WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |

Особо следует остановиться на том, что понимать под условиями индивидуальной рациональности при переходе от двухуровневой структуре к трехуровневой, от трехуровневой – к четырехуровневой и т.д. Будем считать, что для агентов из множества L1 должен обеспечиваться гарантированный уровень полезности, равный v1j (см. выражение (88)). При этом может дополнительно проверяться выполнение условий индивидуальной рациональности для агентов из множества S1, и т.д. для каждого шага, на котором увеличивается число уровней иерархии.

Выше приведено описание алгоритма последовательного синтеза структуры в рамках игры типа Г1. Аналогичным образом, пользуясь результатами третьего раздела, можно осуществлять последовательный синтез в рамках игры типа Г2.

Рассмотренный алгоритм последовательного синтеза структуры основывается на использовании предположения о том, что агенты всех уровней в соответствующие моменты времени будут выбирать равновесные по Нэшу стратегии. Отступлением от подобной игровой модели может служить следующая (более общая) модель, в которой агенты, расположенные на каждом уровне иерархии, берут обязательства выбирать действия из определенных множеств и предлагают агентам, принадлежащим более низким уровням иерархии, тоже взять обязательства выбирать действия из определенных множеств. Будем называть эту модель моделью последовательного синтеза с обязательствами.

Пусть агенты из множества S1 взяли на себя обязательство выбрать действия из множества XS1 AS1, и предложили агентам из множества L1 взять обязательство выбрать действия из множества XL1 AL1. Примем, что агенты будут принимать на себя обязательства и следовать им в том случае, если эти обязательства удовлетворяют условиям индивидуальной рациональности, то есть не снижают их выигрыша по сравнению с выигрышем, который они могли бы гарантированно получить, разыгрывая соответствующую игру типа Г0. Условия индивидуальной рациональности, отражающие возможность и целесообразность принятия этих обязательств16, можно записать в следующем виде:

Отметим, что условия индивидуальной рациональности не гарантируют устойчивости реализуемого состояния ОС относительно индивидуальных отклонений агентов, как это имеет место при использовании концепции равновесия Нэша.

(89) q1i = min min fi(xS1, xL1) v0i, i I.

xS1X xL1XLSВ результате получим двухуровневую структуру. Среди агентов из множества L1 можно, в свою очередь, выделить подмножество S2 агентов, которые возьмут обязательство выбрать стратегии из множества XS2 ProjS2XL1 и предложат агентам из множества L2 = L1 \ S2 взять обязательства по выбору действий из множества XL2 ProjL2XL1. Новые условия индивидуальной рациональности для агентов можно записать в следующем виде:

(90) min min min fi(xS1, xS2, xL2) q1i, i I.

xS1XS1 xS 2XS 2 xL2X LВ результате получим трехуровневую структуру, в которой аналогичным образом могут поступить агенты из множества L2 и т.д. до тех пор, пока на нижнем уровне не останется один агент, или пока решение системы неравенств, аналогичной (90), не окажется пустым.

Обозначим A* = {y A' | i I fi(y) v0i} – множество векторов действий агентов, обеспечивающих каждому из них выигрыш не меньший, чем при разыгрывании игры Г0.

Утверждение 16. В модели последовательного синтеза с обязательствами реализуемо любое состояние ОС из множества A*.

Доказательство. Покажем сначала, что из (89) следует (90).

Их отличие заключается в том, что min заменяется на xL1XLmin min. Так как в силу определений множеств XS2 и XLxS 2XS 2 xL2X Lдля них имеет место XS2 XL2 XL1, то min min min fi(xS1, xS2, xL2) min min fi(xS1, xL1), i I, xS1X xS 2XS 2 xL2X xS1X xL1XLS1 L2 Sчто и требовалось доказать.

Фиксируем произвольную точку y* A* и произвольного агента (для простоты будем без потери общности выбирать аген* тов в соответствии с их номерами). Пусть S1 = {1}, XS1 = y1, * XL1 = y-1. Условия индивидуальной рациональности выполняют* ся. Далее, пусть S2 = {2}, XS2 = y2, XL2 = y*1-2 и т.д. В результате все агенты выстроятся в цепочку в порядке возрастания их номеров и будут последовательно выбирать соответствующие компоненты вектора y*. • Рассмотрим два примера, иллюстрирующих модель последовательного синтеза структуры ОС.

Пример 9. Пусть множеством возможных действий каждого агента является положительная полуось. Агент несет затраты ci(yi) = yi2 /2ri по выбору действия yi и получает вознаграждение ai в случае, если сумма действий всех агентов оказывается не меньше плана x 0, в противном случае вознаграждение равно нулю, i I. Вычисляя yi+ = 2airi, i I, запишем множество равновесий Нэша в игре Г0:

N E0 ( ) = {y A' | yi [0; yi+ ], yi = x}.

iI Легко видеть, что v0i = 0, i I. Фиксируем множество агентов S1 I и вычислим xS1 = x – yi+. Определим множество iLXS1 = {yS1 AS1 | yi [0; yi+ ], yi = xS1} iSПарето-эффективных действий агентов из множества S1, обеспечивающих им гарантированный выигрыш v1i = max {0; ai – ci(xS1)} v0i, i S1.

Видно, что любому агенту выгодно выступать в роли центра, делающего ход первым и вынуждающего остальных агентов согласиться на нулевой выигрыш. При этом трехуровневой структуры реализоваться не может, так как действия агентов, находящихся на втором уровне, определяются однозначно. • N Если в рассмотренном примере все множество E0 ( ) равновесий Нэша было эффективным по Парето и введение структуры позволяло сужать это множество, позволяя агентам, делающим ход первыми, выбирать наиболее выгодные для себя равновесия, то в следующем примере равновесие Нэша неэффективно по Парето и введение структуры позволяет реализовывать эффективные состояния системы.

Пример 10. Пусть fi(y) = yi – yi2 / 2(ri + y ), i I. Тогда i j j равновесие Нэша состоит из единственной точки с координатами * yi = ri / 2 + / 2 n, i I.

r j jI Введение произвольной структуры, в которой центры выбирают и обязывают выбирать подчиненных действия строго большие равновесных по Нэшу дает всем участникам ОС дополнительный выигрыш (но реализуемое состояние не является равновесным по Нэшу). Более того, введение произвольной структуры, в которой в рамках игры типа Г1 центры выбирают действия, строго большие своих равновесных по Нэшу действий, а остальные агенты либо разыгрывают равновесие Нэша, либо увеличивают число уровней иерархии путем фиксации частью из них своих действий по тому же принципу, также дает всем участникам ОС дополнительный выигрыш. • Таким образом, в ряде случаев использование процедур последовательного синтеза структуры ОС позволяет получить удовлетворительное решение с гораздо меньшими вычислительными затратами, чем при решении общей задачи структурного синтеза.

14. СТРУКТУРНЫЙ СИНТЕЗ И УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИВ рассматриваемых выше моделях при решении задач структурного синтеза практически не учитывались ограничения на множество допустимых структур. Поэтому в настоящем разделе рассматриваются задачи структурного синтеза в управлении проектами с ограничениями, накладываемыми сетевым графиком.

Предположим, что задан сетевой график некоторого проекта (сеть, вершинами которой являются операции, а дуги отражают технологические ограничения на последовательность выполнения операций). Поставим в соответствие каждой вершине агента – исполнителя работ по данной операции, и введем нумерацию агентов, которая является правильной с точки зрения сетевого графика (то есть такую нумерацию, при которой в сети не суще Настоящий раздел написан совместно с Садовниковым С.В.

ствует дуг, ведущих от агента с большим номером к агенту с меньшим номером [8]; отметим, что такая нумерация, быть может не единственная, всегда возможна, если в сетевом графике отсутствуют контуры, что мы и будем предполагать в дальнейшем).

Сетевой график задает последовательность выбора действий агентами, то есть порождает некоторую технологическую структуру. Отметим, что при этом существенно то, что агенты не могут разыграть игру Г0, в которой все они осуществляют свой выбор одновременно. Поэтому технологической структуре соответствует игра типа Г1, в которой агенты последовательно выбирают свои действия, имея возможность предсказывать (в рамках гипотезы рационального поведения) зависимость выборов агентов с большими номерами от их собственных выборов. В рамках заданной технологической структуры не исключено рассмотрение задач последовательного синтеза (см. предыдущий раздел), однако взятие обязательств является уже метаигрой.

Таким образом, при заданной технологической структуре (сетевом графике) взаимодействие агентов описывается игрой типа Г1, равновесия которой подробно исследовались для производственных цепочек в [75] (техника анализа равновесий для произвольной сети аналогична). Поэтому исследуем структуры, порождаемые в рассматриваемой модели метаиграми, то есть играми типа Г2.

В силу причинно-следственных связей, отражаемых сетевым графиком (даже в метаигре агент не может делать свое действие зависящим от действий агентов, осуществляющих свой выбор после него), допустимыми являются не все возможные структуры, а только такие, в которых на более высоких уровнях иерархии располагаются агенты с большими номерами (осуществляющие свой выбор позже).

Для каждого агента определим множество Vi - агентов, операции которых непосредственно предшествуют операции i, и множество Wi - агентов, операции которых предшествуют операции i, i = 1, n. Далее, для каждого агента определим множество Vi + агентов, операции которых непосредственно следуют за операцией i, и множество Wi+ агентов, операции которых следуют за операцией (в которые существует путь из i-ой вершины), i = 1, n. Отдельные обозначения V1 = {i I | Vi- = }, Vm = {i I | Vi+ = }, введем для множеств входов и выходов сети соответственно.

Например, если сетевой график представляет собой производственную цепочку, то есть все операции выполняются последовательно (примером «производственной цепочки» может служить критический путь), то m = n, V1- = Vn+ = W1- = Wn+ =, Vi - = {i – 1}, Wi - = {1, 2, …, i – 1}, Vi + = {i + 1}, Wi + = {i + 1, i + 2, …, n}, i = 2, n -1.

Множество всех агентов можно разбить на m подмножеств:

V1 и k -1 k -Vk = {i I | Vi- Vj } \ Vj, k = 2, m, j=1 j=таких, что все агенты, принадлежащие подмножеству Vk, могут начинать выполнение своих работ только при завершении выполнения работ всеми агентами из подмножества Vk-1, а, значит, и всеми агентами из подмножеств с меньшими номерами (так как k -Wi- = Vj ).

iVk j=Содержательно, сетевой график порождает «логическое время» – нестрогое упорядочение множества агентов по возможным последовательностям начал соответствующих операций.

Технологической структуре (совокупности связей между работами-агентами) можно поставить в соответствие организационную структуру, в которой Si = Vm-i+1, i = 1, m. Также технолоm гической структуре можно поставить в соответствие организационную структуру, в которой Si = Vi, i = 1, m.

m В структуре агенты имеют возможность разыграть игру m типа Г1, в которой каждый из агентов, принимая решения о выбираемом действии, предсказывает «реакцию» агентов, производящих выбор после него. Как отмечалось выше, разыграть игру Гили игру типа Г2 в структуре невозможно, так как агенты m выбирают действия не одновременно, а в фиксированной последовательности, в том числе – не имея возможности выбирать в качестве стратегии зависимость собственного действия от действий агентов, производящих выбор позднее18.

В структуре, наоборот, агенты (по причинам, совпадаюm щим с указанными выше) не имеют возможности разыграть игру типа Г1 или игру Г0, зато имеют возможность разыграть игру типа Г2, которая заключается в том, что агенты из множества S1 выбирают свои стратегии как зависимости от будущих выборов остальных агентов (то есть агентов из множества L1), далее агенты из множества S2 при известных стратегиях агентов из множества S1 выбирают свои стратегии как зависимости от будущих выборов остальных агентов из множества L2 и т.д., вплоть до агентов из множества Sm-1. Далее, агенты из множества Sm при известных стратегиях агентов из множества Gm выбирают свои действия (отметим, что до сих пор речь шла о выборе стратегий, а не действий), которые определяют действия, выбираемые остальными агентами.

Другими словами, последовательности из m моментов времен выбора агентами своих действий (или стратегий) ставятся в соответствие две m-уровневых структуры: в структуре сначаm ла фактический выбор своих действий производят агенты самого нижнего уровня (соответствующие операциям – входам сети), затем агенты из множества V2 и т.д., вплоть до агентов из множества Vm. В структуре последовательность выбора действий и m нумерация агентов соответствуют сетевому графику.

Таким образом, в игре Г2( ) стратегией ui( ) i-го агента, m принадлежащего k-му уровню иерархии, является отображение Отдельный класс игр составляют ситуации, в которых агенты предварительно договариваются относительно вектора выбираемых действий и устанавливают наказания отклонившимся, а затем производят собственно выбор действий. Подобные игры (с эффектами кооперации) выходят за рамки настоящего исследования.

ui: Aj Ai множества действий агентов, осуществляющих jLk выбор действий до него (и стратегий – после него) во множество его допустимых действий, i Sk, k = 1, m.

Следующее утверждение устанавливает связь между свойствами стратегий агентов в играх Г1( ) и Г2( ).

m m Утверждение 17. Для любой технологической структуры и для любого равновесия x E1N ( ) существует набор стратегий m (91) uxi(yLk) = xi, если y = x, j Lk j j arg = min min f (xLq, yGq, xSq | y ), если ! j Sq : y x, j j j j yiAi yGq \ yi AGq \ yi xi, если j, l : j l, y x, yl xl, j,l Lk j j i Sk, k = 1, m, в игре типа Г2( ), обеспечивающий всем агентам ту же полезm ность.

Доказательство. Из (91) следует, что каждый из агентов обязуется выбрать то же действие, что и в соответствующей игре типа Г1 при условии, что все агенты, производящие выбор до него, также выберут требуемые действия (первый случай). Если один из агентов отклоняется (второй случай), то все агенты, производящие выбор после него, осуществляют наказание. И, наконец, в третьем случае, когда отклонились два или более агентов, практически не важны обязательства остальных – для определенности считается, что остальные отклоняться или наказывать в ответ не будут. Так как x E1N ( ), то в силу (91), в m игре Г2( ), во-первых, агентам невыгодно одностороннее отm клонение от вектора «планов» x, и, во-вторых, они в “равновесии”, получат ту же полезность, что и в в игре Г1( ). • m Содержательно, утверждение 17 означает, что допущение возможности выдвижения агентами требований к своим «предшественникам» в сетевом графике (а эта ситуация чрезвычайно распространена в управлении проектами – см. [75, 93]) не сужает множества равновесных состояний ОС, и может оказаться более выгодным даже с точки зрения всех агентов.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.