WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 13 |

K i i j jI \ Запишем задачу определения минимальных неотрицательных платежей со стороны центров, побуждающих АЭ выбрать требуемые действия:

(49) K i min, при ограничениях (46) и (48).

j iK jI \ Так как ограничения (46) и (48) сформулированы для некоторого "плана" x A', то и решение задачи (49) будет зависеть от этого плана. Следовательно, можно выделить множество X(K) A' состояний ОС, реализуемых в двухуровневых системах множеством центров K, то есть множество состояний, для которых существует решение задачи (49). Сформулируем этот результат в виде следующего утверждения.

Утверждение 9. В двухуровневых ОС со структурой реаiK лизуемы состояния ОС, для которых существует решение задачи (49).

Отметим, что, если отказаться от того, что центры ограничены классом стратегий (44), то множество реализуемых состояний системы может расшириться при неизменных выигрышах участников.

Следовательно, в двухуровневых ОС задачу структурного синтеза можно записать в виде задачи выбора множества центров, реализующего наиболее предпочтительное с точки зрения ЛПР состояние ОС:

(50) min f0(x) max.

xX (K ) K2I Отметим, что при определении критерия эффективности (50) в ОС с веерной структурой (то есть в двухуровневых ОС с одним центром) использовалась гипотеза благожелательности центра к ЛПР, то есть вычислялось максимальное значение целевой функции ЛПР на множестве действий, реализуемых центром (доставляющих максимум его целевой функции). В ОС РК пользоваться гипотезой благожелательности следует очень осторожно – как отмечается в [76] при наличии нескольких центров неясно, что понимать под их благожелательным отношением к ЛПР, а также неясно что понимать под благожелательным отношением АЭ к нескольким центрам одновременно. Если ЛПР может управлять выбором равновесия игры центров, то применение гипотезы благожелательности корректно, в общем же случае целесообразно применять гарантированный результат – вычислять минимум по множеству реализуемых состояний ОС (см. выражение (50)).

Введем следующее предположение, которое выполнено, в частности, в задачах стимулирования [26, 31, 75, 76]:

(51) j I, x-j A-j max fj(yj, x-j) = Lj.

y Aj j где {Lj} – некоторые константы.

Из (51) следует, что j I, K I, x A’ имеет место:

j Lj(x-i-j) = Lj(x-j) = Lj(x-K-j) = Wmax = Lj.

Утверждение 10. Если выполнено (51), то для любой структуры найдется структура не меньшей эффективности.

2K 2i Доказательство. Докажем, что K I выполнено X(K) X* = Arg max fi (x).

xA' iI Тогда из min f0(x) min* f0(x), будет следовать, что, если некоxX (K ) xX торая структура (например,, i I, в рамках (51)) реализует 2i состояния из X* и только их, то ее эффективность не меньше эффективности структуры, реализующей состояния из X(K).

2K Из (46) и (48), с учетом (51), следует, что реализуемыми являются состояния, удовлетворяющие i Lj – fj(x), j I \ K, i fi(x) – Li, i K.

j j iK jI|K Из данной системы неравенств получаем X(K) {x A’ | fi (x) } X*, L i iI iI что и требовалось доказать. • Таким образом, утверждение 10 дает достаточное условие того, что введение нескольких центров не увеличивает эффективности, то есть в рамках предположения (51) в двухуровневых структурах достаточно ограничиться классом ОС с одним центром. Важным представляется то, что в рамках (51) множество реализуемых состояний всегда включает множество состояний ОС, эффективных по Парето.

Следствие. В задаче стимулирования оптимальна веерная структура.

Справедливость утверждения следствия обосновывается тем, что в задачах стимулирования выполнено (51) [68, 75].

Следствие. Если выполнено (51), то:

а) состояние ОС при структуре в соответствующей игре 2i (Г2 или Г1-Г2) не зависит от i (то есть от назначения центра) и является оптимальным по Парето;

б) множество состояний ОС, реализуемых в веерной структуре игрой Г2 совпадает с множеством состояний ОС, реализуемых в веерной структуре игрой Г1-ГСправедливость первого пункта следствия вытекает из (38), второго пункта – из (36) и (40).

Отметим, что предположение (51) является чрезвычайно сильным – в его рамках взаимодействие агентов вырождается, поэтому результаты утверждения 10 и его следствий также являются вырожденными.

Завершив исследование задач структурного синтеза в классе двухуровневых структур с побочными платежами, рассмотрим произвольные (многоуровневые) иерархические структуры с побочными платежами.

10. ПОБОЧНЫЕ ПЛАТЕЖИ В ИЕРАРХИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ До сих пор мы рассматривали задачу структурного синтеза как задачу распределения агентов по уровням иерархии, где каждому уровню ставился в соответствие определенный приоритет в порядке выбора стратегий. Существенную роль играло то, что центры (управляющие органы) выбирались из числа агентов, а эффективность той или иной структуры оценивалась по значениям критерия, отражающего интересы внешнего по отношению к ОС лица, принимающего решения.

Анализ задач структурного синтеза, проведенный выше, свидетельствует об их высокой сложности в общем случае, и только в ряде частных случаев удается получить сравнительно простое содержательно интерпретируемое решение (см. утверждения 110). Поэтому в настоящем и ряде последующих разделов изменим постановку задачи, то есть будем считать, что все агенты из множества I являются активными элементами (АЭ) и расположены на нижнем уровне иерархии. Тогда задача структурного синтеза будет заключаться в нахождении иерархической (не обязательно древовидной) структуры – определении оптимального числа так называемых внешних (по отношению ко множеству агентов) центров и распределении их по уровням иерархии. При этом считается, что центры имеют интересы, которые в определенном ниже смысле «совпадают» с интересами ЛПР. Другими словами, центры не имеют собственных интересов, отличных от интересов ЛПР, то есть лица, решающего совместно с исследователем операций задачу синтеза. Отметим, что такой подход является типичным для исследования операций.

При изучении задачи структурного синтеза в той постановке, в которой она формулируется в настоящем разделе, появляется возможность использования результатов по декомпозиции игры сильно связанных элементов, полученных в [75, 76], а также результатов анализа многоуровневых ОС, приведенных в [53, 69, 73]. Следует отметить, что при назначении центрами субъектов, внешних по отношению к множеству I агентов, существенно упрощаются задачи анализа состояний ОС, реализуемых различными структурами, особенно в случае возможности осуществления побочных платежей между центрами и АЭ.

Рассмотрим следующую модель.

Предположим, что имеется один центр, интересы которого совпадают с интересами ЛПР, то есть центр имеет целевую функцию f0(y), и присутствует бюджетное ограничение C на суммарное стимулирование. Такую веерную структуру будем обозначать (индекс «0» означает, что центр назначен извне, то есть не из множества I агентов).

Обозначим для фиксированного вектора ( ) EC( ) = EN( ) {y A’ | ( y) C} i iI множество равновесных по Нэшу при системе стимулирования ( ) действий, для которых суммарные выплаты центра по их реализации не превышают бюджетного ограничения. Тогда задача оптимального управления в структуре может быть сформулирована как (52) min f0(y) max.

yEС ( ) Обозначим (53) L0(x) = (x-i ), L i iI где Li(x-i) = max fi(yi, x-i), i I, yiAi (54) F0(y) = fi ( y).

iI Отметим, что F0(y) является утилитарной функцией коллективной полезности, свойства которой подробно исследуются, например, в [65]. Содержательно функция F0(y) может интерпретироваться как целевая функция «системы» из n агентов. Функция F0(y) согласована с отношением доминирования по Парето в следующем смысле: если вектор z Парето-доминирует вектор y, то F0(z) F0(y).

Рассмотрим задачу (52) в отсутствии бюджетного ограничения (C = + ). Пусть центр использует систему стимулирования (x) +, yi = xi i i (55) (y) =, ix 0, yi xi где (x) – побочный платеж i-му АЭ от центра в случае выполнеi ния первым плана, > 0 – сколь угодно малая строго положиi тельная константа. В выражении (55) первый режим соответствует трансферту полезностей, а второй режим – наказанию за индивидуальные отклонения.

Легко видеть, что если (56) (x) Li(x-i) – fi(x), i I, i d то E2 ( ) = {x}, то есть x A’ является единственным РДС игры АЭ при управлении (55).

Получаем, что реализуемыми (и доставляющими максимум целевой функции центра с учетом побочных платежей) будут состояния ОС из множества (57) X( ) = Arg max [f0(x) + F0(x) – L0(x)].

xA' Перейдем к учету балансового (бюджетного) ограничения при условии, что на побочные платежи используются «внешние» (не принадлежащие центру в смысле вхождения в f0(y)) средства.

Если трансферты полезности соответствуют внутреннему, то есть замкнутому относительно множества АЭ, стимулированию, то сумма трансфертов должна быть неположительна (с точностью до сколь угодно малой строго положительной константы = ).

i iI Если центр имеет возможность привлечь внешние или использовать собственные средства в размере С 0, то балансовое ограничение, то есть условие минимальной (при неравенствах (56), выполняющихся как равенства) внутренней сбалансированности, примет вид:

(58) (x) = L0(x) – F0(x) С.

ix iI Таким образом, в рамках замкнутого набора АЭ (при C = 0) (58) отражает условие неотрицательности баланса трансфертов.

Понятно, что множество P(C) точек, в которые ОС может быть переведена управлением с побочными платежами, ограниченными в сумме величиной C, есть (59) P(C) = {y A' | L0(y) – F0(y) C}.

Следовательно, рассматриваемое управление в ряде случаев позволяет сделать эффективное по Парето коллективное решение устойчивым по Нэшу. Таким образом, справедлив следующий результат.

Утверждение 11. При заданном бюджетном ограничении любая точка множества (59) может быть реализована системой стимулирования (55) как эффективное равновесие Нэша.

Если выполнено предположение (51), то, обозначая L0 =, получим, что реализуемы будут действия из множеL j jI ства {y A' | L0 – С F0(y)} – см. свойства множества реализуемых действий в задачах стимулирования [68, 71].

Имея результат утверждения 11, изучим преимущества и недостатки введения дополнительного уровня иерархии (выделения над множеством АЭ метаагента – центра).

Введем следующий механизм функционирования АС. Центр использует систему стимулирования (55) с x P(C). При этом:

вектор x является равновесием Нэша, в котором всем АЭ обеспечивается не меньшая полезность, чем при выборе любого другого индивидуально рационального равновесия; отпадает необходимость получения и обработки АЭ информации о своих оппонентах; центр получает во внутренне сбалансированном механизме ненулевую полезность.

Итак, выделение над одноуровневой АС дополнительного уровня управления с наделением его правом частично устанавливать правила игры АЭ (в рамках концепции их некооперативного поведения) является взаимовыгодным для центра и для всех АЭ, как с точки зрения снижения на АЭ нагрузки по обработке информации, так и с "экономической" точки зрения – внешнее управление центра делает выгодным и индивидуально рациональным коллективно рациональное (в смысле Паретоэффективности) взаимосодействие АЭ.

В качестве иллюстрации использования предложенных выше подходов к описанию и исследованию сбалансированного мотивационного управления рассмотрим частный случай линейных ОС (см. общие результаты выше), в которых (60) F0(y) = yi.

i iI Парето оптимальное (доставляющее максимум (60)) действие P есть (см. также выше) yi = Sign ( ), доминантная стратегия – i d yi = Sign( ), i I. Определим следующие величины:

ii (61) (yd, yP) = (yd, yP) = [Sign( ) – Sign( )].

i i ij j jj jI Легко проверить, что в любых линейных ОС выполнено:

(yd, yP) 0. Пусть центр в линейной ОС использует слеi iI дующую систему стимулирования:

P P (62) (yi) = [ (yd, yP) + ] I(yi = yi ) + I(yi yi ), i i i ii где I() – функция индикатор (отметим, что в точке Парето «штрафы» равны нулю).

Система стимулирования (62) обеспечивает каждому АЭ ту же полезность, что и при использовании им доминантной стратегии, причем yP является равновесием по Нэшу. Более того, центр оставляет в собственном распоряжении ненулевую полезность, равную:

(63) F0 = F0(yP) – F0(yd) = [Sign ( ) – Sign ( )] 0, j j jj jI которая может рассматриваться как критерий эффективности управления.

Величина (63) может интерпретироваться как мера «системности» набора АЭ: с одной стороны это – доход центра, а с другой – интегральная характеристика рассогласованности предпочтений АЭ. Таким образом, справедлив следующий результат.

Утверждение 12 [53, 73]. Эффективность управления в линейной ОС определяется выражением (63).

Обозначим (x) = (x) = L0(x) - F0(x).

j jI Рассмотрим пример линейной ОС, иллюстрирующий утверждение 12.

Пример 6. Пусть в линейной АС целевые функции агентов равны fi(y) = yi + y ), Ai = [0; 1], i I. Тогда L0(x) = 2 n – (1- j ji (n – 1), F0(x) = n – (n – 2), (x) = n –. Если x j x j x j jI jI jI f0(x) = – ( )2/2, то множеством оптимальных реализуемых x j jI действий будем X* = Arg max {f0(x)– (x)} = {x A' | = }. • x j xA' jI Таким образом, выше в настоящем разделе мы исследовали множество состояний ОС, реализуемых при тех или иных бюджетных ограничениях в структуре. Если f0(y) – целевая функция ЛПР, выделяющего средства в размере C, то его задача в рамах гипотезы благожелательности заключается в определении оптимальной величины суммарных побочных платежей, то есть трансфертов, максимизирующих эффективность K(C) управления:

(64) K(C) = max f0(y) – C max.

yP(C) CРешение обратной задачи (определения минимальных затрат на гарантированную реализацию множества X A’ состояний ОС) имеет вид C(X) = max {L0(y) – F0(y)}.

yX Так как множество (59) не зависит от центра (его целевой функции или каких-либо других характеристик), то получаем, что справедлив следующий результат.

Утверждение 13. В ОС с побочными платежами при назначении управляющих субъектов извне (не из множества I) оптимальна структура.

Содержательно утверждение 13 означает, что, если центры назначаются извне (или не обладают собственными интересами), то не следует вводить нескольких центров или несколько уровней иерархии, так как любое состояние ОС, реализуемое при заданных ограничениях на ресурсы ЛПР, может быть реализовано единственным центром в рамках структуры.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 13 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.