WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 10 |

Множество всех возможных состояний x = (x1(t), K, xn (t))T в различные моменты времени t T обраn n зуют n – мерное пространство состояний X Rn (n – мерное фазовое пространство), точка x X является изображающей точкой этого пространства.

Вектор z = (x, t)T, т.е. состояние в момент t, называется событием (фазой). Множество всех возможn+1 n+ных событий z образует пространство Z Rn+1 событий. Точка z Z является изображающей точкой пространства событий.

2.2 Управление Система S называется управляемой на отрезке (одно из определений управляемости) [t0, t1], если ее поведение при t > t0 зависит только от начального состояния (t = t0, x0 = x(t0)), будущего поведения некоторого переменного вектора u (входа системы) u = (u1, K, um )T, m 1, называемого управляющим вектором (или просто управлением) u, и постоянного вектора a :

a = (a1, K, ar )T, r 0, называемого вектором управляющих (проектных) параметров.

m Вектор u принимает значение из некоторого множества U m-мерного пространства Rm с координатами u1, u2,..., um. Это множество может быть всем пространстm m вом Rm или его частью U Rm. U – чаще всего компактное множество пространства Rm.

m Множество U называется множеством допустимых значений управления. Некоторые виды мноm жества U приведены на рис. 2.

Постоянный вектор a обычно принадлежит некоторому замкнутому множеству Ar Rr.

2.3 Эволюция состояния системы.

Дифференциальные уравнения движения Изменение состояния (эволюция) системы S на временном интервале T = {t, t0 t t1} часто с хорошей степенью приближения описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

dx = f (t, x,u,a), (1) dt где x = (x1, x2,..., xn )T – вектор состояния; u = (u1,u2,...,um )T – управляющий вектор; a = (a1, a2,..., ar )T – вектор проектных параметров.

u2 uu2M u uR uuuu1m u1M u2m u1m u1 u1M ;

2 2 2 2 а) U :

б) U :{u1 + u2 uR} 2m u u2 u2M uuuM uuu0 uuM 2 в) U :{u1 + u2 uM } г) U :{ f (u1,u2) 0} uuu2M 2 uR uu1M u1M uuuR u3 u2M 2 2 u1 + u2 = uR;

(u1M,u2M ),(u1m,u2M );

2 д) U : е) U :

u1 + u2 = uR 1M (u,u2m ),(u1M,u2m ) Рис. 2 Виды множества U2 допустимых управлений:

а – в – замкнутые ограничения выпуклые области, содержащие начало координат; г – невыпуклая область, не содержащая начало координат;

2 д – невыпуклые одномерные области ; е – дискретное множество допустимых значений (1 – 4 изоU1, U лированные точки) Система (1) образует существенную часть математической модели динамической системы S. В ММ, описываемой системой ДУ, формальным признаком переменной состояния x является наличие ее проdx изводной в левой части системы (1). Управляющая переменная u входит только в правую часть сисdt темы (1) и не встречается под знаком производной (это формальный признак управляющей переменной).

Предполагается, что вектор-функция f(t, x, u, a) определена для любых значений n m x X, u U, a Ar, t T, непрерывна по совокупности переменных t, x, u, a и непрерывно дифференцируема по x, a. Хотя гладкость является достаточно жестким требованием и может быть заменена требованием измеримости и ограниченности. Так как поведение вектора u может быть произвольным (за исm ключением условия u U ) и, кроме того, можно произвольно выбрать постоянный вектор a Ar, то система уравнений (1) определяет управляемый процесс. Ход управляемого процесса будет определен на некотором интервале t0 t t1, если на этом интервале вектор u задан в одной из двух форм:

u = u(t) = (u1(t), u2 (t),..., um (t))T ; (2) u = v(x,t) = (v1(x,t), v2 (x,t),..., vm (x,t))T. (3) Вектор-функцию u(t) называют программным (временным) управлением, а вектор-функцию v(x, t) – координатным управлением или законом управления. Закон управления (3) физически выражает известный принцип обратной связи, согласно которому величина управляющего воздействия определяется на основании измерения текущего состояния системы x и, быть может, момента времени t.

Каждому выбору векторов управляющих параметров a и управления u (вида (2), (3)) и каждому начальному состоянию (t0, x0 ) соответствует по (1) временная последовательность состояний x(t, x0, t0 ), которая называется фазовой траекторией (поведением, эволюцией, движением) системы S. Пара вектор-функций {u(t), x(t)} или {v(x, t), x(t)} называется процессом управления или режимом.

2.4 Функционал. Критерий качества управления Величина J[u(t)] называется функционалом функции u(t) на отрезке t0 t t1, если каждой функции u(t), t [t0, t1], принадлежащей некоторому классу функций, поставлено в соответствие определенное t число ( f (a), f (x), f (t)dt, max f (t) и т.д.) из R.

t0 tt Таким образом, функционал J[u(t)] – это отображение, в котором роль независимого переменного (функционального аргумента) играет функция u(t). При этом J[u(t)] зависит от совокупности всех значений, принимаемых функцией u(t) на отрезке [t0, t1], и может рассматриваться как функция бесконечного числа независимых переменных.

Для каждого фиксированного конечного момента времени t1 = t1 состояние x(t1) системы S, движущейся из начального состояния (t0, x0 ) в соответствии с уравнением (1), является одновременно векторным функционалом (т.е. вектором, компонентами которого являются функционалы) от управления u(t) и вектор-функцией от вектора a и вектора начальных условий x0(t0). Критерии качества процессов управления являются функционалами.

Достаточно общая форма критерия качества в ТОП имеет вид tJ[u(t),a] = (t0,t1, x0, x1,a) + f0 (t, x(t),u(t),a)dt, (4) tгде x(t) удовлетворяет системе (1); u(t) – некоторое выбранное управление; а – управляющий параметр.

В частности, каждую из координат xi (t) системы (1) можно записать в форме txi (t) = fi (t, xi (t),u(t),a) + xi (t0 ), i = 1, n.

t2.5 Автономные системы Если правые части (1) и функции и f0 в (4) от времени явно не зависят, то соответствующая задача называется автономной:

dx = f (x,u,a) ;

dt tJ[u(t),a] = (x0,x1,a) + f0(x,u,a)dt.

tАвтономные системы инвариантны относительно сдвига вдоль оси t, поэтому для автономных систем важна только длительность процесса t1 - t0 и можно положить t0 = 0.

2.6 Допустимое программное управление Вектор-функция u(t) называется допустимым программным управлением в задаче, если:

а) u(t) принадлежит к выбранному классу в большинстве практических приложений кусочнонепрерывных по t на интервале [t0, t1] функций, т.е. может иметь лишь конечное число точек разрыва первого рода;

m б) значения u(t) принадлежат заданному множеству U для всех t [t0, t1].

Кусочно-непрерывные управления соответствуют предположению о «безынерционности».

Если желательно учесть «инерцию», то следует искать управление в классе непрерывных кусочногладких функций u(t). Такой класс допустимых управлений иногда сводится к предыдущему путем введения нового безынерционного управления u(t), связанного со «старым» управлением u(t) соотношением du m = u, u U, dt где u = (u1,u2,...,um)T ;

u = (u1,u2,...,um)T. (5) m Если U – замкнутая и ограниченная область, то это означает, что введены ограничения на значения первых производных от вектор-функции u(t).

Кусочно-непрерывным функциям u(t) отвечают кусочно-гладкие функции u(t) в силу (5). Таким образом, в новой задаче u(t) становится переменной состояния, управляемой посредством u(t) через систему (5).

m Если условие u U в новой задаче можно снять, то задача сводится к предыдущей для кусочноm непрерывного управления u U.

В противном случае следует обратиться к задаче оптимизации с ограничениями на фазовые координаты. На рис. 3 приведены примеры управлений, принадлежащих как к классу кусочно-непрерывных функций, так и к другим классам.

Рассмотрение допустимых управлений в классе кусочно-непрерывных функций объясняется тем, что для оптимизации функционалов на этом классе функций разработан соответствующий математический аппарат – принцип максимума.

uj(t) uj(t) tII t0 t1 t tI t0 t1 t a) б) uj(t) uj(t) tIII tIV t0 tI tII tV t1 t t0 tII tI tIII t1 t в) г) u(j1) (t) uj(t) u0(t – t0) u2(t – t1) uj(t) tt1 t t' u(jn) (t) tt tu1(t – t') t0 t1 t е) д) Рис. 3 Примеры управлений uj (t), принадлежащих различным классам функций:

а – гладкое управление; б – кусочно-гладкое непрерывное управление;

в – непрерывное управление (в окрестности uj (t), t недифференцируема);

г – кусочно-непрерывное управление; д – управление, не являющееся кусочно-непрерывным (u'j содержит бесконечное число переключений в окрестности t1; – элемент последовательности, сходящейся к функции, разрывной в каждой точке u2(t) j [t0, t1]); е – управление, содержащее -функции Дирака; – константы u, u1, uДля каждого допустимого управления u(t) в силу сделанных предположений относительно f(t, x, u) существует единственное абсолютно-непрерывное решение системы x(t) = x(t,x0,t0), которое удовлетворяет системе (1) почти всюду на [t0, t1] [т.е. за исключением конечного числа или счетного множества точек разрыва функции u(t)] и при t = t0 принимает заданное значение x0 = x(t0).

2.7 Допустимый закон управления n Закон управления v(x, t) является допустимым на x X, t [t0, t1], если m n 1) v(x, t) U, t T = [t0,t1], x X ;

2) v(x(t),t) = u(t), где x(t) – траектория системы S; u(t) – допустимое программное управление при законе управления v(x, t).

Вектор а управляющих параметров называется допустимым, если его значение принадлежит заданному множеству Ar Rr.

2.8 Допустимые траектории и процессы Фазовая траектория x(t) системы S называется допустимой, если:

а) она получена из решения системы ДУ при допустимом управлении u(t) или при допустимом законе управления v(x, t);

n n б) значения x(t) принадлежат заданной области X пространства состояний X.

Управляемый процесс (x, u) называется допустимым, если в нем под действием допустимого управления u(t) или допустимого закона управления v(x, t) реализуется допустимая траектория.

2.9 Граничные условия. Краевая задача Цель управляемого процесса (x, u) состоит в переходе системы S из некоторого заданного при t = tначального состояния x0 = x(t0) в заданное конечное состояние x1 = x(t1) за время T = t1 - t0.

При этом все компоненты векторов x0, x1 и моменты времени t0, t1 обязательно должны быть фиксированными, некоторые могут оставаться не заданными (свободными). В общем случае система S в начальный и конечный моменты времени может находиться в состояниях, описываемых уравнениями вида xxj q(x1) (x1, t1) (x0, t0) (x0, t0) txi txt xn а) б) xq(x1) = xh(x0) = (x1, t1) (x0, t0) xxxn xn в) г) xxh(x0) q(x1) q(t) (x(t1), t1) x(t0) x(t1) 0 (x0, t0) 0 dtt x1 xxn д) е) Рис. 4 Примеры граничных условий:

a – левый и правый концы фазовой траектории закреплены;

б – левый конец закреплен, правый – свободен; в – левый и правый концы подвижные; г – левый конец закреплен, правый – свободен, за исключением координаты x1; д – общий случай подвижных граничных условий;

е – граничные условия в задаче встречи движений;

– оптимальная траектория; - - - - - - – произвольная траектория h(t0,x0,a) = (h1,h2,...,hl1)T = 0 ; (6) g(t1,x1,a) = (h1,h2,...,hl1)T = 0 (7) или более общими уравнениями вида g(t0,t1, x0,x1,a) = (g1, g2,..., gl )T = 0, (8) где l1 + l2 2n + 2 + r; l 2n + 2 + r.

Уравнения (6) и (7) описывают (при фиксированном управляющем параметре а) обычно поверхность размерности (n +1- l2) и (n +1- l1) и (u - l2) в пространстве (t, x) называются раздельными граничными условиями для концов фазовой траектории. Примеры граничных условий приведены на рис.

4. Уравнения (8) называются смешанными граничными условиями. Если значения фазовых координат в момент t0 (или t1) не фиксируются, то граничные условия для левого (или правого) конца траектории называются свободными. Раздельные условия вида (6) и (7) часто называют подвижными граничными условиями.

Определение уравнений u(t), при которых решение системы (1) удовлетворяет условиям (6) и (7), называется двухточечной краевой задачей.

Перевод начального состояния x0 в конечное состояние x1 на заданном отрезке [t0, t1] не всегда возможен. Однако, если найдется хотя бы одна пара векторов {u(t), a} или {v(x, t), a}, осуществляющая указанный переход, то обычно существуют и другие пары векторов, реализующие этот же самый переход. В этом случае каждой паре {u(t), a} соответствует определенное значение критерия качества J[u, a]. Можно ставить задачу об отыскании таких {u(t), a}, которые минимизируют или максимизируют этот критерий.

Контрольные вопросы 1 Что такое фазовые координаты 2 Расскажите об эволюции системы и ее описании при помощи дифференциальных уравнений движения.

3 Функционал. Критерий качества управления.

4 Какие системы называются автономными 5 Расскажите о допустимых программных управлениях.

6 Расскажите о допустимом законе управления.

7 Допустимые траектории и процессы. Граничные условия. Краевая задача. Виды краевых условий.

Глава ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ Основная задача оптимального программного управления в форме временной программы (2) для системы (1) с критерием (4) и краевыми условиями (8) формулируется следующим образом.

m Среди всех допустимых на отрезке [t0, t1] программных управлений u = u(t) U и управляющих параметров a Ar, переводящих точку (t0, x0 ) в точку (t1, x1), найти такие, для которых функционал (4) на решениях системы (1) примет наименьшее (наибольшее) значение с выполнением условий (8).

Управление u(t), решающее эту задачу, называется оптимальным (программным) управлением, а вектор а – оптимальным параметром.

Если пара {u*(t), a*} доставляет абсолютный минимум функционалу J[u(t), a] на решениях системы (1), то выполняется соотношение * Jmin = J = J[u*(t), a*] J[u(t), t] (9) m для u U, a Ar, являющихся допустимыми и осуществляющих заданный переход с выполнением условия (8). Аналогичное определение имеет место для абсолютного максимума (с заменой знака неравенства знаком ).

Из определения абсолютного минимума (9) следует, что абсолютное минимальное значение функ* ционала J = J[u*, a*] является единственным, чего нельзя утверждать, вообще говоря об оптимальном управлении u*(t) и оптимальном параметре a*.

3.1 Основная задача оптимального координатного управления Основная задача оптимального координатного управления известна в теории оптимальных процессов как проблема синтеза оптимального закона управления, а в некоторых задачах – как задача об оптимальном законе поведения.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 10 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.