WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 11 |

• детерминированным (определяемым в любой момент времени);

• стохастическим (случайным; в этом случае задается его закон распределения);

• непрерывно-распределенным (применяется для удобства вычислений);

• дискретным (часто применяется при решении задач методами динамического программирования);

• зависимым (от потребления прочих товаров);

• независимым (от потребления прочих товаров).

Представим в графическом виде (рис. 12) основные стратегии управления запасами (обозначения взяты из [9]):

• стратегия (T, q) – заказ фиксированного объема партии q через фиксированное время T, не является стратегией управления как таковой, так как здесь отсутствует обратная связь;

• стратегия (t, S) – заказ партии до заданного верхнего уровня S через фиксированное время t;

• стратегия (s, q) – заказ партии фиксированного объема q, при достижении нижнего уровня запаса s;

• стратегия (s, S) – двухбункерная стратегия ("минимум–максимум"), заказ на пополнение до верхнего уровня S выставляется всякий раз, когда уровень запасов падает до s.

Введение ограничений в модель может существенно изменить формулировку задачи управления запасами. В частности, в стохастической модели без ограничений оптимальный запас, обращая в минимум сумму затрат на поставки, хранение и штрафы, автоматически дает наиболее выгодную вероятность недостачи. Ограничение на недостачу полностью определяет сумму штрафа, что позволяет исключить ее из функции затрат и минимизировать только расходы на поставки и хранение. Если расходы на хранение и поставки заданы, то отыскивается стратегия, максимизирующая вероятность обеспечения спроса. Такой вариант особенно часто встречается в многономенклатурных задачах. Необходимо отметить, что область применения теории управления запасами отнюдь не ограничивается складскими операциями. При помощи методов теории управления запасами может быть решен очень широкий круг задач оптимального планирования.

(T, q) (t, S) (s, q) (s, S) Рис. 12. Основные стратегии управления запасами Обзор существующих методов и моделей управления запасами Важными аспектами стратегий управления запасами являются учет задержки поставки и возможных вариаций ее объема (урожай сельскохозяйственной продукции, улов рыбы, поступление воды в водохранилище, ограниченность возможностей вышележащих уровней системы). Реальная задержка лежит в пределах от двух-трех часов до нескольких месяцев и определяется географическими факторами и организацией снабжения.

Иногда заведомо ограничиваются каким-либо естественным классом политик управления, зависящих от небольшого числа параметров. Тогда задача сводится к определению оптимальных значений этих параметров. Обычно она может быть разделена на две: задача программного управления на основе детерминированной компоненты спроса и задача управления с обратной связью, призванная обеспечить компенсацию его флуктуации. Первая, детерминированная, определяется ценой заказа и средними затратами на хранение. Вторая служит для поддержания страхового уровня, обеспечивающего определенную гарантию удовлетворения спроса.

Стратегии управления запасами обычно выбираются из простейших, оптимальность которых доказана теорией для весьма широкого круга ситуаций.

В истории управлении запасами различают несколько этапов. В частности в [9] указаны следующие вехи:

• экономичный объем заказа;

• однопериодные стохастические задачи;

• стохастические задачи с пороговым уровнем;

• непрерывный контроль уровней;

• задачи обеспечения надежности;

• многономенклатурные модели;

• иерархические системы снабжения;

• имитационное моделирование;

• новые подходы.

Экономичный объем заказа Пусть функции A(t), B(t) и R(t) выражают соответственно пополнение запасов, их расход и спрос на запасаемый продукт за промежуток времени [0, t]. В моделях управления запасами часто используют производные этих функций по времени a(t), b(t), r(t) называемые соответственно интенсивностями пополнения, расхода и спроса.

Если функции a(t), b(t), r(t) — не случайные величины, то модель управления запасами считается детерминированной, если хотя бы одна из них носит случайный характер — стохастической. Если все параметры модели не меняются во времени, она называется статической, в противном случае — динамической. Статические модели используются, когда принимается разовое решение об уровне запасов на определенный период, а динамические — в случае принятия последовательных решений об уровнях запаса или корректировке ранее принятых решений с учетом происходящих изменений.

Уровень запаса в момент t определяется основным уравнением запасов J (t) = J0 + A(t) - B(t), (1) где J0 – начальный запас в момент t = 0.

Уравнение (1) чаще используется в интегральной форме:

t t J (t) = J0 + -.

(2) a(t)dt b(t)dt 0 Основная модель УЗ (статическая детерминированная модель без дефицита; модель экономического размера партии EOQ) Дефицит не допускается, что означает полное удовлетворение спроса на запасаемый продукт, т.е. r(t) = b(t). Общее потребление запасаемого продукта за рассматриваемый интервал времени t равно N. Рассмотрим простейшую модель [12], в N которой предполагается, что расходование запаса происходит непрерывно с постоянной интенсивностью, т.е. b(i) = b =, где – время, в течение которого расходуется запас.

Пополнение запаса происходит партиями одинакового объема: а(t) = 0 при всех t, кроме моментов поставки продукта, когда a(t) = n, где n – объем партии. Так как интенсивность расхода равна b, то вся партия будет использована за время n T = (рис. 13).

b Если отсчет времени начать с момента поступления первой партии, то уровень запаса в начальный момент равен объему этой партии n, т.е. J(0) = n. Графически уровень запаса в зависимости от времени представлен на рис. 13.

На временном интервале [0, T] уровень запаса уменьшается по прямой J(t) = n – bt от значения n и до нуля. Так как дефицит не допускается, то в момент Т уровень запаса мгновенно пополняется до прежнего значения за счет поступления партии заказа. И так процесс изменения J(t) повторяется на каждом временном интервале продолжительностью Т.

J n b t 0 2T 3T T Рис. 13. Диаграмма уровня запасов в основной модели управления запасами Задача управления запасами состоит в определении такого объема партии n, при котором суммарные затраты на создание и хранение запаса были бы минимальными.

С – суммарные затраты, С1 – затраты на создание запаса, С2 – затраты на хранение запаса.

Затраты на доставку одной партии продукта, не зависимые от объема партии, равны с1, а затраты на хранение одной единицы продукта в единицу времени – с2.

N C1 = c1, (3) n c2n (4) C2 =.

Затраты С1 обратно пропорциональны, а затраты С2 прямо пропорциональны объему партии n. Графики функций С1(n) и C2(n), а также функции суммарных затрат c1N c(5) C = + n n приведены на рис. 14.

C C = C1 + C C2 = c2n С 0,5С C1 = c1n/N nt 0 nРис. 14. Графики функции затрат 2c1N 2c1b n = n0 = =. (6) c2 cФормула (6), называемая формулой Уилсона или формулой наиболее экономичного объема партии, широко используется в экономике.

Модель Уилсона не является наилучшей моделью из числа имеющихся в настоящее время, в то же время она помогает понять поведение запасов и во многих практических случаях позволяет эффективно регулировать и контролировать уровни запасов.

В некоторых источниках, например [13] формулу (6) называют формулой оптимального запаса (EOQ – Economic Order Quantity в англоязычной литературе) или формулой Харриса.

Минимум общих затрат задачи управления запасами достигается тогда, когда затраты на создание запаса равны затратам на хранение запаса. При этом минимальные суммарные затраты 2c1N (7) C0 = C(n0 ) =.

n Время расхода оптимальной партии равно n(8) T0 = = nb N или 2c1 2c T0 = =.

(9) c2N c2b Основная модель с растянутостью процесса поставок во времени Рассмотрим случай постоянной интенсивности спроса и поставок µ. График изменения уровня запаса показан на рис.

15.

y S t3…t 0 t T t1 t s Рис. 15. Динамика запаса при детерминированном спросе Полный цикл работы системы имеет продолжительность Т. Предельный запас на складе – S. Считая расходы на хранение и на штрафы пропорциональными среднему запасу (дефициту) и времени их существования с коэффициентами h и d t1+tT соответственно, получаем (для затрат за цикл) выражение LT = g + h y(t) dt - d y(t) dt, где g – фиксированные расходы, 0 t1+tсвязанные с запуском производства (организацией поставки).

Текущий запас (µ - )t при 0 t t y(t) = - (t - t1) при t1 < t t1 + t2 + t3.

S s + (µ - ) (t - t1 - t2 - t3) при t1 + t2 + t3 < t T Оптимальный размер партии и период подачи заказа равны соответственно:

2g (1- / µ) S* =, h (1+ h / d) 2g (1+ h / d) * T =.

h (1- / µ) При этом достигается минимум затрат в единицу времени 2gh (1- / µ) L* =.

1+ h / d Модель со скидками на количество (статическая детерминированная модель) Рассмотрим основную модель с одной особенностью, которая состоит в том, что товар можно поставлять по льготной цене (со скидкой), если размер партии достаточно велик: если размер партии q не менее заданного числа q0, товар поставляется по цене c0, где c0 < c [13].

Функция общих издержек C(q) задается в таком случае следующим образом:

sd qh cd + q + 2, если q < q0, C(q) = c0d + sd + qh, если q q0.

q Функция C(q) в точке q = q0 разрывна. Обе функции sd qh f (q) = cd + + q и sd qh f0 (q) = c0d + + q имеют минимум в точке, где f (q) = f0 (q) = 0, т.е. в точке 2sd q =.

h Для выяснения вопроса о том, какой размер партии оптимален, следует сравнить значения функции C(q) в точках q и q0, и та точка, где функция C(q) принимает меньшее значение, будет оптимальным размером партии q* в модели поставок со скидкой (см. рис. 16).

C C q q q q0 q qq* = qq* = q Рис. 16. Функция затрат в модели управления запасами со скидкой на количество Замечание. Возможна ситуация, когда C(q) = C(q0). Тогда в качестве q* используют любое из чисел q и q0.

Модель с дефицитом (статическая детерминированная модель с дефицитом) В основной модели будем полагать наличие дефицита. Это означает, что при отсутствии запасаемого продукта, т.е. при J(t) = 0 спрос сохраняется с той же интенсивностью r(t) = b, но потребление запаса отсутствует – b(t) = 0, вследствие чего накапливается дефицит со скоростью b. График изменения уровня запаса в этом случае представлен на рис. 17. Убывание графика ниже оси абсцисс в область отрицательных значений в отличие от графика на рис. 13 характеризует накопление дефицита.

J n b b b t 0 2T 3T T n – s T1 T2 T1 T2 T1 T Рис. 17. Уровень запасов в модели управления запасами с дефицитом Каждый период "пилы" Т = n / b разбивается на два временных интервала, т.е. Т = Т1 + T2, где Т1 – время, в течение которого производится потребление запаса, T2 – время, когда запас отсутствует и накапливается дефицит, который будет перекрыт в момент поступления следующей партии.

Необходимость покрытия дефицита приводит к тому, что максимальный уровень запаса s в момент поступления каждой партии меньше на величину дефицита (п – s), накопившегося за время T2.

Из геометрических соображений легко установить, что s n - s (10) T1 = T, T2 = T.

n n В данной модели в функцию суммарных затрат С наряду с затратами С1 (на пополнение запаса) и С2 (на хранение запаса) необходимо ввести затраты С3 – штраф из-за дефицита, т.е. общие издержки равны С = С1 + С2 + С3.

Затраты С1, находят по формуле (3). Затраты С2 при линейном расходе запаса равны затратам на хранение среднего запаса, который за время потребления Т1 равен sT1 / 2; поэтому затраты С2 составят c2sT1 c2s sT c2s(11) C2 = k = =.

2 2 T 2n При расчете затрат С3 считают, что штраф за дефицит составляет в единицу времени с3 на каждую единицу продукта.

Средний уровень дефицита за период T2 равен (п – s)T2 / 2, штраф за этот период T2 составит c3(n - s)T2, а за весь период :

1 1 n - s c3(n - s)(12) C3 = c3(n - s)T2k = c3(n - s) T =.

2 2 n T 2n Суммарные затраты равны N c2s2 c3(n - s)(13) C = c1 + +.

n 2n 2n При n = s формула (11) совпадает с ранее полученной (7) в модели без дефицита.

Рассматриваемая задача управления запасами сводится к отысканию такого объема партии n и максимального уровня запаса s, при которых функция С (13) принимает минимальное значение. Другими словами, необходимо исследовать функцию двух переменных С(n, s) на экстремум. Приравнивая частные производные С / n, C / s к нулю, получим после преобразований систему уравнений:

n2c3 - (c2 + c3)s2 = 2c1N /, (14) cs = n c2 + c3.

Величина c = (15) c2 + cназывается плотностью убытков из-за неудовлетворенного спроса и играет важную роль в управлении запасами. Заметим, что 0 < < 1. Если значение с3 мало по сравнению с c2, то величина близка к нулю: когда с3 значительно превосходит с2, то близка к 1. Недопустимость дефицита равносильна предположению, что с3 = или = 1.

~ Решая систему, получаем формулы наиболее экономичного объема партии n0 и максимального уровня запаса s0 для модели с дефицитом:

2c1N c1 + c2 2c1b c1 + c2 2c1b ~ (16) n0 = = =, c2 c3 c2 c3 c2c1N c3 ~ c3 ~ ~ (17) s0 = = n0 = n0.

c2 c2 + c3 c2 + c~ ~ ~ ~ ~ Следует учесть, что в силу (15) и (17) T1 /T = s0 / n0 = и T2 /T = (n0 - s0) / n0 =1-. Поэтому утверждение о том, что плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса равна, означает, что в течение (1 – ) 100 % времени от полного периода T запас продукта будет отсутствовать.

Из сравнения формул (16) и (17) следует, что оптимальные объемы партий для задач с дефицитом и без дефицита при одинаковых параметрах связаны соотношением n~ n0 =, (18) откуда следует, что оптимальный объем партии в задаче с дефицитом всегда больше (в раз), чем в задаче без дефицита.

Детерминированные методы управления запасами, основанные на вычислении экономического объема заказа обладают существенным недостатком. Этот недостаток связан с ограничениями, накладываемыми самим понятием "детерминированный экономический процесс", а также введением ограничений, связанных с методом вычисления величины экономического объема заказа.

Стохастические модели управления запасами Рассмотрим стохастические модели управления запасами, у которых спрос является случайным.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.