87) т.е. не содержащих фазовых координат x явно.

Ниже приводится формулировка принципа максимума, пригодная для ограничений типа (86).

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 10 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.