WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 23 |

Способы задания автоматов были рассмотрены ранее в п. 1.5.3. Здесь отметим одну из особенностей задания автоматов. Так, если произвольным образом заполненная таблица переходов или таблица выходов представляют собой таблицу переходов или соответствующую таблицу выходов некоторого абстрактного автомата, то не всякий граф и не всякая автоматная матрица могут служить графом или матрицей переходов некоторого автомата. Для того, чтобы это имело место, необходимо соблюдение некоторых условий, связанных со свойствами функций переходов автомата.

Первое условие связано с однозначностью функций переходов и выходов и называется – условием однозначности.

Соблюдение этого условия требует, чтобы на графе автомата из любой вершины выходило бы не более одной стрелки, обозначенной конкретным входным сигналом.

Применительно к матрице это условие означает, что в любой ее строке конкретный входной сигнал должен встречаться не более одного раза.

Второе условие, называется условием определенности, требующим, чтобы для любого входного сигнала х из каждой вершины обязательно выходила бы стрелка, обозначенная этим входным сигналом, и чтобы этот входной сигнал обязательно присутствовал в каждой строке автоматной матрицы.

Частичным автоматом называется абстрактный автомат, у которого функция переходов или функция выходов (обычная или сдвинутая), или обе эти функции определены не для всех пар значений своих аргументов q и х. В отличие от частичных, ранее рассмотренные автоматы назывались вполне определенными.

3.2. Представление событий в автоматах Рассмотрим задачи, возникающие на этапе абстрактного анализа и синтеза автоматов. Рассмотрим условия, при которых можно индуцировать любое алфавитное отображение в автоматное.

Условия автоматности накладывают жесткие ограничения на класс отображений, которые могут быть индуцированы абстрактными автоматами. Большинство алфавитных отображений, с которыми приходится иметь дело на практике, не удовлетворяют этим условиям. Существует, однако, стандартный прием, позволяющий индуцировать любое алфавитное отображение в автоматное. К описанию этого приема мы и переходим.

3.2.1. Автоматные отображения и события Отображения, индуцируемые абстрактными автоматами, будем называть автоматными отображениями.

Всякое автоматное отображение удовлетворяет следующим четырем условиям:

1. Автоматное отображение осуществляет однозначное отображение (как правило, частичное) множества слов в некотором конечном алфавите Х (входное алфавитное отображение) в множества слов в некотором конечном алфавите Y (выходное алфавитное отображение).

2. Область определения автоматного отображения удовлетворяет условию полноты, т. е. вместе с любым содержащимся в ней словом также содержатся все начальные отрезки этого слова. Пустое слово всегда входит в область определения отображения.

3. Автоматное отображение сохраняет длину слова. Любое слово p входного алфавита на котором отображение определено, имеет ту же длину, что и его образ (p). В частности, пустое слово переводится отображением в пустое слово.

4. Автоматное отображение переводит любой начальный отрезок слова р, на котором оно определено, в соответствующий (имеющий ту же длину) начальный отрезок слова (p).

Перечисленные условия называются условиями автоматности отображения.

Все слова входного алфавита разбиваются автоматным отображением на два класса: на класс допустимых и класс запрещенных слов. Совокупность всех запрещенных слов для данного автоматного отображения будет называться его областью запрета.

Рассмотрим произвольное (частичное) отображение, для которого выполняются сформулированные выше условия. Построим абстрактный (частичный) автомат Мура U, состояниями которого будут служить всевозможные допустимые для отображения слова входного алфавита Х = (х1, …, хn). Обозначим множество всех таких слов через А и определим функцию переходов (а, x) этого автомата следующим образом: если аj – любое слово из А, а xi – произвольная буква входного алфавита, то будем считать, что (аj, xi) равняется слову аj xi (получающемуся в результате приписывания буквы xi к слову аj), если слово аj xi содержится в А, и что (аj, xi) не определена в противном случае.

Выбирая в качестве выходного алфавита автомата U выходной алфавит отображения, построим сдвинутую функцию выходов (а) автомата Мура U следующим образом: для любого непустого слова аi из А полагаем (аi) равным последней букве слова (аi ); на пустом слове функция (a) остается неопределенной.

В качестве начального состояния автомата выбираем пустое слово и получаем автомат Мура, индуцирующий исходное отображение. В самом деле, пусть, q = xi1, xi2, …, xik – любое допустимое слово отображения. Тогда все его начальные отрезки будут также допустимыми словами (в силу условия 2). После подачи на вход построенного автомата слова q, будет осуществляться последовательный его перевод в состояние xi1 = xi1, xi2,…, xik.

При этом автомат выдает некоторую последовательность выходных букв yj1, yj2, …, yjk = p. Из способа определения данного автомата следует, что последняя буква слова р совпадает с последней буквой слова (q), предпоследняя буква слова р – с последней буквой слова (xi1, xi2, …, xik-1), которая в силу условия 4, совпадает с предпоследней буквой слова (q) и т. д. Продолжая сравнение и используя условия 3, можно установить совпадение всех букв слова р с соответствующими им буквами слова (q). Следовательно, построенный автомат Мура U индуцирует исходное (частичное) отображение.

Поскольку можно интерпретировать автомат Мура U как автомат Мили, то очевидно следующее предложение.

Если алфавитное отображение удовлетворяет сформулированным выше четырем условиям автоматности, то можно построить автоматы Мили и Мура (как правило, бесконечные), индуцирующие это отображение. В случае, когда область определения отображение конечна, эти автоматы также можно считать конечными.

Данное предложение позволяет применять термины «автоматное отображение» по всему алфавитному отображению, удовлетворяющему условиям автоматности.

Из этого предложения вытекает конструктивный прием, позволяющий по любому автоматному отображению с конечной областью определения (заданному на конечном множестве слов) строить индуцирующий это отображение конечный автомат Мили или Мура.

Ранее рассматривалась возможность интерпретации автомата Мура как автомат Мили с тем же самым числом состояний. Рассмотрим теорему:

Для всякого конечного автомата Мили существует эквивалентный ему (индуцирующий то же самое отображение) конечный автомат Мура. Существует единый конструктивный прием (универсальный алгоритм преобразования автоматов Мили в автоматы Мура), позволяющий по произвольному конечному автомату Мили, имеющему m входных сигналов и n состояний, построить эквивалентный ему автомат Мура, имеющий не более mn + 1 состояний.

Условия автоматности накладывают весьма жесткие ограничения на класс отображений, которые могут быть индуцированы абстрактными автоматами. Большинство алфавитных отображений, с которыми приходится иметь дело на практике, в частности большинство алгоритмов, не удовлетворяют этим условиям. Существует, однако, стандартный прием, позволяющий индуцировать любое алфавитное отображение в автоматное.

Рассмотрим этот прием.

Пусть – произвольное (как правило, частичное) отображение множества слов в (конечном) алфавите Х в множество слов в (конечном) алфавите Y. Обозначим через Р область определения этого отображения. Будем применять к отображению две операции.

Первая операция – выравнивания длин слов (операция выравнивания).

Ее суть: во входной и выходной алфавиты отображения (т. е. Х и Y) добавляется по одной новой букве, которые будем называть пустыми и обозначать через и.

Каждому слову р из Р приписывается справа mp экземпляров букв, а к его образу q = (p) приписывается слева nq экземпляров букв так, чтобы длины полученных в результате приписывания новых букв словам р1 и q1 совпали.

Далее строится новое отображение 1 некоторого множества Р1, слов в алфавите Х U() в множества слов в алфавите Y U (), которое переводит друг в друга слова р1 и q1, полученные в результате выравнивания длин слов р и q соответственно: 1(р1) = q1 (р – пробегает при этом все множество P). Условимся считать, что отображение 1, получается из отображения с помощью операции выравнивания. Существует некоторая стандартная операция выравнивания, при которой отображение 1, однозначно определяется отображением и присоединенными пустыми буквами и. Суть ее в том, что число mp пустых букв, приписываемых справа к произвольному слову р из области определения отображения, принимается равным длине слова q = (p), а число nq пустых букв, приписываемых слева к слову q, принимается равным длине слова р.

Вторая операция применяется только к выравниванию алфавитных отображений, т. е. к таким отображениям у которых длины входных и соответствующих им выходных слов равны между собой. Сущность этой операции – операции пополнения отображения, заключается в распространении отображения на начальные отрезки слов.

Если s – произвольный начальный отрезок любого слова р из области определения отображения, то полагаем (s) равным начальному отрезку слова (p), т. е.

имеющему длину s.

В результате применения операции пополнения к произвольному выровненному алфавитному отображению возникает новое отображение 1 область определения которого удовлетворяет условию полноты. Условимся называть это отображение пополнением отображения.

Если пополнение 1 отображения является однозначным, то очевидно, что оно удовлетворяет всем четырем условиям автоматности.

3.2.2. Представление событий в автоматах Основной задачей абстрактной теории автоматов является установление связей, существующих между автоматами и индуцируемыми ими отображениями. Произвольное автоматное отображение можно задавать событиями, которые соответствуют этим отображениям.

Рассмотрим как устанавливаются связи между событиями и автоматами. Для этого используем следующие определения:

1. Для произвольного автомата А множество Sy всех входных слов, вызывающих появление выходных слов, которые оканчиваются одной и той же буквой (вы ходным сигналом) у, называется событием, представленным в автомате А выходным сигналом у. Множество, состоящее из событий Sу, для всех букв выходного алфавита автомата А, называется каноническим множеством событий данного автомата А.

2. Каноническое множество событий любого автомата является автоматным множеством событий. Очевидно и обратное, что для любого автоматного множества событий M существует такой автомат ( в качестве которого можно выбрать как автомат Мили, так и автомат Мура), каноническое множество событий которого совпадает с множеством M.

В отличие от автоматного отображения абстрактный автомат не определяется однозначно соответствующим ему каноническим множеством событий, поскольку одно и тоже автоматное отображение может индуцироваться различными автоматами.

Из рассмотренных определений возникает необходимость решения следующих важнейших задач абстрактной теории автоматов:

- задачу нахождения по заданному абстрактному автомату А соответствующего ему канонического множества событий – каноническая задача анализа абстрактного автомата;

- обратную задачу, по заданному автоматному множеству событий M находить абстрактный автомат, каноническое множество событий которое совпадает с M – каноническая задача синтеза абстрактного автомата.

3.2.3. Регулярные языки и конечные автоматы Как отмечалось в п. 3.2.2, любое автоматное отображение может быть задано конечным множеством М событий во входном алфавите этого отображения. Если область определения отображения конечна, то все события множества М конечны.

Конечное событие можно задать, перечислив все его элементы. Ясно, что в случае, когда область определения отображения бесконечна, хотя бы одно из событий множества М также будет бесконечным. Поэтому необходимо разработать специальный язык, который позволял бы представлять (описывать) бесконечные события, соответствующими конечными выражениями.

Рассмотрим язык регулярных выражений алгебры событий. Для этого используем три операции над событиями:

1) А В – объединение (дизъюнкция);

2) А В – умножение (конкатенация);

3) {A} – итерация (обозначается также А*).

Определим конечные множества входных букв Х = {x1,..., xn} и зададим для этого множества регулярное выражение.

Регулярным выражением в алфавите Х называется выражение, построенное из букв алфавита Х и из символов операций объединения, умножения и итерации с использованием соответствующим образом круглых скобок. Всякое регулярное выражение определяет некоторое событие S (S получается в результате выполнения всех операций, входящих в регулярное выражение). События, определяемые таким образом, называются регулярными событиями над алфавитом Х. Другими словами регулярным событием (или языком) называется событие, полученное из элементарных событий (однобуквенных слов xi) применением конечного числа раз операций дизъюнкции, конкатенации и итерации. Например, в алфавите из трех букв x, y, z регуляр ное выражение x {x y z} (y z) задает регулярное событие, состоящее из всех слов, которые начинаются буквой х и заканчиваются буквой y или z. Для конечных автоматов характерны только регулярные события.

Таким образом, общая задача анализа абстрактного автомата ставится как задача нахождения по заданному абстрактному автомату такого события, которое представлено любым множеством его состояний. Аналогично, общая задача синтеза абстрактного автомата ставится как задача построения по любому конечному множеству М событий такого автомата, который представляет каждое событие этого множества некоторым множеством своих выходных сигналов.

3.3. Алгоритм синтеза конечных автоматов Рассмотренный выше стандартный прием позволяет свести общую задачу синтеза автоматов к канонической задаче. При решении этой задачи необходимо, с одной стороны, фиксировать некоторый язык, приспособленный для конструктивного описания событий, а с другой стороны – ограничиться вполне определенным классом автоматов, допускающих какой-либо конструктивный способ задания. Поэтому ограничимся лишь конечными автоматами и регулярными событиями. Оба эти класса объектов допускают конструктивное описание: первый – на языке таблиц переходов и выходов, а второй – на языке регулярных выражений алгебры событий. Такое ограничение вполне достаточно для практических целей, потому что цифровые автоматы, с которыми приходится иметь дело на практике, всегда конечны.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 23 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.