WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 ||

Допустимый управляемый процесс = (x(), (), t0, t1) называется (локально) оптимальным (или еще говорят оптимальным в сильном смысле процессом), если существует > 0 такое, что для всякого допустимого управляемого процесса = (x(), u(), t0, t1), для которого (x(), t0, t1) - (x(), t0, t1) < C(,Rn )R выполняется неравенство 0 () 0 ().

Правило решения.

1 Составить функцию Лагранжа:

t1 m & = i fi (t, x, u) + p(t)(x - (t, x, u))dt + t0 i=m + i (t0, x(t0 ), t1, x(t1));

i i= = (0, 1,..., m ), p() KC1([t0, t1], Rn*).

2 Выписать необходимые условия оптимальности процесса = (x(), (), t0, t1) :

а) стационарности по x – уравнение Эйлера:

m d & - Lx (t) + Lx (t) = 0 p(t) = fix (t) - p(t)x (t), & i dt i=для лагранжиана m & L = fi (t, x, u) + p(t)(x - (t, x, u)) ;

i i=б) трансверсальности по x:

m Lx (tk ) = (-1)k lxk p(tk ) = (-1)k ixk, k = 0, 1, & i i=для терминанта m l = l(t0, x0, t1, x1) = i (t0, x0, t1, x1) ;

i i=в) оптимальности по u – принцип минимума в лагранжевой форме:

& & min L(t, x(t), x(t), u) = L(t, x(t), x(t), (t)) uU m min fi (t, x(t), u) - p(t) (t, x(t), u) = i uU i=m = fi (t, x(t), (t)) - p(t) (t, x(t), (t)) i i=или в гамильтоновой (понтрягинской) форме в виде принципа максимума:

max H (t, x(t), u, p(t)) = H (t, x(t), (t), p(t)), uU где m H (t, x, u, p) = p(t, x, u) - fi (t, x, u) – i i=функция Понтрягина;

г) стационарности по tk :

m m & tk = 0 (-1)k +1 fi (tk ) + (itk + ixk x(tk )) = i i i=0 i= (tk ) = (-1)k +1ltk, k = 0, (условие стационарности выписывается только для подвижных концов);

д) дополняющей нежесткости ii () = 0, i = 1, m ;

е) неотрицательности i 0, i = 0, m.

3 Найти допустимые управляемые процессы, для которых выполняются условия п. 2 с множителями Лагранжа и p(), одновременно не равными нулю. При этом бывает удобно отдельно рассмотреть случаи 0 = 0 и 0 0. Во втором случае можно положить 0 равным единице или любой другой положительной константе.

4 Отыскать решение среди найденных допустимых экстремальных процессов или показать, что решения нет.

Можно показать, что описанное выше правило решения находится в полном соответствии с принципом Лагранжа снятия ограничений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В настоящем учебном пособии представлена точка зрения авторов на процесс подготовки студентов информационно-инженерных специальностей по данной дисциплине.

Особое внимание уделено изучению роли методов теории оптимальных процессов при решении прикладных технико-экономических задач.

Рассмотрен набор необходимых условий оптимальности как для основной задачи оптимального управления, так и для случаев, когда управление является особым, а задача осложнена фазовыми и смешанными ограничениями. Элементы классического вариационного исчисления рассматриваются как следствие использования «принципа максимума».

В отдельных главах представлены задачи с разрывными фазовыми координатами. Особое внимание уделено рассмотрению принципа максимума в форме Лагранжа, что на взгляд авторов облегчает его понимание. Приведена методика изучения необходимых условий оптимальности для решения прикладных задач.

Следует отметить, что отсутствие методов выбора оптимизируемых функционалов ограничено сдерживает применение методов теории оптимальных процессов при решении прикладных задач.

Это связано с трудностями построения математических критериев, определяющих свойства переходных процессов в замкнутых динамических системах.

За рамками предлагаемого учебного пособия остается широкий круг вопросов, связанных с построением оптимальных управлений системами, функционирующими в условиях неопределенности стохастической или нечеткой природы.

Следует отметить, что для более глубокого изучения вопросов, рассматриваемых в данном учебном пособии необходимо обратиться к списку литературы, в который включены работы, ставшие классическими.

Изложение представленного материала не перегружено математическими конструкциями, выходящими за рамки математики для инженерных специальностей высших учебных заведений.

Исследования авторов настоящего учебного пособия, направленные на совершенствование процесса обучения специалистов в области информационных систем по рассматриваемой дисциплине, найдут отражение в дальнейших разработках и публикациях.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1 Понтрягин Л.С. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384 с.

2 Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. 408 с.

3 Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 476 с.

4 Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 520 с.

5 Красовский А.А. Аналитическое конструирование контуров управления летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1969.

238 с.

6 Летов А.М. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969. 360 с.

7 Кротов В.Ф., Лагома Б.А., Лобанов С.М. и др. Основы теории оптимального управления / Под ред. В.Ф. Кротова. М.: Высшая школа, 1990. 429 с.

8 Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973. 448 с.

9 Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975. 420 с.

10 Фельдбаум А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.: Физматлит, 1963. с.

11 Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Физматлит, 1975. 495 с.

12 Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Необходимые условия слабого экстремума в общей задаче оптимального управления. М.: Наука, 1971. 115 с.

13 Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 470 с.

14 Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 430 с.

15 Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. 432 с.

16 Калман Р.Е. Об общей теории систем управления // Труды I конгресса ИФАК / Изв. АН СССР. М., 1961. Т. 2. 231 с.

17 Атанс М., Фалб П.Л. Оптимальное управление. М.: Наука, 1968. 764 с.

18 Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 с.

19 Беллман Р. Динамическое программирование. М., 1960. 326 с.

20 Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 488 с.

21 Поляк Б.Т. Методы линеаризации при наличии ограничений // Итоги науки и техники. Матем.

анализ Е. 2 / ВИНИТИ. М., 1974.

С. 147 – 148.

22 Поляк Б.Т. Методы решения задач на условный экстремум при наличие случайных помех // ВМ и МФ. М., 1979. Т. 19, № 1.

С. 147 – 148.

23 Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974. 374 с.

24 Эльсгольц Л.Э., Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. с.

25 Цлаф Л.Я. Вариационное исчисления и интегральные уравнения. М.: Наука, 1970. 191 с.

26 Петров Ю.П. Вариационные методы теории управления. М.: Наука, 1973.

27 Цирлин А.М., Балакирев В.С., Дудников Е.Г. Вариационные методы оптимизации управляемых объектов. М.: Наука, 1984.

28 Калихман И.А. Динамическое программирование в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 1979.

125 с.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.