WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 32 |

u U. (3.1) На параметры состояния управляемой системы наложены ограничения:

Gl[u] 0, l = 1,...,L. (3.2) Целью функционирования системы является максимизация векторного критерия, компонентами которого являются частные критерии эффективности:

Rk [u], k = 1,...,K. (3.3) Таким образом, для управляемой системы требуется определить вектор управления, максимизирующий векторный критерий (3.3), в соответствии с ограничениями:

~ u U = {u U, Gl[u] 0, l = 1,...,L}. (3.4) Сформулированная проблема многокритериальной оптимизации является обобщением сформулированных выше задач формирования корпоративного управления (1.5)-(1.7).

Множество Парето и принцип максимина. Решение многокритериальной задачи приводит к формированию множества неулучшаемых по Парето [145,151] управлений u*, принадлежащих ~ множеству U. Множество Парето представляет собой совокупность управлений, определяемых из условия _ ~ ~ * П = U u U : Rk [u] Rk[u*],k K,u u*. (3.5) u Управления, принадлежащие множеству Парето, являются несравнимыми по векторному критерию (3.3), вследствие чего возникает проблема выбора единственного управления из множества Парето.

Единственность решения задачи (3.1)-(3.4) может быть обеспечена с помощью принципа гарантированного результата (максимина) [121], ~ согласно которому оптимальным считается управление u0 из множества U, которое доставляет наилучшее значение наихудшему критерию:

u0 = arg max min Rk[u]. (3.6) ~ uU kK Нормализация критериев. Критерии Rk,k K имеют разный смысл и различные диапазоны изменения. Нормализация критериев при управлении u выполняется по формуле Rk [u],k K, Rk [u]= (3.7) R* k * где Rk [u] - нормализованное значение k-го критерия; Rk - максимальное значение k-го критерия, полученное в результате решения однокритериальной задачи оптимизации без учета остальных критериев, достигаемое при управлении u* :

k u* = arg max Rk [u]. (3.8) k ~ uU Для нормализованных критериев выполняются свойства 0 Rk[u] 1, Rk[u*]= 1, Rk[u*] = 0, i,k K, i k, (3.9) k i последнее из которых характерно для противоречивых критериев.

Принцип максимина для нормализованных критериев определяется следующим образом: задача (3.1)-(3.4) при равнозначных критериях решена, ~ если найдено управление u0 U, для которого R0[u0 ]= max min Rk[u]. (3.10) ~ uU kK Аппроксимация множества Парето. Рассмотрим подход к анализу множества Парето, при котором используются геометрические особенности этого множества. Для выявления этих особенностей удобно представить задачу многокритериального выбора (3.10) в форме минимакса; при этом нормализованные критерии Rk [u]= 1 - Rk[u] (3.11) минимизируются, что соответствует максимизации исходных критериев (3.7), а принцип минимакса записывается в форме R0[u0 ]= min max Rk [u]. (3.12) ~ uU kK Управление, оптимальное по критерию (3.12), может быть получено путем аппроксимации поверхности ( П ) (рис. 3.1), образованной сочетаниями критериев при Парето-оптимальных управлениях в K-мерном пространстве критериев. В соответствии со свойствами [74] множества Парето поверхность ( П ) строго монотонна, представляет собой левую нижнюю границу множества Ф и расположена в первом координатном ортанте. Поверхность ( П ) является выпуклой в том случае, если множество Ф выпукло. В этом случае поверхность ( П ) может быть аппроксимирована гиперболической поверхностью.

Введем обозначение графического образа значения, соответствующего (3.7):

= Rk [u],k K.

k В двухкритериальной задаче гиперболическая кривая (рис. 3.1), ' '' проходящая через точки аппроксимации А','2 А'','' ( ) и ( ), с вершиной 1 1 в начале координат и асимптотами - координатными осями (в результате нормализации критериев) определяется уравнением 2 = a 1 (3.13) ( )-b b ln'' - ln 'с коэффициентами b =, a ='2 '1.

( ) ln'1 - ln'' В многокритериальной задаче с тремя критериями качества уравнение аппроксимирующей поверхности имеет вид b1 b3 = a(1) (2 ), и коэффициенты a,b1,b2 вычисляются по формулам b1 bb1 = b1 /, b2 = b2 /, a=1 1 1, ( ) ( ) 3 1 где 1 2 1 1 3 = (ln - ln1)(ln - ln 3)-(ln - ln1)(ln - ln2), 1 2 2 1 3 2 1 3 b1 = (ln - ln1)(ln - ln3)-(ln - ln1)(ln - ln2), 3 3 2 2 3 3 2 2 1 3 b2 = 1 - ln1 3 - ln(ln 1 )(ln 3 3 )-(ln - ln1)(ln - ln1).

1 3 Рис. 3.1 – Формирование гипербол, аппроксимирующих множество Парето В общем случае К критериев уравнение гиперболической поверхности, k k проходящей через К точек аппроксимации Аk 1,2,...,k K, имеет вид ( K ),k К = a 1 1 2 2... К -1 К -1 (3.14) ( )-b ( )-b ( )-b с коэффициентами a,b1,b2,...,bК -1, получаемыми в результате решения системы уравнений -b1 k -b2 k -bК -k k = a...,k = 12,...,K. (3.15), ( ) ( ) ( -K 1 2 K ) Методика использования аппроксимирующих гипербол. С учетом свойства минимакса [187] нормализованные критерии при минимакснооптимальном управлении равны между собой, то есть точка, образованная сочетанием критериев при этом управлении, принадлежит биссектрисе первого ортанта или, в двумерном случае, первого координатного угла.

Вследствие этого координаты центра аппроксимирующей гиперболической поверхности (точки Ci,Ci -1 на рис. 3.1) являются приближением решения многокритериальной задачи.

Таким образом, для формирования управления, являющегося решением многокритериальной задачи, необходимо определить К векторов управления, обеспечивающих такие сочетания критериев, при которых значения (К-1) критериев фиксированы, а один критерий достигает минимума. Далее определяются коэффициенты аппроксимирующей поверхности путем решения системы (3.13), после чего вычисляются координаты центра аппроксимирующей поверхности по формуле C b1+b2+...+bK -1+1 = C =... = C = C = (a).

2 K Сочетание критериев в центре аппроксимирующей поверхности и соответствующий вектор управления представляют собой приближенное решение многокритериальной задачи.

Уточнение приближенного решения выполняется с помощью итерационной процедуры, при которой минимизируется критерий, максимальный для данного приближения, а значения других критериев фиксированы. Управление, полученное в результате скалярной минимизации, позволяет сформировать соответствующую аппроксимирующую поверхность, координаты центра которой являются опорным управлением на следующей итерации.

Алгоритм решения двухкритериальной задачи. В случае К=аппроксимирующая зависимость является гиперболой. С учетом нормализации вершина гиперболы принадлежит началу координат, так как асимптотами являются координатные оси. Линия ( П ) -оптимальных сочетаний критериев имеет вид, показанный на рис. 3.1.

Предлагается следующий алгоритм формирования минимакснооптимального управления:

~ 1) выбирается начальный закон управления uн U, которому соответствует сочетание критериев в точке Ан на рис. 3.1 (индексом "н" обозначено начальное значение);

2) определяется опорное управление, тождественное начальному ui = uн при i = 0 (i - номер итерации) или полученному на предыдущей итерации ui = uiC при i > 0 ;

-3) определяется критерий с наибольшим нормализованным значением i = max i [ ui ] k' k k K ~ Rk = Rk [ui ],k k' и фиксируется значение другого критерия ; область U дополняется ограничением ~ U' ={u U,Rk [u ] = Rk,k k'} ;

4) формируется управление uik', удовлетворяющее условию минимальности i i [ uk' ] = min i [ u ],k' K, k' k' ~ uU' и вычисляются координаты точки Ai' ( ','2i ), принадлежащей множеству 1i ( П );

5) определяется критерий с наибольшим нормализованным значением i i = max ik [ uk' ] ;

k'' k K 6) задается приращение i и вычисляется значение критерия с номером k k'', соответствующее этому приращению, по формуле, обратной формуле (3.7):

i i i max min min Rk = ( [ uk' ] + )(Rk - Rk )+ Rk ;

k ~ область U дополняется ограничением ~ U'' = {u U,Rk [ u ] = Rk,k k''} ;

7) формируется управление uik'', удовлетворяющее условию минимальности i i [ uk'' ] = min ik'' [ u ],k'' K, k'' ~ uU'' и вычисляются координаты точки Ai'' (''i,''i );

1 8) вычисляются координаты центра гиперболы b+c+...+ z+Ci = Ci =... = C = C = (a) ;

1 2 Ki i C 9) формируется управление uiC, соответствующее точке Ci 1i,Ci или ( ) ближайшей к ней точке, если Ci Ф ; для этого по координатам точки Ci определяются значения исходных критериев C max min min Rk = C ( Rk - Rk ) + Rk,k K ki и находится управление u из условия принадлежности области ~C ~ C U = u U, Rk [ u ] = Rk,k K, { } если Ci Ф, или, если Ci Ф, из условия C minmax Rk [ u ] - Rk ;

~ uU k K C C 10) проверяется условие окончания итераций i-1 - i. Если оно выполнено, то точка Ci считается приближенным минимаксно-оптимальным сочетанием критериев, а ее прообраз uiC - минимаксно-оптимальным управлением u0 ; в противном случае приращение уменьшается i+1 = 0,5i и вычисления повторяются, начиная с шага 2.

Алгоритм решения многокритериальной задачи в общем случае. В общем случае K критериев алгоритм имеет вид:

~ 1) выбирается начальный закон управления uн U ;

2) определяется опорное управление по правилу uн при i =0, ui = uC при i >0;

i - 3) формируется K управляющих зависимостей uik,k K путем последовательного решения K задач минимизации i i i [ uk ] = min max [ u ],k = 1,...K, k k ~ kK uU ki ~ u ~ k k i i U = U,R0 [ u ] = R0 для всех k arg max [ uk -1 ],k K, ki k kK k max min min в каждой из которых R = i ( Rk - Rk ) + Rk,i = i -1 + i, где i -1 - k k k k значение k-го критерия, полученное в результате предыдущей задачи. В каждой из K задач начальным приближением служит управление ui при k=1, i uk -1 при k=2,3,...,K;

k k 4) вычисляются координаты точек Aik ( 1i,2i,...,k ),k K, Ki принадлежащих множеству ( П );

5) вычисляются координаты центра гиперболической поверхности C Ci = ( 1i,Ci,...,C ) 2 Ki C C 1i = Ci =...= C = i = a b1 +b2 +...+bК -1 +1, ( ) 2 Ki где коэффициенты b1,b2,...,bК -1 определяются из решения системы -b1 k -b2 k -bК -k k = a...,k = 12,...,K ;

, ( ) ( ) ( -K 1 2 K ) 6) формируется управление uiC, соответствующее точке Ci или ближайшей к ней точке, если Ci Ф ; для этого по координатам точки Ci определяются значения исходных критериев C max min min Rk = C ( Rk - Rk ) + Rk,k K ki и находится управление u из условия принадлежности области ~C ~ C U = u U, Rk [ u ] = Rk,k K, { } если Ci Ф, или, если Ci Ф, из условия C minmax Rk [ u ] - Rk ;

~ uU k K C C 7) проверяется условие окончания итераций i-1 - i. Если оно выполнено, то точка Ci считается приближенным минимаксно-оптимальным сочетанием критериев, а ее прообраз uiC - минимаксно-оптимальным управлением u0 ; в противном случае приращение уменьшается i+1 = 0,5i и вычисления повторяются, начиная с шага 2.

Условия сходимости алгоритма. Алгоритм позволяет определить минимаксно-оптимальное сочетание критериев 0 за конечное число итераций. Докажем необходимое условие сходимости алгоритма в виде следующей теоремы.

Теорема 3.1. Для заданной точности решения > 0 всегда найдется такой номер итерации i, что различие между минимаксно-оптимальным сочетанием критериев и решением, полученным с помощью алгоритма, не превысит этой точности, то есть C 0 - i. (3.16) Доказательство. Для случая К=2 гиперболы, соответствующие смежным итерациям, определяются уравнениями (рис. 3.1) i -1: 2 = fi -1 1 i: 2 = fi ( ), ( ).

Пусть приращение i подбирается таким образом что на каждой ' итерации точки Аi и Аi'' лежат на гиперболе по разные стороны от точки Сi. В этом случае можно подобрать такое 01, что, [ ] С = 'k + 1 - '', 0 1, k =1,2.

( ) k k Поскольку гипербола является выпуклой кривой, то из условия выпуклости ' ' '' f + 1 - '' f, ( ) ( ) [ ] ( k ) ( )+ 1 - f ( ) для любого k k k вытекает, что C ' '' '' Ci = fi 1i fi ' + 1- '' ( ) ( ) ( ) 2 ( )= ( 1 1 1 2 1 )f( )+ 1- f( ) =Ci-1 + 1- f( ). (3.17) '' Так как по построению точки Аi верно неравенство '' C f (3.18) ( )= fi( ) Ci-1, 1 1i-1 '' то при подстановке Ci-1 вместо f 2 ( ) неравенство (3.17) не изменит знака:

Ci = Ci-1 + 1- Ci-1 = Ci-1. (3.19) ( ) 2 2 2 С учетом того, что по свойству симметричности C 1 = C = C, (3.20) C из (3.19) следует невозрастание последовательности точек {i }:

C C.

i i-С другой стороны, по свойству симметричности (3.20) и свойству i минимальности i [ uk ] = minik [ u ],k K сочетание критериев О при k ~ uU минимаксно-оптимальном управлении uО ограничивает последовательность C точек {i } снизу О = min k, k = argmax k. Таким образом, существует ~ uU k K C предел lim i = О, а это означает, что, начиная с некоторого номера i, i выполнится условие (3.16). Теорема доказана.

Особенности применения метода аппроксимации. Решение многокритериальной задачи на основе метода аппроксимации множества Парето сводится к последовательности скалярных оптимизационных задач и предусматривает: а) формирование К Парето-оптимальных управлений;

б) построение в соответствии со значениями критериев при этих управлениях гиперболических поверхностей (кривые Гi,Гi -1 на рис. 3.1), аппроксимирующих поверхность Парето в пределах малой окрестности опорного управления; в) нахождение точки сочетания критериев, принадлежащей аппроксимирующей поверхности и имеющей равные нормализованные значения критериев, и формирование соответствующего управления.

Предложенный метод позволяет определять минимаксно-оптимальное сочетание критериев 0 как в случае выпуклого к началу координат множества ( П ), так и в невыпуклом случае, поскольку на предпоследнем шаге в невыпуклом случае ищется точка, ближайшая к C в смысле k C u = argminmax i [ u ] - i.

~ uU k K Метод, кроме того, позволяет учесть приоритеты критериев, K задаваемые коэффициентами важности k :

k = 1, k > 0, k K. В этом k =случае алгоритм применяется в неизменном виде, но нормализованные критерии подвергаются преобразованию: k = kk, k K.

Общие результаты предложенного метода заключаются в следующем:

– метод многокритериального выбора путем аппроксимации множества Парето по сравнению с непосредственным применением принципа максимина позволяет избежать дифференцирования функции максимума (минимума) для выбора компромиссно-оптимального управления; это преимущество особенно важно с учетом того, что функция максимума (минимума) непрерывно дифференцируема не на всей области определения;

– применение данного метода в виде формирования минимизирующей последовательности управлений сводит решение многокритериальной задачи управления к последовательности решения скалярных задач оптимизации, для которых разработаны надежные численные методы решения;

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 32 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.