WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 13 |

Таким образом, равновесие игры агентов из множества Si можно записать в виде (6) NE1(Si, yGi) = {ySi ASi | j Si yj Aj fj(yGi, ySi, (NE1(Li, yGi+1))) fj(yGi, ySi|yj, (NE1(Li, ySi|yj, yGi)))}, i i i = 1, m - 1.

Выбор агентами первого уровня действий из множества (7) NE1(S1, ) = {yS1 AS1 | j S1 yj Aj fj(yS1, (NE1(L1, yS1))) fj(yS1|yj, (NE1(L1, yS1|yj)))}.

1 N индуктивно задает множество E1 ( ) равновесных состояний m системы со структурой : NE1(S2, NE1(S1, )) и т.д. Другими m словами, игра типа Г1 является обобщение игры Г1 или игры Штакельберга на многоэлементный и многоуровневый случай.

Равновесие в игре типа Г2 строится более сложным образом, чем в игре типа Г1, поэтому исследуем его ниже для частного случая ОС с побочными платежами.

Прежде всего, рассмотрим случаи (классы исходных игр, то есть моделей агентов), в которых введение структуры не изменяет равновесия и, следовательно, не изменяет значения критерия эффективности.

Обозначим – структуру, в которой все n агентов находятся на одном уровне иерархии (очевидно, что структура с m = единственна).

d Утверждение 1. Если в игре Г0 множество E0 ( ) равновесий в доминантных стратегиях не пусто, то m = 1, n, m K1( ) = max f0(y).

m d yE0 ( ) Справедливость утверждения 1 следует из определения (1) РДС. Содержательно это утверждение означает, что, так как каждый агент выбирает свои стратегии независимо от выбора других агентов, то изменение последовательности выбора стратегий не изменит равновесия. Другими словами, системы, в которых существует РДС, неуправляемы в смысле K1( ).

Отметим, что существенным в утверждении 1 является невозможность выбора агентами действий, являющихся функциями от стратегий других агентов – как показывает приводимый ниже пример 1, в этом случае (качественно соответствующем игре Г2) системы, в которых существует РДС, управляемы в смысле K2( ).

Поясним последнее утверждение. В определении (1) доминантной стратегии i-го агента фигурирует произвольная, но фиксированная (то есть одинаковая в обеих частях неравенства), обстановка игры для этого агента. В игре типа Г2 на структуре, m в которой i Sk, j Sl, l < i, действие j-го агента является функцией от действия i-го агента yi. Поэтому оптимальная стратегия iго агента в этой игре может отличаться от стратегии, которая была оптимальна для него в игре Г0 – может оказаться, чтоArg max fi(y-i-j, yi, yj) Arg max fi(y-i-j, yi, uj(yi)) =.

yiAi yiAi Рассмотрим следующий пример, иллюстрирующий утверждение 1 в ОС с двумя агентами.

Пример 1 [76]. Пусть ОС включает двух агентов, целевые функции которых имеют вид9: fi = yi + (1 – y-i), yi Ai = [0; 1], i i = 1, 2. В данной ОС в игре Г0 имеется РДС, в котором оба агента выбирают действия тождественно равные единице и получают единичные выигрыши. Равновесие и выигрыши в игре Г1 такие же.

Рассмотрим игру Г2. Пусть i-ый агент выбрал 0, y-i = ui(y-i) = 1, y-i 0, i = 1, 2.

При этом в случае, когда 1 агент -i выбирает нулевое дейст-i вие, а при 1 – единичное. Агенту i это выгодно при 1.

-i i Следовательно, игра Г2 (без побочных платежей) выгодна обоим агентам при выполнении условия 1, i = 1, 2. В этой i игре они получают выигрыши { }. Если условие 1, i = 1, 2, i i не выполнено, и побочные платежи запрещены, то каждый из агентов будет использовать доминантную стратегию, гарантирующую единичный выигрыш. Содержательно условие i означает, что "вклад" оппонента в целевую функцию i-го агента не меньше, чем его собственный вклад.

Таким образом, если выполнено условие 1, i = 1, 2, то i обоим агентам одинаково выгодно, чтобы кто-либо из них (или они оба) был центром (делал первый ход). Несколько забегая вперед, рассмотрим что произойдет, если допустить возможность осуществления побочных платежей (см. общие результаты об эффективности использования побочных платежей в [24, 25, 76], а также ниже), при которых целевые функции агентов имеют вид (если i-ый агент является центром) fi = yi + (1 – y-i) – zi, f-i = yi y-i-j обозначает вектор, отличающийся от вектора y A' отсутствием i-ой и j-ой компонент.

Понятно, что в двухагентой ОС y-1 = y2, y-2 = y1.

+ (1 – yi) + zi, i = 1, 2. Пусть первый агент выбирает единичi -i, y-i = i ное действие и использует следующий платеж: zi = 0, y-i 0.

Тогда агент -i выберет нулевое действие при 1. Следовательi но, использование побочного платежа выгодно i-му агенту, если 1. Область компромисса при этом определяется величиной i Qi = – 1. Таким образом, при выполнении следующего условия:

i max {, } 1, которое является более слабым, чем условие i -i 1, i = 1, 2, хотя бы одному агенту выгодно быть центром и i получить выигрыш. Агент, не являющийся центром, получает i единичный выигрыш.

Если выполнено условие 1, i = 1, 2, и разрешены побочi ные платежи, то возможна ситуация, в которой обоим агентам выгодно быть центром. При этом они начнут конкурировать за право быть центром. Победителем в этой конкуренции (диктатором) станет агент, имеющий большее значение параметра.

i Легко видеть, что конкуренция невыгодна диктатору, поэтому в случае 1, i = 1, 2, использование побочных платежей нецелеi сообразно.

Мы рассмотрели два случая. В первом управление заключалось в выборе агентом, делающим первый ход, своего действия в виде функции от действия второго агента. Во втором случае от действия второго агента зависел размер побочного платежа, но действие первого агента было фиксировано. В общем случае первый агент может выбирать зависящим от действия второго агента и свое действие, и размер платежа [24, 25]. •Итак, в настоящем разделе сформулирована в общем виде задача структурного синтеза. Приведенное выше построение равноm весия в игре Г1 свидетельствует о высокой вычислительной сложности этого класса задач. Поэтому рассмотрим ряд частных случаев задачи структурного синтеза, а именно – веерные структуры, линейные системы, системы с побочными платежами и др.

Символ " " здесь и далее обозначает окончание примера, доказательства и т.д.

4. ВЕЕРНЫЕ СТРУКТУРЫВеерной организационной структурой называется двухуровневая структура, в которой на верхнем уровне иерархии находится один управляющий орган (центр), а на нижнем – управляемые субъекты (АЭ).

Если имеется множество агентов I (см. описание исходной игры в нормальной форме в предыдущем разделе), то задача синтеза оптимальной веерной структуры, фактически, заключается в оптимальном назначении центра (то есть в определении номера агента, которого следует назначить центром). Для решения этой задачи достаточно вычислить n равновесий (каждое – для «своего» центра) и, сравнив значения критерия эффективности, выбрать оптимальное назначение.

Обозначим – веерную структуру (m = 2), в которой цен2i тром является i-ый агент.

Решение для игры Г1 можно получить следующим образом.

Определим равновесие Нэша игры агентов из множества I\{i}, если центр, которым назначили i-го агента, выбрал действие yi Ai:

(8) NE1(I\{i}, yi) = {yI\{i} AI\{i} | j I\{i} yj Aj fj(yI\{i}, yi) fj(yI\{i}|yj, yi)}, i I.

Определим множество действий центра, которые максимизируют его гарантированный выигрыш в игре Г1:

(9) Xi = Arg max min fi(yI\{i}, yi), i I.

yiAi yI \{i}NE1(I \{i},yi ) И, наконец, вычислим (в рамках гипотезы благожелательности агента, назначенного центром) значение критерия эффективности в случае назначения центром i-го агента:

(10) K1( ) = max min f0(yI\{i}, xi), i I.

2i xiX yI \{i}NE1(I \{i},yi ) i Таким образом, справедлив следующий результат.

Утверждение 2. Решение задачи синтеза оптимальной веерной структуры (в смысле игры Г1) имеет вид:

Разделы 4, 6 и 12 написаны совместно с В.Г. Балашовым.

* (11) i1 = arg max K1( ).

2i iI Решение для игры Г2 можно получить следующим образом.

Определим равновесие Нэша игры агентов из множества I\{i}, если центр, которым назначили i-го агента, выбрал стратегию ui: A-i Ai, где A-i = Aj :

ji (12) NE2(I\{i}, ui( )) = {yI\{i} AI\{i} | j I\{i} yj Aj fj(yI\{i}, ui(yI\{i})) fj(yI\{i}|yj, ui(yI\{i}}|yj))}, i I.

Следует подчеркнуть, что в данной модели центр использует унифицированное (одинаковое для всех АЭ) управление, так как выбираемая им функция от стратегий других агентов должна принимать значения из множества Ai. Этот факт существенно усложняет поиск и анализ аналитического решения (по сравнению с моделями, рассматриваемыми в [75, 76]). В то же время, задача существенно упрощается, если допустимы персонифицированные побочные платежи (см. ниже).

Определим множество стратегий центра, которые максимизируют его гарантированный выигрыш в игре Г2:

(13) Ui = Arg max min fi(yI\{i}, ui(yI\{i})), i I.

ui yI \{i}NE2(I \{i},ui ()) И, наконец, вычислим (в рамках гипотезы благожелательности агента, назначенного центром) значение критерия эффективности в случае назначения центром i-го агента:

(14) K2( ) = max min f0(yI\{i}, ui(yI\{i})), i I.

2i uiUi yI \{i}NE2(I \{i},ui ()) Таким образом, справедлив следующий результат.

Утверждение 3. Решение задачи синтеза оптимальной веерной структуры (в смысле игры Г2) имеет вид:

* (15) i2 = arg max K2( ).

2i iI Рассмотрим ряд частных случаев задачи синтеза оптимальной веерной структуры ОС и приведем иллюстративные примеры.

В теории игр двух лиц известен термин «борьба за лидерство», означающий, что не существует ситуации игры, в которой каждый из агентов получал бы не менее, чем он мог бы получить, делая ход первым (то есть – в соответствующей игре Штакельберга). Известно, что, если игра двух лиц имеет хотя бы два эффективных равновесия Нэша с различными векторами выигрышей, то имеет место борьба за первый ход [107].

Анализ задачи синтеза оптимальной веерной структуры ОС может быть упрощен за счет использования результатов, полученных в [76] при сравнении игр Г0 и Г1.

Фиксируем произвольное множество (коалицию) S I. Пусть существует равновесие Нэша игры Г0 всех n агентов. В [76] доказано, что, если произвольная коалиция имеет право первоочередного хода, то, сообщая соответствующие компоненты равновесных по Нэшу действий, агенты из этой коалиции (выбирая действия одновременно) они могут только сузить множество итоговых равновесий Нэша. Другими словами, при фиксации части равновесных стратегий множество равновесных стратегий других агентов не расширяется. Следовательно, если исходное множество равновесий содержит более одного элемента, и различным его элементам соответствуют различные компоненты действий агентов из некоторой коалиции, то члены коалиции, выбирая свои стратегии первыми, могут сузить множество итоговых равновесий, то есть побудить остальных агентов к выбору определенных равновесных стратегий. В каких случаях и кому это выгодно Очевидно, что, если все элементы множества равновесий Нэша эффективны по Парето и приводят к разным векторам выигрышей, то всегда найдется агент, для которого изменение равновесия невыгодно. «Цена вопроса» для агентов из коалиции S определяется разностью между их выигрышами при «текущем» равновесии и максимумом выигрышей, которые они могут получить, делая ход первыми и выбирая не обязательно компоненты равновесных действий, то есть не только сужая множество равновесий, но и изменяя его. Другими словами, в игре Г1 первоочередной выбор некоторыми агентами «неравновесных» (в исходной игре Г0) стратегий может оказаться более выгодным, чем выбор компонент некоторого равновесия.

Пример 2 [76]. Рассмотрим ОС, состоящую из четырех агенyiтов, имеющих целевые функции fi(y) = yi –, ri > 0, 2( y - 4ri ) j j i yi Ai = [0; + ), i = 1, 4. Содержательно fi(y) – прибыль i-го агента, зависящая от его действия, причем эффективность его деятельности (знаменатель второго слагаемого) зависит от действий других агентов. Рассмотрим последовательно ряд иерархических игр.

Вычислим равновесие Нэша и равновесные выигрыши в игре N N Г0: y0i = – ri, fi(yN) = y0i /2, i = 1, 4.

r j j i Предположим, что i-ый агент обладает правом первого хода, но не узнает выборов других агентов, то есть реализуется игра Г1.

Пусть i-ый агент выбрал дейсвтие i Ai и сообщил ее другим агентам, которые придут в равновесие Нэша, имея целевые функции:

yj fj(y) = yj –, j i.

2( i + yk - 4rj ) k i, j N Это равновесие есть: y1 j = 2 – i, j i. Равновесные r k k i, j N выигрыши: f1N = y1 j /2, j i.

j Целевая функция i-го агента может быть записана в виде if1N ( i ) = i –. Максимум этого выражения, i N 2(4 y0i - 3i ) N * N равный f1N * 0.6 y0i, достигается при 1i 0.83 y0i. Выигi рыши других агентов равны: f1N 1/2 [1.17 – 0.83 (rj – r k j k i, j ri)], j i.

Так как f1N * > fi(yN), i I, то любому из агентов поодиночке i выгодно разыгрывать игру Г1, делая первый ход. Более того, если r – ri 0, то выделение i-го агента в качестве центра выгодно j j i всем участникам ОС.

Выше упоминалось, что выбор одним из агентов равновесной стратегии до выбора других агентов не ухудшает его выигрыша.

В настоящем примере оказывается (так как равновесие Нэша в игре Г0 всех четыре агентов единственно), что выбор им неравновесной стратегии строго увеличивает его выигрыш в игре Г1 по сравнением с игрой Г0. • Завершив рассмотрение примеров, вернемся к исследованию задач структурного синтеза.

5. ОДНОРОДНЫЕ ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ Рассмотрим в некотором смысле предельный случай, а именно – однородную ОС, то есть такую, все участники которой одинаковы. В однородной ОС функции выигрыша fi(y) всех агентов одинаковы и, более того, симметричны относительно произвольных перестановок переменных (требование анонимности [65]), то есть: Ai = A, fi(y) = f(y), i I, причем z, t A f(…, z, …, t, …) = f(…, t, …, z, …).

Казалось бы, так как агенты одинаковы, то вести себя они должны одинаково, то есть изменение структуры (порядка ходов) не должно изменять состояния системы. Однако это не всегда так.

Введем множество (16) P(f) = Arg max f(y) yA' векторов действий агентов, на которых достигается максимум целевой функции каждого из них. Предположим, что целевая функция такова, что множество (16) выпукло и компактно. Тогда легко видеть, что множество (16) в силу анонимности всегда содержит элемент x An вида x = (z, z, …, z), где z A.

N Утверждение 4. Если E0 ( ) = P(f) = {x}, x = (z, z, …, z), z A, то в однородных ОС изменение структуры не изменяет равновесного состояния системы.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 13 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.