WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 13 |

Доказательство. Рассмотрим игру Г1 (так как агенты одинаковы, то центром может быть выбран любой из них). Обозначим BR-i(yi) = Arg max-1 f(y-i, yi), yi A – наилучший ответ всех y-i An агентов, кроме i-го (выступающего в роли центра), на выбор центром действия yi. Множество BR-i(yi) в рамках введенных предположений всегда содержит элемент вида (t(yi), …, t(yi)) An. Поэтому z Arg max max f(yi, y-i), что приводит, в частyiA y-iBR-i ( yi ) ности, к t(z) = z. Значения, строго большего, чем f(x) i-ый агент получить не может в силу (16). Следовательно, при его назначении центром равновесное состояние системы не изменится, то N N есть E1 ( ) = E0 ( ).

2i Рассмотрим игру Г2 (так как агенты одинаковы, то центром может быть выбран любой из них).

Обозначим BR-i(ui( )) = Arg max-1 f(y-i, ui(y-i)), yi A – наиy-i An лучший ответ всех агентов, кроме i-го (выступающего в роли центра), на выбор центром стратегии ui( ). Введем стратегию наказания uн(y-i): f(uн(y-i), y-i) = min f(yi, y-i). Использование i-ым yiA uн, j I \ {i}: y j z агентом (центром) стратегии u*(y-i) = z, y j = z, j I \{i} побуждает остальных агентов выбрать вектор (z, …, z) An-1 как равновесие (или даже как сильное равновесие Нэша в случае строго монотонной функции выигрыша) их игры, что дает всем участникам ОС, включая i-го агента, выступающего в роли центра, выигрыш f(x). Значения, строго большего, чем f(x) i-ый агент получить не может в силу (16). Следовательно, при его назначении центром равновесное состояние системы не изменится, то N N есть E2 ( ) = E0 ( ).

2i Мы рассмотрели структуры для игр Г1 и Г2. Аналогично 2i рассматриваются и другие многоуровневые структуры, для каждой из которых можно показать, что выбор действия z A доставляет абсолютный максимум выигрышу любого участника ОС, независимо от его роли. • Содержательно, если максимум целевой функции f( ) достигается в единственной точке, то любой агент (будь он центром или АЭ, то есть независимо от типа игры) выберет одно и то же действие.

Для того, чтобы показать, что в случае, когда множество P(f) состоит более чем из одной точки, изменение структуры может изменить «равновесное» состояние системы, рассмотрим следующий пример.

Пример 3. Пусть n = 2 и f(y) = (y1 + y2) – (y1 + y2)2/ 2r, r > 0, A = 1. Тогда P(f) = {(y1, y2) | y1 + y2 = r}, z = r / 2 (фокальная + точка [36, 107]).

Рассмотрим игру Г0. В ней множество равновесий Нэша соN ставляет E0 ( ) = P(f). Если агенты не имеют возможности договориться и вынуждены выбирать стратегии одновременно и независимо, то гарантированный (по множеству равновесий Нэша) результат каждого из агентов равен нулю: не зная выбора другого агента, каждый агент может выбрать нулевое действие, N принадлежащее проекции равновесия Нэша E0 ( ) на множество его допустимых стратегий.

Рассмотрим игру Г1. В ней лучшим ответом второго агента BR2: A1 A2 на заданное действие y1 первого агента будет отображение BR2(y1) = max {0; r – y1}. Оптимальной стратегией первого агента будет выбор действий из следующего множества:

Arg max max f(y1, y2), то есть отрезка [0; r]. Выигрыш кажy10 y2BR2( y1) дого из агентов при этом достигает абсолютного максимума и равен r/2.

Рассмотрим игру Г2. В ней лучшим ответом второго агента BR2: { ()} A2 на заданную стратегию : A2 A1 первого 1 агента будет отображение BR2( ), обеспечивающее выполнение (y2) + y2 = r. Тогда оптимальной стратегией первого агента будет (y2) = r – y2, следовательно множеством оптимальных стратегий второго агента будет отрезок [0; r]. Выигрыш каждого из агентов при этом достигает абсолютного максимума и равен r/2. • Содержательно, если в однородной ОС существует несколько равновесий Нэша, то выбор каждым из агентов действия, которое при некоторых действиях остальных агентов является равновесием Нэша, не гарантирует попадания системы в точку Нэша.

N Множество равновесий Нэша E0 ( ) называется InterN changeable Nash Equilibria (INE), если ti Proji E0 ( ), i I, N (t1, t2, …, tn) E0 ( ) [100, 107]. Понятно, что, если равновесие Нэша единственно, то оно является в однородных ОС INE. Поэтому утверждение 4 может быть обобщено: в однородных ОС с INE изменение структуры не изменяет равновесного состояния системы.

Отметим, что утверждение 4 не противоречит утверждению 1, так как в однородной ОС может не существовать РДС (см.

пример 3). В то же время, для существования INE достаточно существования РДС.

Таким образом, для однородных ОС можно сделать следующий качественный вывод: в них необходимость координации (наличия центра) в отсутствии кооперации обусловлена множественностью равновесных (и эффективных) стратегий.

Следующее утверждение характеризует свойства решения задачи структурного синтеза для однородных ОС.

Утверждение 5. В однородной ОС существует оптимальная (в смысле целевых функций агентов) веерная структура, причем (17) K1( ) = K2( ), i I.

2i 2i Доказательство. То, что в рамках фиксированного типа игры эффективность веерной структуры одинакова для любого назначения центра, следует из однородности агентов.

В доказательстве утверждения 4 показано, что в однородных ОС эффективности двухуровневых структур при играх Г1 и Годинаковы, поэтому докажем, что эффективность трех- и более уровневых структур ни для какой из иерархических игр типа Г1 и Г2 не превышает эффективности двухуровневой структуры.

По аналогии с доказательством утверждения 4 можно показать, что в произвольной структуре, m = 1,n, независимо от m типа игры (Г1 или Г2) реализуемо равновесие x P(f), в котором все агенты (центры всех уровней и активные элементы) получают максимальный выигрыш f(x). В то же время, большего выигрыша никто из них получить не может в силу определения (16). • Содержательно утверждение 5 означает, что в однородных ОС для достижения максимальной эффективности достаточно назначить центром любого агента и разыграть игру Г1 или Г2.

Следует отметить, что в однородных системах не имеет смысла говорить об эффективности той или иной структуры с точки зрения значения критерия ЛПР f0(y), так как в рамках утверждения 5, независимо от назначения кого-либо из агентов центром, реализуется оптимальное (Парето-эффективное) для агентов состояние. Если в однородной структуре (без выделения центра) ЛПР имеет возможность оказывать влияние на выбор агентами компонент равновесия, то имеет смысл говорить, скорее, об информационном управлении [77], которое, во-первых, будет иметь эффективность max f0(y), а, во-вторых, не будет yP( f ) стабильным в силу неэффективности (с точки зрения агентов) реализуемых им состояний ОС.

Завершив исследование задачи структурного синтеза для однородных ОС, перейдем к изучению линейных ОС.

6. ЛИНЕЙНЫЕ ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫПомимо однородных ОС, рассмотренных в предыдущем разделе, характерным частным случаем являются так называемые линейные ОС [53, 73], описываемые следующим образом.

Пусть целевая функция i-го агента, определенная с точностью до константы, имеет вид Настоящий раздел написан совместно с А.Ю. Заложневым.

(18) fi(y) = y, i I.

ij j jI Без ограничения общности предположим, что множество допустимых действий каждого агента составляет отрезок [0; 1].

Тогда множество доминантных стратегий в игре Г0 есть d (19) E0 ( ) = ( yid )i I, yid = Sign( ), i I, ii 1, t > где Sign(t) = 0, t 0. Определим (20) f (y) = y = y, ij j j j iI jI jI где =. Очевидно, что множество равновесий Парето есть j ij iI p (21) E0 ( ) = ( yip )i I, yip = Sign( ), i I.

i Так как существует РДС, то в силу утверждения 1 линейные АС неуправляемы в смысле K1( ) (при разыгрывании игры Г1), поэтому рассмотрим игры типа Г2.

Пусть имеется веерная структура, в которой k-ый агент 2k является центром. Стратегией центра является выбор функции uk(y-k), принимающей значения из [0; 1].

Введем множество (22) Qk = {i I \ {k} | Sign( ) Sign( )} ki ii таких АЭ, которые в отсутствии управления выбирают невыгодные для центра действия (очевидно, что если Sign( ) = Sign( ), kj jj то j-ым агентом с точки зрения k-го агента управлять не требуется [6]).

Определим множества - + (23) Qk = {i Qk | Sign( ) = 0}, Qk = {i Qk | Sign( ) = 1}, ik ik агентов, заинтересованных в соответствующем (равном нулю или единице – внутренние точки отрезка [0; 1] можно не рассматри- + вать) выборе центра. Очевидно, Qk Qk = Qk, k I.

Определим множества (24) Pk- = {i Qk | Sign( ) = 0}, Pk+ = {i Qk | Sign( ) = 1} ki ki агентов, в соответствующем выборе которых заинтересован центр. Очевидно, Pk- Pk+ = Qk, k I.

Введем множество агентов, которые согласятся изменить свои действия, если центр выберет нулевое действие.

- - (25) Rk = {i Qk Pk- | – } {i Qk Pk+ | }.

ii ik ii ik Для того, чтобы побудить их к этому, центру достаточно использовать стратегию - 0, i Pk- Rk yi = 0, i Pk+ Rk yi = (26) uk ( yR- ) =.

- k 1, i Pk- Rk yi = 1 или i Pk+ Rk yi = Аналогичным образом введем множество агентов, которые согласятся изменить свои действия, если центр выберет единичное действие.

+ + + (27) Rk = {i Qk Pk- | } {i Qk Pk+ | – }.

ik ii ik ii Для того, чтобы побудить их к этому, центру достаточно использовать стратегию + + 1, i Pk- Rk yi = 0, i Pk+ Rk yi = + (28) uk ( yR+ ) =.

+ + k 0, i Pk- Rk yi = 1 или i Pk+ Rk yi = Таким образом, у центра имеются три альтернативы:

1) разыграть игру Г0 или игру Г1; 2) разыграть игру Г2, обещая в соответствии с (26) агентам из множества (25) выбрать нулевое действие, если соответствующие агенты выберут наиболее выгодные для центра действия; 3) разыграть игру Г2, обещая в соответствии с (28) агентам из множества (27) выбрать единичное действие, если соответствующие агенты выберут наиболее выгодные для центра действия.

Вычислим следующие величины:

(29) fkd = kk kk Sign( ) + Sign( ) + Sign( ), ki ii ki ii iI \(Qk {k}) iQk (30) fk- = Sign( ) +, ki ii ki + - - i(I \(Qk {k}))Qk (Qk \Rk ) iRk Pk+ (31) fk+ = kk Sign( ) + +.

ki ii ki - + + + i(I \(Qk {k}))Qk (Qk \Rk ) iRk Pk+ Утверждение 6. Максимальный выигрыш k-го агента при назначении его центром в линейной веерной ОС равен fk = max { fkd, fk-, fk+ }.

Доказательство утверждения 6 заключается в проверке того, что выбор рекомендуемых центром действий является равновесием Нэша игры агентов из соответствующего множества. То, что центру следует использовать управления вида (26)-(28), а не управления, определенные на некоторых подмножествах мно- + жеств Rk и Rk, следует из определения (22). Выражения (29)(31) исчерпывают множество возможных выигрышей центра при разыгрывании игр Г0, Г1 и Г2. • Следствие. В зависимости от соотношения величин (29)-(31) реализуется одно их следующих множеств действий агентов:

- если максимум достигается на fkd, то все агенты выберут доминантные стратегии;

- если максимум достигается на fk-, то агенты из множества + - (I\(Qk\{k})) Qk (Qk \ Rk ) выберут доминантные стратегии, агенты из множества ( Rk Pk- ) {k} – нулевые действия (в том числе и центр), а агенты из множества Rk Pk+ – единичные действия;

- если максимум достигается на fk+, то агенты из множества - + + (I\(Qk\{k})) Qk (Qk \ Rk ) выберут доминантные стратегии, + агенты из множества Rk Pk- – нулевые действия, а агенты из + множества ( Rk Pk+ ) {k} (в том числе и центр) – единичные действия.

Приведем пример, иллюстрирующий свойства линейных ОС (см. также пример 1).

Пример 4. Рассмотрим линейную ОС (n = 3), в которой целе1 - 2 вые функции агентов задаются матрицей - 3 1 - 5. Доми-1 4 нантной стратегией всех агентов в игре Г0 будет выбор единичных действий, то есть в структуре реализуется вектор x0 = (1, 1, 1), приводящий к выигрышам: f1d = 2, f2d = -7, f3d = 4.

Пусть k = 1, то есть центром назначен первый агент. Тогда - + Q1 = {2}, Q1 = {2}, Q1 = ; P1- = {2}, P1+ =, R1 = {2}, + R1 =. Оптимальной является следующая стратегия центра:

0, y2 = u1 (y2) = 1, y2 = 1, реализующая вектор действий x1 = (0, 0, 1).

При этом f1- = 3 > f1d.

Пусть k = 2, то есть центром назначен второй агент. Тогда - + Q2 = {1, 3}, Q2 = {1}, Q2 = {3}; P2- = {1, 3}, P2+ =, - + R2 = {1}, R2 = {3}. Сравнивая выигрыши центра при побуждении первого и третьего агента к выбору нулевых действий ( f2- = -5, f2+ = -2), получаем, что выгоднее побуждать третьего агента, используя следующую оптимальную стратегию центра:

0, y3 = u2 (y3) = 1, y3 = 0, которая реализует вектор действий x2 = (1, 1, 0).

Пусть k = 3, то есть центром назначен третий агент. Тогда - + Q3 = {1}, Q3 =, Q3 = {1}; P3- = {1}, P3+ =, R3 =, + R3 = {1}. Оптимальной является следующая стратегия центра:

0, y1 = + u3 (y1) = 1, y1 = 0, которая реализует вектор действий x3 = (0, 1, 1). При этом f3+ = 5 > f3d.

Отметим, что, варьируя структуру, можно реализовать четыре из восьми возможных состояний системы.

Сводка результатов приведена в таблице 2, содержащей выигрыши агентов при различных назначениях центров, а также (для сравнения вариантов) – вариант xp = (0; 1; 0), оптимальный по Парето, и значения суммы целевых функций агентов.

f1 f2 f f x0 2-74-x1 3 -51-x2 -1 -2 3 x3 1-4 xp -Табл. 2. Выигрыши агентов в примере Из таблицы 2 видно, что каждому из агентов выгодно быть центром по сравнению с игрой Г0 и с назначением центром другого агента. • Полученные результаты свидетельствуют о том, что, вопервых, далеко не все состояния системы могут быть реализованы изменением структуры линейных ОС, а, во-вторых, что решение задачи структурного синтеза даже для линейных ОС (являющихся в некотором смысле простейшими) достаточно трудоемко.

Обусловлено это, в частности тем, что, выбирая некоторую стратегию, центр не может одновременно поощрять или наказывать всех АЭ (см. утверждение 6). Выходом является введение побочных платежей (см. теоретическое обоснование в [24, 25, 76]).

Поэтому перейдем к исследованию моделей ОС с побочными платежами.

7. РОЛЬ ПОБОЧНЫХ ПЛАТЕЖЕЙ Общее решение иерархической игры Г2 в двухуровневой ОС было получено в [25]. Там же, а также в [24, 45, 51, 76], показано, что введение побочных платежей существенно упрощает как структуру оптимального решения, так и процесс его поиска.

Формально, в игре с побочными платежами целевые функции первого и второго агентов имеют, соответственно, вид:

f1(y1, y2, z) = f1(y1, y2) – z, f2(y1, y2, z) = f2(y1, y2) + z, где в игре Гz = (y2): A2 1 – побочный платеж.

+ Легко показать, что в играх Г0 и Г1 использование побочных платежей не имеет смысла: второй агент выберет те же действия, что и в отсутствии побочных платежей, при этом оптимальный размер платежа с точки зрения первого агента равен нулю. Поэтому в дальнейшем под игрой с побочными платежами будем понимать игру типа Г2 с соответствующим видом целевых функций агентов.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 13 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.