WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 || 20 | 21 |   ...   | 23 |

Входы и выходы переходов представляют собой комплекты позиций. Комплект является обобщением множества, в которое включены многократно повторяющиеся элементы – тиражированные элементы. Использование комплектов, а не множеств для входов и выходов перехода позволяет позиции иметь кратный вход либо кратный выход для соответствующего перехода. Кратность входной позиции pi для перехода tj есть число появлений позиции во входном комплекте перехода # (pi, I(tj)). Аналогично кратность выходной позиции pi для перехода tj есть число появлений позиции в выходном комплекте перехода # (pi, О(tj)). Если входная и выходная функции являются множествами (а не комплектами), то кратность каждой позиции есть либо 0, либо 1.

Входные и выходные функции используются для отображения позиций в комплекты переходов или наоборот для отображения переходов в комплекты позиций.

Определим, что переход tj является входом позиции pi, если pi есть выход tj. Переход tj есть выход позиции pi, если pi есть вход tj.

7.2.2. Графы сетей Петри Наглядность сетевого моделирования систем существенно повышается, если использовать теоретико-графовое представление сети Петри в виде двудольного ориентированного мультиграфа.

В соответствии с данным подходом структура сети Петри представляет собой совокупность позиций и переходов, а граф сети – два типа узлов, соединенных дугами (стрелками).

Кружок О является позицией, а планка | – переходом. Ориентированные дуги соединяют позиции и переходы, при этом одни дуги направлены от позиций к переходам, а другие – от переходов к позициям. Дуга, направленная от позиции рi к переходу tj, определяет позицию, которая является входом перехода. Кратные входы в переход указываются кратными дугами из входных позиций в переход. Выходная позиция указывается дугой от перехода к позиции. Кратные выходы также представлены кратными дугами.

Сеть Петри есть мультиграф, так как он допускает существование кратных дуг от одной вершины графа к другой. Следует добавить, что так как дуги являются направленными, то это ориентированный мультиграф. Вершины графа можно разделить на два множества (позиции и переходы) таким образом, что каждая дуга будет направлена от элемента одного множества (позиций или переходов) к элементу другого множества (переходов или позиций); следовательно, такой граф является двудольным ориентированным мультиграфом. В дальнейшем для простоты будем называть его просто графом сети Петри.

Определение. Граф G сети Петри есть двудольный ориентированный мультиграф G = (V, A), где V = {v1, v2,..., vs} – множество вершин;

А = {а1, а2,..., аr} – комплект направленных дуг;

аi = (vj, vk), где vj, vk V.

Множество V может быть разбито на два непересекающихся подмножества Р и Т, таких, что V = Р Т и P Т =. Кроме того для любой направленной дуги ai А, если аi = (vj, vk), при условии, что тогда либо vj Р и vk Т, либо vj Т и vk Р.

Для демонстрации эквивалентности двух представлений сети Петри: структуры сети Петри и графа сети Петри (рис. 7.2 и 7.3) – покажем, каким образом можно преобразовать одно представление сети в друге.

Предположим, что дана структура сети Петри С = (Р, Т, I, О) с Р = {р1, p2,..., pn} и Т = {t1, t2,..., tm}. Тогда граф сети Петри можно определить следующим образом.

Пусть V = Р Т. Определим А как комплект направленных дуг, такой что для всех рi Р и tj Т # ((pi, tj), A) = # (pi, I(tj));

# ((tj, pi), A) = # (pi, O(tj)), тогда G (V, A) есть граф сети Петри, эквивалентный структуре сети Петри С = (Р, Т, I, О).

Структура сети Петри С(Р, Т, I, О), где Р{p1, p2, p3, p4, p5}, T{t1, t2, t3, t4}, I(t1) = {p1}, I(t2) = {p2, p3, p5}, I(t3) = {p3}, I(t4) = {p4}, О(t1) = {p2, p3, p5}, О(t2) = {p5}, О(t3) = {p4}, О(t4) = {p2, p3}.

Рис. 7.2. Структура сети Петри С(Р, Т, I, О) На рис. 7.2 структура сети Петри представлена в виде четверки, которая состоит из множества позиций (Р), множества переходов (Т), входной функции I : T P и выходной функции О : T P.

Рttt2 РР1 РР3 tРис. 7.3. Граф сети Петри G(V, A) Таким образом, граф сети Петри, изображенный на рис. 7.3 эквивалентен структуре сети Петри на рис. 7.2.

7.2.3. Маркировка сетей Петри Маркировка µ сети Петри заключается в присвоении фишек (маркеров) позициям сети Петри. Маркировка сети Петри есть функция, отображающая множество позиций Р в множество неотрицательных целых чисел N.

µ : Р N.

Если маркированная сеть Петри М = (С, µ) есть совокупность структуры сети Петри С = (Р, Т, I, О) и маркировки µ, то она может быть записана в виде М = (Р, Т, I, О, µ).

На рис. 7.4 представлена маркированная сеть Петри.

Рttt2 РР1 РР3 tРис. 7.4. Маркированная сеть Петри. Маркировка (0, 2, 0, 5, 1) P1 t2 P47 ttP3 PРис. 7.5. Маркированная сеть Петри с очень большой маркировкой (47, 13, 7, 42) 7.2.4. Работа сетей Петри Работа сети Петри заключается в перемещении фишек из одних позиций в другие. Фишки находятся в кружках и управляют выполнением переходов сети. Сеть Петри выполняется посредством запусков переходов. Переход запускается удалением фишек из его входных позиций и образованием новых фишек, помещаемых в его выходные позиции.

Переход может запускаться только в том случае, когда он разрешен. Переход называется разрешенным, если каждая из его входных позиций имеет число фишек по крайней мере равное числу дуг из позиции в переход. Кратные фишки необходимы для кратных входных дуг. Фишки во входной позиции, которые разрешают переход, называются его разрешающими фишками. Например, если позиции р1 и р2 служат входами для перехода t4, тогда t4 разрешен, если р1 и р2 имеют хотя бы по одной фишке. Для перехода t7 с входным комплектом {p6, p6, p6} позиция р6 должна обладать по крайней мере тремя фишками, для того чтобы t7 был разрешен.

Определение.

Переход tj Т в маркированной сети Петри С = (Р, Т, I, О) с маркировкой µ разрешен, если для всех pi P µ (pi) # (pi, I(tj)).

Переход запускается удалением всех разрешающих фишек из его входных позиций и последующим помещением в каждую из его выходных позиций по одной фишке для каждой дуги. Кратные фишки создаются для кратных выходных дуг.

Например, переход t3 с I(t3) = {p2} и О(t3) = {p7, р13} разрешен всякий раз, когда в р2 будет хотя бы одна фишка. Переход t3 запускается удалением одной фишки из позиции р2 и помещением одной фишки в позицию р7 и в р13 (его выходы). Дополнительные фишки в позиции р2 не влияют на запуск t3 (хотя они могут разрешать дополнительные запуски t3). Переход t2, в котором I(t2) = {p21, р23} и О(t2) = {p23, р25, р25} запускается удалением одной фишки из р21 и одной фишки из р23, при этом одна фишка помещается в р23 и две в р25 (т. к. р25 имеет кратность, равную двум).

Запуск перехода в целом заменяет маркировку µ сети Петри на новую маркировку µ. Так как можно запустить только разрешенный переход, то при запуске перехода количество фишек в каждой позиции всегда остается неотрицательным. Запуск перехода никогда не удалит фишку, отсутствующую во входной позиции. Если какаялибо входная позиция перехода не обладает достаточным количеством фишек, то переход не разрешен и не может быть запущен.

Определение. Переход tj в маркированной сети Петри с маркировкой µ может быть запущен всякий раз, когда он разрешен. В результате запуска разрешенного перехода tj образуется новая маркировка µ, определяемая следующим соотношением:

µ(pi) = µ(pi) – # (pi, I(tj)) + # (pi, O(tj)).

7.3. Анализ сетей Петри С помощью сетей Петри можно моделировать широкий класс систем, представляя должным образом взаимодействие различных процессов, которые могут возникнуть в системе. Как отмечалось ранее, наиболее часто сети Петри применяют при моделировании систем, включающих параллельные действия.

Моделирование системы (устройства) на основе сетей Петри предполагает проведение тщательного анализа, который должен привести к глубокому пониманию поведения моделируемой системы. Таким образом, необходимо рассмотреть методы анализа и свойства сетей Петри. Для этого рассмотрим типы задач, которые могут решаться с применением сетей Петри. Цель анализа сети Петри – получение ответа на вопрос о конкретной сети Петри.

7.3.1. Безопасность сети Петри Одно из важнейших свойств сети Петри, которая должна моделировать реальное устройство, – безопасность. Позиция сети Петри является безопасной, если число фишек в ней никогда не превышает 1. Сеть Петри безопасна, если безопасны все позиции сети.

Определение. Позиция pi P сети Петри С = (Р, Т, I, О) с начальной маркировкой µ является безопасной, если µ(pi) 1 для любой µ R(C, µ). Сеть Петри безопасна, если безопасна каждая ее позиция.

Безопасность – очень важное свойство для устройств аппаратного обеспечения.

Если позиция безопасна, то число фишек в ней равно 0 или 1. Следовательно, позицию можно реализовать одним триггером.

В первоначальном определении сети Петри можно считать безопасными, поскольку переход не мог быть запущен, если не все из выходных позиций были пусты (а кратные дуги не были разрешены). Это объяснялось интерпретацией позиции как условия. Условие, будучи логическим высказыванием, может быть либо истинно (представляется фишкой в позиции), либо ложно (представляется отсутствием фишки). При этом кратные фишки не имеют никакой интерпретации. Таким образом, если интерпретировать сети как условия и события, маркировка каждой позиции должна быть безопасной.

Если позиция не является кратной входной или кратной выходной для перехода, ее можно сделать безопасной. К позиции pi, которую необходимо сделать безопасной, добавляется новая позиция pi. Переходы, в которых pi используется в качестве входной или выходной, модифицируются следующим образом:

если pi I(tj) и pi О(tj), тогда добавить pi к О(tj);

если pi О(tj) и pi I(tj), тогда добавить pi к I(tj).

Цель введения этой новой позиции pi – представить дополнительное условие (pi пуста). Следовательно pi и pi находятся в следующей зависимости: pi имеет фишку, только если pi не имеет фишки и наоборот. Любой переход, удаляющий фишку из pi должен помещать фишку в pi, а всякий переход, удаляющий фишку из pi, должен помещать фишку в pi. Начальная маркировка также должна быть модифицирована для обеспечения того, чтобы только одна фишка была либо в pi, либо в pi.

Такая принудительная безопасность возможна лишь для позиций, которые в начальной маркировке являются безопасными, и входная, и выходная кратность которых равна 0 или 1 для всех переходов. Позиция, имеющая для некоторого перехода выходную кратность 2, будет получать при его запуске две фишки и, следовательно, не может быть безопасной. На рис. 7.6 простая сеть Петри (а) преобразована в безопасную (б).

P3 PP1 P2 P1 Pt1 t2 ttt1 tP1' P2' а) б) Рис. 7.6. а) сеть Петри, не являющаяся безопасной; б) безопасная сеть Петри, эквивалентная сети а) 7.3.2. Анализ живучести (сохранения) сетей Петри Сети Петри можно использовать для моделирования систем распределения ресурсов. Например, сеть Петри может моделировать запросы распределения и освобождения устройств ввода-вывода в вычислительной системе. В этих системах некоторые функции могут представлять ресурсы. Группа из трех построчно печатающих устройств представляется позицией, имеющей в начальной маркировке три фишки.

Запрос построчно-печатающего устройства – это переход, для которого данная позиция является входной; затем устройство освобождается переходом, для которого позиция построчно печатающих устройств является выходной.

Сети Петри такого типа должны обладать свойством живучести или сохранения. Для этого фишки, представляющие ресурсы, не должны создаваться или уничтожаться, общее число фишек в сети должно оставаться постоянным.

Определение. Сеть Петри С = (Р, Т, I, О) с начальной маркировкой µ называется строго сохраняющей, если для всех µ R(C, µ):

µ(p ) = µ(p ).

i i pip pip Строгое сохранение требует, чтобы число входов в каждый переход должно равнялось числу выходов |I(tj)| = |O(tj)|. Если это условие не будет выполняться, то запуск перехода изменил бы число фишек в сети.

Рассмотрим график сети Петри (рис. 7.7), которая не является строго сохраняющей. В этой сети запуск перехода t1 или t2 уменьшает число фишек на 1, а запуск переходов t3 или t4 добавит фишку к маркировке. Эту сеть можно преобразовать в сеть строго сохраняющую (рис. 7.8).

Сеть Петри должна сохранять ресурсы, которые она моделирует. Однако взаимно однозначного соответствия между фишками и ресурсами нет.

Фишка может представлять собой один программный счетчик или какойнибудь другой элемент или несколько ресурсов сразу. В этом случае фишка используется для создания кратных фишек путем запуска перехода с большим числом выходов, чем входов.

P1 PPt1 tP3 Pt3 tРис. 7.7. Сеть Петри, не являющаяся строго сохраняющей В общем случае следует определить взвешивание фишек. Взвешенная сумма для всех маркировок должна быть постоянной. Фишкам, не являющимся важными, можно присвоить вес 0; другим фишкам можно присвоить веса 1, 2, 3 или другое целое число. Фишка определяется ее позицией в сети. Следовательно, веса связаны с каждой позицией сети.

P1 PPt1 tP3 Pt3 tРис. 7.8. Строго сохраняющая сеть Петри, эквивалентная сети, изображенной на рис. 7.Вектор взвешивания w = (w1, w2,..., wn) определяет вес wi для каждой позиции pi Р.

Определение. Сеть Петри С = (P, T, I, O) с начальной маркировкой µ называется сохраняющей по отношению к вектору взвешивания w, где w = (w1, w2,..., wn), при n = | P |, wi > 0, если для всех µ R(C, µ):

wi µ (pi ) = wi µ(pi ).

i i Строго сохраняющая сеть Петри является сохраняющей по отношению к вектору взвешивания (1, 1,..., 1). Все сети Петри являются сохраняющими по отношению к вектору взвешивания (0, 0,..., 0).

7.3.3. Активность сети Петри Рассмотрим систему, включающую два различных ресурса q и r и два процесса а и b. Если оба процесса нуждаются в обоих ресурсах им необходимо будет совместно использовать ресурсы. Для выполнения этого требуется, чтобы каждый процесс запрашивал ресурс, а затем освобождал его. Предположим, что процесс а сначала запрашивает ресурс q, затем ресурс r и, наконец, освобождает и q, и r. Процесс b работает аналогично, но сначала запрашивает r, а затем q (рис. 7.9).

Процесс а Процесс b РPРt1 tРPРttP3 РttРис. 7.9. Распределение ресурсов для случая двух процессов (а и b) и двух ресурсов (q ( моделируется Р4) и r (моделируется Р5)) Начальная маркировка помечает ресурсы q (Р4) и r (Р5) доступными и указывает на готовность процессов a и b. Одним выполнением этой сети является t1 t2 t3 t4 t5 t6;

Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 || 20 | 21 |   ...   | 23 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.