WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 13 |

3. ЗАДАЧА СТРУКТУРНОГО СИНТЕЗА Выше были введены три типовые структуры: вырожденная, линейная и матричная. Возможны и другие (более или менее детальные классификации): например, в [1] выделяются следующие основные виды организационных структур промышленных фирм: иерархическая (которая порождается декомпозицией высшей цели организации на цели, подцели и т.д.), функциональная (декомпозиция производится на основании функций (исследование, производство, маркетинг и т.д.)), дивизиональные (декомпозиция по относительно независимым отделениям, каждое из которых может иметь ту или иную структуру), матричная (наложение «горизонтальной» ответственности руководителей проектов на функциональную структуру). Существуют «переходные» структуры – например, дивизионально-региональная, дивизионально-технологическая, дивизионально-продуктовая и др.

Перейдем к рассмотрению формальной (теоретико-игровой) модели структурного синтеза.

Рассмотрим множество I = {1, 2, …, n} активных4 агентов (использование термина «агент» обусловлено, во-первых, тем, что в рамках сетевого взаимодействия каждый из субъектов имеет потенциальную возможность выступать как в роли центра, так и в роли АЭ, а, во-вторых, очень условной близостью рассматриваемой модели к многоагентным системам (multi-agent or agent-based systems) [99, 108, 109]). Предположим, что каждый агент имеет непрерывную целевую функцию fi(y), отражающую зависимость его выигрыша от вектора действий y = (y1, y2, …, yn) A’ всех агентов. Будем считать, что действие iго агента принадлежит выпуклому компактному5 множеству Ai, и выполнена гипотеза независимого поведения [10, 75] (ГНП), в соответствии с которой A’ = Ai.

iI Совокупность {I, (fi( ))i I, (Ai)i I} множества агентов, их целевых функций и допустимых множеств определяют игру Г0 в нормальной форме [36], в которой все агенты одновременно и независимо (кооперативные эффекты, если не оговорено особо, рассматривать не будем) выбирают свои стратегии [25, 36, 76, 107].

Введем ряд определений.

Выбор действия yid Ai называется доминантной стратегией i-го агента, если (1) y-i A-i, yi Ai fi(yid, y-i) fi(yi, y-i), Под активностью понимается способность субъекта, обладающего собственными целями и интересами, выбирать свои действия.

В большинстве рассматриваемых ниже примеров множества допустимых действий каждого агента составляют положительную полуось. Если требование компактности существенно, то можно ограничиться конечным отрезком положительной полуоси, выбирая правую границу этого отрезка достаточно большой для того, чтобы все максимумы и минимумы достигались левее ее.

где y-i = (y1, y2, …, yi-1, yi+1, …, yn) A-i = Aj – обстановка игры ji для i-го агента, i I. Если каждый агент имеет доминантную стратегию, то их совокупность называется равновесием в доминантных стратегиях (РДС). Множество доминантных стратегий в d игре Г0 обозначим E0 ( ).

В настоящей работе принята следующая система обозначений, отражающая зависимость равновесия от структуры: буква E обозначает равновесие (equilibrium), верхний индекс обозначает тип равновесия: "d" – РДС, "N" – Нэша и т.д., нижний индекс – тип игры: "0" – игра Г0, "1" – Г1, "2" – Г2 и т.д., в скобках указывается структура, для которой определяется равновесие.

Вектор действий yN A’ называется равновесием Нэша, если (2) i I, yi Ai fi(yiN, y-iN) fi(yi, y-iN).

N Множество равновесий Нэша в игре Г0 обозначим E0 ( ).

Любое непустое подмножество S множества I, включая и само I, называется коалицией. Понятно, что для игры n лиц возможны 2n–1 коалиций. Множество всех возможных коалиций обозначим 2I. Обозначим (y-S*, yS) A’ ситуацию игры, в которой агенты, не входящие в коалицию S I, выбирают действия yi* (i I\S), а агенты из S выбирают действия yj (j S).

С итуация ySN называется сильно равновесной по Нэшу, если для любых коалиций S I и любых yS AS = Aj найдется jS участник коалиции S (i S), такой, что fi(ySN) > fi(y-SSN, yS). Как видно из определения, сильное равновесие Нэша отличается от равновесия Нэша тем, что агенты не только поодиночке не могут увеличить свой выигрыш выходом из равновесия, но и произвольная их коалиция не может, отклоняясь от равновесия, увеличить этим одновременно выигрыш всех своих участников. Множество всех сильных равновесий Нэша в игре Г0 обозначим SN E0 ( ).

Ситуация yP A’ называется эффективной по Парето, если для любой другой ситуации y yP, y A', найдется агент i I, для которого выполнено fi(y) < fi(yP). Множество всех эффективных P ситуаций в игре Г0 обозначим E0 ( ).

Довольно просто показать, что выполнены следующие соотношения:

d N SN N SN P E0 ( ) E0 ( ), E0 ( ) E0 ( ), E0 ( ) E0 ( ).

1 1 1 1 1 При всех привлекательных чертах сильного равновесия Нэша, его использование ограничено тем, что даже в смешанных стратегиях оно существует не во всех играх, поэтому будем ориентироваться, в основном, на равновесие Нэша, используя РДС и сильное равновесие Нэша только если они существуют.

Введем в рассмотрение = (Si)i = 1,m – множество упоряm доченных разбиений множества I на m непересекающихся непустых подмножеств, объединение которых равно I, то есть Si 2I \ { }, Si Sj =, i, j = 1, m, Si = I. Элемент m m i будем называть структурой ОС или просто структурой (см.

содержательные интерпретации ниже).

Число d(m, n) различных размещений n объектов по m «непустым» множествам можно вычислить рекуррентно:

m-d(m, n) = mn – d (i,n). Следовательно, всего имеется Ci m i =n N(n) = d(m,n) вариантов структуры n-агентной системы, то m=есть число вариантов различных структур быстро растет с увеличением числа (см. таблицу 1). Оценка сложности задачи синтеза может быть осуществлена в соответствии с результатами, приведенными в [37].

n 1 2 3 4 5 6 7 89 N(n) 1 3 13 75 541 4683 47293 545835 7087245 n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 N(n) 109 1010 1011 1013 1014 1015 1017 1018 1020 Табл. 1. Число вариантов структуры n-агентной системы Фиксация задает разбиение множества агентов на m m m упорядоченных подмножеств, причем Si может интерпретироваться как множество агентов, находящихся на i-ом уровне иерархии, i = 1, m, которые условимся нумеровать сверху вниз, то есть самым высоким является первый уровень иерархии, самым низким – m-ый уровень.

Перейдем от игры Г0, описанной выше, к иерархической игре m Г, в обозначении которой верхний индекс обозначает число j уровней иерархии в организационной системе (ОС), а нижний индекс j – «глубину рефлексии» в терминах теории иерархических игр [25]. Игра Г1 соответствует случаю, когда агенты, делающие ход раньше, не рассчитывают наблюдать выборы агентов, делающих ходы позже них, то есть игре Штакельберга. Игра Г2 соответствует случаю, когда агенты, делающие ход раньше, рассчитывают наблюдать выборы агентов, делающих ходы позже них, то есть первые могут выбирать свои действия как функции от стратегий последних, и т.д. – см. подробное описание метаигр в [25]. Игры более высоких порядков (j = 3, 4, …) рассматривать в настоящей работе не будем (см. сравнение эффективностей метаигр в [25, 51]).

Установим следующее соответствие между типом игры и структурой ОС: все агенты знают целевые функции и допустимые множества друг друга, кроме того, агенты из множества Si (находящиеся на i-ом уровне иерархии и выбирающие свои стратегии одновременно и независимо) знают выборы всех агентов из множеств (Sj)j < i, i = 1, m (как отмечалось выше, будем нумеровать Si в порядке убывания уровня иерархии). Таким образом, структура порождает m-шаговую иерархическую игру и наm оборот (см. также аналогии в информационных расширениях игр [51, 103]). При этом, в зависимости от конкретной структуры, заданной на одном и том же множестве агентов, каждый из них может выступать как в роли АЭ (находясь на самом нижнем уровне иерархии) или метацентра (находясь на самом высоком уровне иерархии), так и в роли центра промежуточного уровня иерархии.

Предположим, что заданы ограничения:, где – m множество допустимых структур. Под допустимостью, в частности, может подразумеваться ограниченность числа уровней иерархии, ограниченность числа агентов на определенном уровне, определенные соотношения между числом агентов на различных уровнях и т.д. Отметим, что в рамках рассматриваемого описания все агенты, находящиеся на одном и том же уровне иерархии, являются «неразличимыми по подчиненности», то есть имеет смысл говорить о подчиненности уровня уровням, но не об индивидуальной подчиненности; детализация индивидуальных связей подчиненности еще более увеличит сложность решаемой задачи.

Другими словами, каждый агент некоторого уровня подчинен всем агентам всех более высоких уровней иерархии.

Обозначим Ej( ) A’ – множество6 равновесных (по Нэшу, m m если не оговорено другое) действий агентов в игре Г, j = 1, 2, j разыгрываемой участниками структуры, m = 1,n, f0(y) – критеm рий эффективности, отражающий предпочтения лица, принимающего решения7 (ЛПР), на множестве состояний ОС. Под состоянием ОС здесь и далее будем понимать вектор действий ее участников, то есть подмножество множества A'. Иногда, что будет каждый раз оговариваться особо, в состояние будем включать размер побочных платежей между участниками. В последнем случае состояние ОС однозначно определяет выигрыши (значения целевых функций) всех агентов.

Тогда задача структурного синтеза заключается в определении числа уровней иерархии m, правил взаимодействия агентов j, и таком распределении агентов по уровням иерархии (то есть в нахождении такой допустимой структуры ОС ), которые макm Определение и свойства этого множества приводятся ниже.

В теоретико-игровых моделях управления иерархическими ОС обычно предполагается, что исследователь операций, решающий задачу управления, находится на позициях оперирующей стороны – центра и не обладает собственными интересами. Поэтому при решении задачи структурного синтеза в качестве критерия эффективности принимается функционал, отражающий интересы внешнего по отношению к ОС субъекта, оценивающего эффективность той или иной структуры.

симизировали бы критерий эффективности при условии, что агенты выбирают равновесные действия (использование максимума по множеству равновесий соответствует гипотезе благожелательности [36, 68] агентов по отношению к ЛПР):

(3) Kj( ) = max f0(y) max.

m yE ( ), j{0,1,2} j m m Задача структурного синтеза в виде (3) является чрезвычайно трудоемкой – в ОС с n агентами для ее решения необходимо определить N(n) равновесий для каждого из трех возможных типов игр (j = 0, 1, 2). Разработка общих (аналитических и вычислительных) методов ее решения является перспективной задачей будущих исследований. В настоящей работе мы исследуем ряд представляющих интерес как с теоретической, так и с практической, точек зрения частных случаев, допускающих получение простого (аналитического) содержательно интерпретируемого решения.

Обозначим, Sj( ) – множество агентов, находящихся в m структуре на j-ом уровне, j = 1,m, Lk( ) = S ( ) – m m j m j =k +1,m множество агентов, находящихся в структуре ниже k-го уровm ня, Gk( ) = S ( ) – множество агентов, находящихся в m j т j=1,k-структуре выше k-го уровня. Очевидно, что, m m k = 1, m Lk( ) Sk( ) Gk( ) = I. Содержательно, Sk – мноm m m жество равноправных между собой (в смысле момента выбора стратегий и информированности) агентов, находящихся на k-ом уровне иерархии, Gk – множество их «начальников», Lk – множество их «подчиненных». Рассмотрим три типа игр.

Игра Г0, разыгрываемая множеством агентов I, не зависит от структуры (отношений подчиненности), так как в ней все агенты принимают решения одновременно и независимо.

Игрой типа Г1 назовем игру, в которой стратегией i-го агента, независимо от того, какому уровню иерархии он принадлежит, является безусловный (то есть не зависящий от выборов других агентов, принимающих решения позднее) выбор элемента множества Ai, i I.

Игрой типа Г2 назовем игру, в которой стратегией i-го агента, принадлежащего Sk, то есть k-му уровню иерархии, является выбор функции ui: Aj Ai, i I, то есть выбор элемента jLk множества Ai, зависящий от действий, выбираемых агентами из множества Lk.

Определим равновесие в игре типа Г1, в которой, в том числе, агенты из множества Sm, то есть агенты, находящиеся на самом низком уровне иерархии, делают свой выбор, зная стратегии, выбранные агентами из множества Gm = I \ Sm. Будем считать, что они выберут равновесные по Нэшу действия, то есть действия из следующего множества:

(4) NE1(Sm, yGm) = {ySm ASm | i Sm yi Ai fi(yGm, ySm) fi(yGm, ySm|yi)}, где yGm = (yi)i Gm AGm = Ai – вектор действий агентов из iGm множества Gm, ySm = (yi)i Sm ASm = Ai – вектор действий iSm агентов из множества Sm, ySm|yi – вектор ySm действий агентов из множества Sm, в котором действие i-го агента, i Sm, заменено на yi.

В настоящей работе принята следующая система обозначений равновесий в иерархических играх: "NE" обозначает равновесие Нэша (Nash Equilibrium), нижний индекс – тип игры: "0" – игра Г0, "1" – Г1, "2" – Г2 и т.д., в скобках указываются: множество агентов, равновесие игры которых определяется (например, Sm), и стратегии агентов (например, yGm), находящихся на более высоких уровнях иерархии, так как от стратегий последних зависит рассматриваемое равновесие.

Определим соответствие отбора равновесий (СОР) : NE1(Li, yGi+1) NE1(Li, yGi+1), однозначно определяющее с i точки зрения агентов из множества Si равновесные стратегии агентов из множества Li (при заданных стратегиях агентов из множеств Si и Gi; напомним, что в рамках принятой системы обозначений Gi+1 = Si Gi), i = 1, m - 1. В качестве СОР может использоваться, например, применяемый агентами индивидуально принцип максимального гарантированного результата (МГР), или другие принципы – оптимистические оценки и т.д.

Агенты из множества Sm-1, то есть агенты, находящиеся на предпоследнем (снизу) уровне иерархии, делают свой выбор, зная стратегии, выбранные агентами из множества Gm-1, и рассчитывая (в силу знания всех допустимых множеств и целевых функций) на выбор агентами из множества Sm стратегий (NE1(Sm, yGm).

m-Таким образом, множество равновесий агентов (m-1)-го уровня есть (5) NE1(Sm-1, yGm-1) = {ySm-1 ASm-1 | i Sm-1 yi Ai fi(yGm-1, ySm-1, (NE1(Sm, yGm))) m- fi(yGm-1, ySm-1|yi, (NE1(Sm, yGm-1, ySm-1|yi))) }, m-где yGm-1 = (yi)i Gm-1 AGm-1 = Ai – вектор действий агентов iGm-из множества Gm-1, ySm-1 = (yi)i Sm-1 ASm-1 = Ai – вектор iSm-действий агентов из множества Sm-1, ySm-1|yi – вектор ySm-1 действий агентов из множества Sm-1, в котором действие i-го агента заменено на yi.

Продолжая по аналогии, обозначим NE1(Li, yGi+1) = { (NE1(Si+1, yGi+1)), (NE1(Si+2, yGi, (NE1(Si+1, y i i+1 i )))), …, ( ), ( ))} Ai – множество равновесных Gi+1 m-2 m- iLi (с точки зрения агентов i-го уровня) действий агентов более низких уровней в зависимости от стратегий агентов i-го и более высоких уровней, i = 1, m - 1.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 13 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.