WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 13 |

Интересно, что результат утверждения 13 противоречит существованию широко распространенных на практике многоуровневых ОС или ОС с распределенным контролем. Причина заключается в следующем – результаты всех приведенных выше утверждений получены в предположении (иногда неявном), что отсутствуют ограничения на допустимые структуры. В то же время, на практике возможности управляющих органов ограничены, что и приводит к необходимости введения нескольких управляющих субъектов, нескольких уровней управления и т.д. В [46, 62, 79] введен ряд числовых характеристик графов (структурная избыточность, неравномерность распределения связей, структурная компактность и др.), которые позволяют учитывать ограничения на структуры.

Обобщим полученные в настоящем разделе результаты на случай, когда множество агентов I разбито на непересекающиеся подмножества, каждое из которых подчинено "своему" центру.

Рассмотрим одно из подмножеств (коалицию) S I. Предположим, что центр, осуществляющий руководство АЭ из коалиции S, использует управление типа (55), где = (xS), то есть вознаграi i ждение АЭ зависит только от действий АЭ, входящих с ним в одну коалицию. Тогда для того, чтобы выбор агентами из коалиции S вектора xS AS действий был равновесием Нэша их игры (действия агентов из множества I \ S при этом для них выступают в роли внешних неопределенных факторов) должно выполняться:

i S, x-S A-S, xi Ai (xS) + fi(xS, x-S) fi(xS|xi, x-S).

i Последнее неравенство эквивалентно следующему:

i S, x-S A-S, (xS) Li(x-i) – fi(xS, x-S).

i Следовательно, для того, чтобы реализовать вектор xS как равновесие Нэша (и, более того – как РДС) игры АЭ из коалиции S, соответствующему центру достаточно использовать управление (55), в котором (xS) = vi(xS, S), где i (65) vi(xS, S) = max {Li(x-i) – fi(xS, x-S)}, i I, S I.

x-SA-S Очевидно, что при фиксированном векторе планов x A' всех АЭ функция (65) убывает с расширением коалиции S.

Содержательно, в соответствии с (55) и (65), центр должен гарантированно компенсировать затраты подчиненного ему АЭ в случае выполнения последним плана, независимо от действий других АЭ, входящих в ту же коалицию, или не входящих в нее.

Обозначим затраты центра на стимулирование АЭ из коалиции S (66) v(xS, S) = vi(xS, S).

iS Вычислим введенные выше величины для линейных ОС:

F0(x) = x, L0(x) = j j (Sign( ) - x ) + x, jj j jj j j jI jI jI (x) = ii ii (Sign( ) - x ) 0, vi(x, S) = (Sign( ) - xi), i I.

jj j jj jI В частности, в условиях примера 6 vi(x, S) = 3 – n – xi, i I.

Особо следует отметить, что в линейных ОС затраты центра на стимулирование i-го АЭ vi(x, S) не зависят от той коалиции, в которую входит данный АЭ. Вообще, данный вывод справедлив для игр с сепарабельными функциями выигрыша игроков [36].

Исследуем свойства зависимости (66), которая характеризует минимальные затраты центра, осуществляющего управление коалицией S (и только ей!), по побуждению элементов этой коалиции к выбору вектора действий xS AS. Будем называть эту зависимость функционалом затрат на управление.

Фиксируем две произвольные коалиции S1 I и S2 I, такие, что S1 S2 I, и два произвольных вектора xS1 AS1 и xS2 ASвектора действий членов этих коалиций. Рассмотрим коалицию S = S1 S2, полученную в результате объединения двух исходных коалиций, и вектор xS = (xS1, xS2) действий ее членов.

Оценим затраты на управление i-ым АЭ, входящим, например, в коалицию S1:

vi(xS, S) = max {Li(x-i) – fi(x)} x-SA-S max {Li(x-i) – fi(x)} = vi(xS1,S1), i S1.

x-S1A-SИз данной системы неравенств и (66) следует, что v(xS, S) v(xS1,S1) + v(xS2,S2).

Функционал затрат на управление будем называть субаддитивным, если он удовлетворяет следующему условию: при объединении двух произвольных коалиций в одну и побуждении АЭ к выбору тех же действий, что и ранее, затраты на управление не выше чем сумма затрат на управление двумя коалициями по отдельности. Таким образом, мы доказали следующий результат.

Утверждение 14. Функционал затрат на управление субаддитивен.

Качественно этот факт объясняется тем, что для меньшей коалиции неопределенность относительно поведения АЭ, не вошедших в ее состав, выше, следовательно центру приходится гарантировать компенсацию больших затрат.

Утверждение 14 позволяет сформулировать задачу структурного синтеза в терминах затрат на управление. Если не наложить ограничений на значения затраты на управления, то в соответствии с утверждением 13 максимальной эффективностью будет обладать двухуровневая веерная структура. Действительно, максимум эффективности будет определяться как K* = max {f0(y) – v(y, I)}.

yA' В силу субаддитивности функционала затрат на управление введение дополнительных центров, и даже разделение между ними ресурса v(y, I), приведет к снижению эффективности. Необходимость введения нескольких внешних центров возникает, если ни один из них не имеет возможности в рамках существующих ограничений управлять сразу всем множеством агентов. Детализируем задачу синтеза оптимальной двухуровневой структуры (переход от двухуровневой к трехуровневой структуре и т.д.

осуществляется аналогично) с учетом ограничений на возможности центров по управлению.

Пусть для произвольной коалиции S I и для произвольного вектора xS AS действий ее членов задан функционал (66) затрат на управление. Пусть также имеются k центров, для каждого из которых известны ограничения ci, i K = {1, 2,..., k} максимальных затрат на управление, которые он может нести13. Обозначим 2I – произвольное разбиение множества агентов на коалиции.

Тогда задача структурного синтеза будет заключаться в нахождении такого вектора x* A' действий всех АЭ, такого разбиения множества агентов I, | | k, и такого назначения центров, для которых функция f0(x*) принимала бы максимальное значение и затраты каждого центра на управление подчиненными ему АЭ не превышали бы имеющегося у него ресурса, то есть v( x*, S) cS, S S.

Отметим, что сформулированная задача достаточно просто решается для линейных ОС (сводится к транспортной задаче), так как для них выше было показано, что затраты на управление каждым АЭ не зависят от той коалиции, в которую он включен. В общем случае задача структурного синтеза принадлежит к классу сложных задач системной оптимизации и не может быть непосредственно сведена ни к одной из известных задач математического программирования или исследования операций. Поэтому рассмотрим эвристический метод ее решения.

Обозначим x* = arg max f0(y), то есть фиксируем вектор дейyA' ствий, доставляющий максимум критерию ЛПР, и рассмотрим возможности по его реализации при заданных ограничениях.

Обозначим v(S) = v(ProjS x*, S), S I. Получили субаддитивную функцию множеств, характеризующую минимальные затраты на гарантированную реализацию соответствующей коалицией оптимального с точки зрения ЛПР вектора действий. В этом случае под задачей структурного синтеза можно понимать задачу, Содержательно величина ci является индивидуальной характеристикой i-го центра, отражающей его максимальные возможности по управлению АЭ (квалификационные, информационные, ресурсные и др.

ограничения, сформулированные в величинах, имеющих ту же размерность, что и затраты на управление).

заключающуюся в проверке существования, во-первых, разбиения множества I не более чем на k непересекающихся14 подмножеств и, во-вторых, назначения центров, удовлетворяющего ресурсным ограничениям v( x*, S) cS, S. В случае если таких S разбиений и/или назначений несколько, можно выбирать, например, то из них, которое максимизирует суммарный остающийся в распоряжении центров ресурс ( ) = - v(S)).

(c S S В заключение настоящего раздела рассмотрим частный случай однородных ОС (то есть ОС, в которых все АЭ одинаковы).

Обозначим vi(x*, S) = g(s), где g(s) – убывающая функция числа s = |S| членов коалиции S I, i I. Очевидно, для однородных ОС выполнено v(S) = s g(s), S I.

Обозначим w(s) = v(S), S I. Тогда задачу структурного синтеза можно формулировать как нахождение: числа m k коалиций, их размеров {si}, и назначения15 qij {0; 1}, i = 1,m, j = 1,k внешних центров по коалициям, таких, что:

(67) )qij min w(s i i, j (68) 1, j = 1,k, q ij i (69) = 1, i = 1,m, q ij j (70) w(si) xij cj, i = 1,m, j = 1,k, m (71) = n.

s i i= Отметим, что до сих пор мы рассматривали задачу разбиения множества агентов на непересекающиеся подмножества, то есть каждый АЭ может (и должен) быть подчинен одному и только одному центру. Если вектор действий всех АЭ фиксирован, то можно искать разбиения множества I и на пересекающиеся подмножества, удовлетворяющие ресурсным ограничениям центров.

Положим, что xij = 1, если i-я коалиция подчинена j-му центру, и qij = 0 в противном случае.

Содержательно задача структурного синтеза заключается в распределении АЭ по коалициям (для однородных ОС это эквивалентно определению числа и размеров коалиций), число которых не должно превосходить число внешних центров, и определении кого из центров поставить во главе той или иной коалиции с тем чтобы: затраты на управление были минимальны (см. (67)), каждый центр был поставлен во главе не более одной коалиции (условие (68)), во главе каждой коалиции был поставлен один и только один центр (условие (69)), ресурсы каждого центра были не меньше, чем затраты на управление подчиненной ему коалиции (условие (70)), и каждый АЭ вошел в точности в одну коалицию (условие (71)).

В общем случае (67)-(71) принадлежит классу сложных комбинаторных задач. Для ее решения в случае большого числа АЭ и больших ресурсов центров (оценка: w(1) << min {cj}) может j=1,k быть предложен следующий эвристический (не дающий в общем случае оптимального решения!) алгоритм: упорядочить центры по убыванию ресурсов и последовательно (до тех пор, пока не "исчерпается" ресурс очередного центра – после этого переходить к следующему центру в заданном их упорядочении) назначать АЭ центрам, пока не будут распределены все АЭ, или пока не будет использован весь имеющийся у центров ресурс. Другими словами, в первую очередь следует задействовать (и задействовать максимально) центры, обладающие максимальным ресурсом управления.

11. МОДЕЛИ ОГРАНИЧЕННОЙ РАЦИОНАЛЬНОСТИ Рациональное поведение экономических агентов традиционно моделируется их стремлением к увеличению значения некоторой функции (функции полезности, выигрыша, целевой функции и т.д.) [60, 91, 101, 104], определенной на множестве альтернатив, которые может выбирать агент, и обстановок (внешних условий его деятельности) [36]. При этом вводятся две гипотезы – гипотеза детерминизма, заключающаяся в том, что агент стремится устранить с учетом всей имеющейся у него информации существующую неопределенность (относительно состояния природы или параметров, выбираемых другими агентами), и гипотеза рационального поведения, заключающаяся в том, что агент (с учетом всей имеющейся у него информации) выбирает действия, которые приводят к наиболее предпочтительным результатам деятельности [36, 77].

Рассмотрим одного агента (в одноэлементных моделях индекс, обозначающий номер агента, будет опускаться), интересы которого отражены его целевой функцией f(y), определенной на множестве возможных действий: y A, f: A. Тогда множеством рационального выбора будет множество действий, доставляющих максимум целевой функции:

(72) P0(f( ), A) = Arg max f(y).

yA Например, в экономико-математических моделях в качестве функции полезности (целевой функции фирмы) во многих случаях выступает прибыль фирмы.

Принцип (72) принятия решений соответствует так называемой классической рациональности. В работах Г. Саймона было предложено рассматривать так называемые модели ограниченной рациональности (ОР), то есть отказаться от предположения о стремлении агента к достижению абсолютного максимума, заменив его предположением о стремлении к достижению определенного уровня полезности, быть может, зависящего от величины оптимума [88, 112, 113].

В настоящем разделе описывается ряд моделей ограниченной рациональности и обсуждается влияние предположений о рациональном поведении агентов на решения задач управления ОС и, в частности – на решение задачи структурного синтеза.

Введем следующее предположение о целевой функции и допустимом множестве: пусть f( ) непрерывна и вогнута, а множество A выпукло и компактно. Очевидно, что в рамках этих предположений множество P0(f( ), A) непусто.

Обозначим y* = arg max f(y). Для простоты будем считать, yA что f(y*) 0.

Введем в рассмотрения три типа ограниченной рациональности.

Первый тип ОР. Предположим, что агент стремится к обеспечению некоторого минимального уровня индивидуальной полезности U, то есть множеством рационального выбора можно считать (73) P1(f( ), A, U ) = {y A | f(y) U }.

Второй тип ОР. Предположим, что агент готов смириться с потерями фиксированной величины 0 по сравнению с абсолютным максимумом, то есть множеством рационального выбора можно считать (74) P2(f( ), A, ) = {y A | f(y) f(y*) – }.

Отметим, что этот способ учета «нечувствительности» и порогов различения агентов наиболее распространен в теоретикоигровых моделях и при использовании в построении обобщенных решений позволяет регуляризовать критерии оптимальности и добиться устойчивости решения по параметрам модели [25, 65, 71, 110]. Кроме того, данный тип представления рационального поведения согласован с моделями ОС, учитывающими неопределенность [71, 72], в том числе – неопределенность целей агента.

Третий тип ОР. Предположим, что агент готов смириться с потерями, составляющими не более, чем фиксированную часть (0; 1] от максимального выигрыша, то есть множеством рационального выбора можно считать (75) P3(f( ), A, ) = {y A | f(y) (1 – ) f(y*)}.

Неравенство в (75) можно записать в эквивалентном виде:

f(y*) – f(y) f(y*).

Введенные три типа ограниченной рациональности охватывают большинство встречающихся на практике задач управления ОС. Исследуем свойства множеств (73)-(75).

Очевидно, что в рамках введенных предположений U 0, 0, (0; 1] имеет место:

- P1, P2 и P3 – выпуклые компактные множества;

- P0 P1, P0 P2, P0 P3;

- U ' U, ’, ’ выполнено P1(f( ), A, U ) P1(f( ), A, U ' ), P2(f( ), A, ) P2(f( ), A, ’), P3(f( ), A, ) P3(f( ), A, ’);

- P1(f( ), A, 0) = P2(f( ), A, 0) = P3(f( ), A, 0) = P0(f( ), A);

- для любого допустимого значения любого параметра (U 0, 0, (0; 1]) существуют значения двух других параметров, при которых множества (73)-(75) совпадают.

Содержательные интерпретации приведенных свойств очевидны и опускаются.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 13 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.