WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 23 |

При принятых допущениях в результате композиции логических элементов всегда получают автоматы без памяти или, как их иначе называют, комбинационные схемы. Каждая комбинационная схема (автомат без памяти) характеризуется векторной функцией выходов, устанавливающей зависимость структурного выходного сигнала x(t) от структурного входного сигнала y(t) в один и тот же момент автоматного времени:

y(t) = x(t), где – векторная функция выходов.

Задание такой функции эквивалентно заданию системы обычных (скалярных) функций, устанавливающих зависимость каждой компоненты вектора y(t) от компонент (в общем случае всех) вектора x(t).

По аналогии с основной задачей структурного синтеза автоматов может быть сформулирована задача структурного синтеза комбинационных схем.

2.2. Пусть задано некоторое конечное множество логических элементов (элементов без памяти) в одном и том же структурном алфавите Z; предположим, что таких логических элементов имеется неограниченное число экземпляров. Требуется найти общий конструктивный прием (алгоритм), позволяющий по любому конечному автомату А без памяти в структурном алфавите Z осуществить некоторую композицию заданных логических элементов так, чтобы полученная в результате композиции комбинационная схема имела ту же самую векторную функцию выходов, что и заданный автомат А.

В некоторых случаях при определенном выборе системы логических элементов сформулированная задача не имеет решение. В другом случае, когда решение имеется (для произвольного конечного автомата без памяти), считают, что заданная система логических элементов функционально полна.

Обычно на практике векторная функция выходов исходного для комбинационного синтеза автомата без памяти А задается не во всех точках, так как в некоторых точках значения функции не определены (безразличны). В таком случае комбинационная схема, получаемая при решении задачи комбинационного синтеза, должна иметь векторную функцию выходов, совпадающую с функцией во всех точках, в которых значения функции определены.

Сущность канонического метода структурного синтеза автоматов заключается в том, чтобы свести задачу структурного синтеза произвольных автоматов к задаче структурного синтеза комбинационных схем (автоматов без памяти). При этом специальным образом производится выбор запоминающих элементов. В качестве запоминающих элементов выбираются автоматы Мура, обладающие полной системой переходов и полной системой выходов.

2.3. Полнота системы переходов в автомате Мура означает, что для любой упорядоченной пары состояний этого автомата найдется входной сигнал, переводящий первый элемент этой пары во второй. Иначе говоря, если (q, x) – функция переходов автомата, то для полноты системы переходов в этом автомате необходимо и достаточно, чтобы для любой пары (q, b) его состояний уравнение b = (q, x) было бы разрешимым относительно входного сигнала х.

2.4. Полнота системы выходов в автомате Мура означает, что каждому состоянию автомата соответствует свой собственный выходной сигнал, отличный от выходного сигнала, соответствующего любому другому состоянию. Иначе говоря, для полноты системы выходов автомата Мура необходимо и достаточно, чтобы его сдвинутая функция выходов y = (q) осуществляла взаимно однозначное отображение множества состояний автомата на множество всех его выходных сигналов.

2.5. В автомате Мура с полной системой выходов можно отождествить внутренние состояния с выходными сигналами автомата. Тогда один и тот же (структурный) алфавит употребляется не только для обозначения (кодирования) входных и выходных сигналов, но и для кодирования внутренних состояний этого автомата.

Для автоматов с полной системой переходов целесообразно ввести следующее определение.

2.6. Функцией входов автомата А с полной системой переходов и заданной функцией переходов (q, x) называется функция х = µ(q, b) (обычно неоднозначная), заданная на упорядоченных парах состояний автомата А. Для каждой такой пары (q, b) в качестве значения функции входов µ(q, b) выбирается (непустое) множество всех тех входных сигналов х, для которых (q, x) = b.

Функции входов конечных автоматов задаются таблицами входов. В таблице входов на пересечении q-й строки b-го столбца помещается множество входных сигналов, вызывающих переход автомата из состояния q в состояние b.

Таким образом, в реальных цифровых автоматах, как правило, употребляются запоминающие элементы, представляющие собой автоматы Мура с полной системой переходов и с полной системой выходов. При этом ограничения, вводимые каноническим методом структурного синтеза, с практической точки зрения являются несущественными.

4.4.2. Теорема о структурной полноте Рассмотрим справедливость следующего утверждения, которое назовем теоремой о структурной полноте.

2.7. Всякая система элементарных автоматов считается структурно-полной системой, если в этой системе имеется автомат Мура с нетривиальной памятью, обладающий полной системой переходов и полной системой выходов и какой-нибудь функционально полной системой логических элементов. Существует общий конструктивный прием (канонический метод структурного синтеза), позволяющий в данном случае свести задачу структурного синтеза произвольных конечных автоматов к задаче структурного синтеза комбинационных схем.

Для доказательства теоремы 2.7 синтезируем произвольный конечный автомат А. Выберем запоминающие элементы А1,..., Ар, обладающие полными системами переходов и выходов, причем такие, что произведение чисел их состояний не меньше, чем число состояний автомата А. Каждому состоянию q автомата А поставим в соответствие конечную последовательность (q1,..., qр) состояний автоматов А1,..., Ар так, что различным состояниям автомата А ставятся в соответствие различные последовательности. Назовем этот процесс кодированием состояний автомата А.

После кодирования состояний (выполняемого произвольным образом) возникают структурные состояния автомата А.

Учитывая 2.5 (см. п.4.4.1), считаем эти структурные состояния векторами в структурном алфавите; при этом компонента qi в структурном состоянии (q1,..., qр) заменяется групповой компонентой структурного выходного сигнала vi запоминающего элемента Аi, соответствующего состоянию qi.

Обозначим структурное состояние (v1,..., vp) через v. Структурное состояние v можно рассматривать и как структурный выходной сигнал объединения автоматов А1,..., Ар. Через u обозначим структурный входной сигнал этого объединения, который назовем структурным входным сигналом памяти автомата А.

Кодирование состояний автомата А позволяет функцию переходов и закон функционирования автомата представить в векторном виде v(t+1) = (v(t), x(t)). (1) Переход автомата А из состояния v(t) в состояние v(t +1) складывается из соответствующих переходов автоматов А1,..., Ар. Каждый последующий переход происходит под действием структурного сигнала ui(t), подаваемого на вход автомата Аi и определяемого с помощью функции входов µi этого автомата (i = 1,..., p). Структурные сигналы ui(t) естественным образом объединяются в структурный входной сигнал u(t) памяти автомата А, а из функций µi строится объединяющая их (содержащая их в качестве своих компонент) векторная функция µ(v(t), v(t + 1)) = u(t). (2) Подставляя в формулу (2) значение v(t +1) из формулы (1), получим u(t) = µ(v(t), (v(t), x(t))) = (v(t), x(t)). (3) Определяемая этой формулой векторная функция (v, x) называется (векторной) функцией возбуждения автомата А или функцией входов его памяти. Она определяет, какой структурный входной сигнал u(t) в любой момент времени t должен быть подан на запоминающие элементы памяти автомата А, находящегося в состоянии v(t), если на внешние входные узлы автомата подается в тот же самый момент времени структурный входной сигнал x(t).

Благодаря совпадению всех рассмотренных сигналов во времени сигнал u(t) можно рассматривать как структурный выходной сигнал некоторой комбинационной схемы, отличающейся тем, что ее структурный входной сигнал получается в результате объединения структурного входного сигнала x(t) автомата А и структурного выходного сигнала v(t) его памяти. Реализуя эту схему в виде композиции заданных логических элементов, очевидны все те переходы, которые предусматриваются функцией переходов автомата А.

Построенная комбинационная схема называется схемой обратных связей автомата А, а уравнение u = (v, x), (4) определяющее реализуемую этой схемой векторную функцию выходов, – каноническим (векторным) уравнением автомата А. При переходе к компонентам это уравнение распадается на систему канонических уравнений автомата А.

Заметим, что функция возбуждения (v, x) автомата является неоднозначной функцией, поскольку неоднозначными, в общем случае, являются функции входов µi запоминающих элементов Ai (i = 1,..., p). Неоднозначностью этой функции можно воспользоваться для получения возможно более простой схемы обратных связей в автомате.

Значительные возможности упрощения схем обратных связей и определяемых ниже схем выходов заключены в выборе рационального способа кодирования состояний синтезируемого автомата. В выборе рационального, с указанной точки зрения, кодирования состояний автомата состоит так называемая проблема кодирования, являющаяся одной из трудных проблем структурной теории автоматов. В настоящее время решение этой проблемы в каждом конкретном случае сопряжено, как правило, с перебором большого числа различных вариантов кодирования состояний.

4.4.3. Комбинационная часть автомата. Синтез схемы автомата При построении схемы обратных связей необходимо учитывать то, что в каждый момент времени t в соответствии с законом функционирования автомата А обеспечивается образование структурного выходного сигнала y(t). В зависимости от того, является ли заданный автомат А автоматом Мили или Мура, образование его выходного сигнала будет определяться либо законом y(t) = (v(t), x(t)), либо законом y(t)= (v(t)).

И в том, и в другом случае необходимый структурный выходной сигнал может быть обеспечен комбинационной схемой, которую также называют схемой выходов исходного автомата А. Схема, построенная на автоматах Мили, реализует векторную функцию y(t) = (v, x), а на автоматах Мура – векторную функцию y(t) = (v).

В обоих случаях схема выходов автомата может быть получена в результате композиции заданных логических элементов только на основе предположения о функциональной полноте системы этих элементов.

При структурном синтезе автомата обе построенные комбинационные схемы (схема обратных связей и схема выходов) объединяются в одну общую комбинационную схему, называемую комбинационной частью автомата, а запоминающая часть автомата, представляет собой объединение всех запоминающих элементов. С помощью такого объединения часто оказываются возможными дальнейшие упрощения схемы.

Структурная схема автомата, синтезированного в соответствии с каноническим методом структурного синтеза, имеет вид, изображенный на рис. 4.5.

Вых. полюсы y v x Запоминающая Комбинационная часть часть Вх. полюсы u Рис. 4.5. Структурная схема автомата, синтезированного в соответствии с каноническим методом структурного синтеза Очевидно, что эта структурная схема будет корректно построенной или правильной, если корректно построена или соответственно правильна его комбинационная часть (вместе с входными и выходными полюсами).

Таким образом, канонический метод синтеза полностью сводится к синтезу произвольных конечных автоматов, то есть к автоматам без памяти.

Применение канонического метода структурного синтеза рассмотрим на примере синтеза схемы автомата Мили А (в структурном алфавите (1, 2, 3)), заданного таблицами переходов и выходов 4.1 и 4.2.

Таблица 4.1 Таблица 4.q1 q2 q3 q4 q5 q1 q2 q3 q4 q1 q2 q1 - q3 - 1 (1,1) (2,2) - (1,3) 2 q5 q2 q1 q5 - 2 (3,1) (3,3) (2,1) (3,2) 3 q4 - q3 - q4 3 (3,3) (1,1) (2,2) - (2,3) В качестве элемента памяти выберем автомат Мура В, задаваемый таблицей переходов 4.3.

Таблица 4.1 2 1 1 2 2 2 3 3 3 1 Отметим, что структурные состояния i в автомате В есть также i (i = 1, 2, 3), тогда получим автомат Мура с полной системой переходов и с полной системой выходов.

Для кодирования состояний автомата А в структурном алфавите достаточно взять два элемента памяти, поскольку 32 > 5. Систему кодирования автомата А выбираем произвольным образом, например, так:

q1 = (1, 1), q2 = (2, 2), q3 = (3, 3), q4 = (1, 2), q5 = (1, 3).

После этого таблицу переходов (табл. 4.1) автомата А представим в виде таблицы 4.4 и выпишем таблицу входов элемента памяти В (табл. 4.5).

Таблица 4.4 Таблица 4. (1, 1) (2, 2) (3, 3) (1, 2) (1, 3) 1 2 1 (2, 2) (1, 1) - (3, 3) - 1 1 2 2 (1, 3) (2, 2) (1, 1) (1, 3) - 2 3 1 3 (1, 2) - (3, 3) - (1, 2) 3 3 3 Используя таблицу 4.5 и таблицу переходов автомата А (табл. 4.1), построим векторную функцию возбуждения автомата А. Обозначим через x = х внешний структурный входной сигнал автомата А; через v = (v1, v2) – структурный выходной сигнал этого автомата, а через u = (u1, u2) – структурный входной сигнал его памяти. Для за дания функции возбуждения автомата А нужно задать зависимость входных сигналов u1 и u2 от сигналов x, v1, v2.

Функции возбуждения задаются в виде таблицы, в которую явно выписываются значения компонент функции возбуждения на всех наборах элементарных сигналов, где эта функция задана. Таблицу для функции возбуждения целесообразно объединять с таблицей для векторной функции выходов автомата, задающей компоненты внешнего структурного выходного сигнала y = (y1, y2) как функции элементарных сигналов x, v1, v2. Наборы элементарных сигналов x, v1, v2, на которых не определены ни функция возбуждения, ни функция выходов в таблицу не включаются.

Получаемую таким образом объединенную таблицу для функций возбуждения и выходов автомата условимся называть функциональной таблицей данного автомата. Она является исходной для синтеза соответствующей комбинационной схемы.

В рассматриваемом примере из таблиц переходов и выходов автомата А (табл.

4.1 и 4.2) и таблицы входов элемента памяти В (табл. 4.5) получаем функциональную таблицу автомата А (табл. 4.6).

Таблица 4.x v1 v2 u1 u2 y1 y1 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3 2 1 1 2 3 2 1 2 1 1 1 3 3 2 2 2 1 1 3 2 3 3 2 2 2 2 1 2 1 2 3 3 1 1 1 2 3 3 2 2 - - 1 3 3 3 1 1 2 3 1 3 1 3 2 После построения этой таблицы задача структурного синтеза автомата А оказалась сведенной к задаче синтеза комбинационной схемы с тремя входными полюсами (x, v1, v2) и четырьмя выходными полюсами (u1, u2, y1, y2).

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 23 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.