WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 ||

* * Эта ситуация изображена на рис. 2.3: оптимальный товарный набор (x1, x2) находится на границе потребительского множества. Функция полезности * максимизируется в точке M, где x* = (x1,0). В этой точке гамбургеры не потребляются вообще, так как любая точка линии бюджетного ограничения, в которой покупается положительное количество гамбургеров (x2 > 0), даст потребителю меньшую полезность, чем точка M. Заметьте, что в точке М линия бюджетного ограничения не обязательно касается кривой безразличия U3. На рис. 2.3 в этой точке бюджетная линия оказывается более пологой, чем кривая безразличия. Следовательно, в данной ситуации в точке оптимума соотношение цен двух благ оказывается меньше, чем предельная норма замещения второго товара первым:

p* * < MRS21 (x1, x2) (2.27) pВ противоположность случаю с внутренним максимумом, неравенство между MRS и соотношением цен может возникать при угловом решении, потому что дальнейшее увеличение потребления первого блага за счёт сокращения количества второго блага уже невозможно. При данном наклоне бюджетной линии «внутренний» максимум достигается только при отрицательном количестве гамбургеров (x2 < 0), что вполне логично с точки зрения математики, однако не имеет экономического смысла.

Если бы гамбургеры резко подешевели, бюджетная линия стала бы круче, и тогда, возможно, потребитель начал бы покупать и гамбургеры. Но это уже стандартная задача на «внутренний» максимум. Хотя угловые решения не будут составлять предмет основного анализа в нашем курсе, нам тем не менее следовало бы помнить о возможности появления таких решений.

Абсолютно взаимозаменяемые блага (совершенные субституты).

Совершенные субституты – это блага, которые служат для удовлетворения одинаковых потребностей, так что потребителю абсолютно всё равно, какой из этих товаров потреблять и они легко заменяют друг друга в потреблении. Предпочтения потребителя в отношении двух таких благ описываются функцией полезности:

U (x1, x2) = a x1 + b x2, где a > 0, и b > 0; a,b = const (2.28) Поскольку товары 1 и xабсолютно взаимозаменяемы в потреблении, то естественно измерять полезность от общего числа этих товаров, значит мы кривые безразличия имеем аддитивную функцию Uполезности. Покажем, что Uкривые безразличия в этом Uслучае будут прямыми линиями.

xРис. 2.4.

(2.29) a x1 + b x2 = const const a (2.30) x2 = - x1, b b a a где - = tg = tg.

b b a Предельная норма замещения MRS =, значит, MRS здесь не убывает, а b является постоянной величиной, отражающей пропорцию, в которой один товар может быть заменён другим. На рис. 2.4 представлена карта кривых безразличия для товаров – совершенных субститутов.

Пусть, например, функция полезности имеет вид: U (x1, x2) = 2x1 + x2. Это означает, что нашему индивиду абсолютно всё равно, потребить две единицы второго блага или одну единицу первого блага. Действительно, x2 a tg = = = = 2 x2 = 2 x1.

x1 b Таким образом, потребитель одну единицу первого блага обменяет только на две единицы второго блага. Следовательно, первое благо является для него в 2 раза более ценным, чем второе благо. В этом состоит экономический смысл коэффициентов в данной функции полезности: они показывают предпочтения потребителя относительно благ из товарного набора.

Приведём несколько примеров абсолютно взаимозаменяемых в потреблении благ.

Для некоторых людей это могут быть Кока-кола и Пепси-кола, конфеты «Мишка косолапый» и «Мишка на севере», автомобили «Вольво» и «Тойота», джинсы «Levis» и «Wrangler».

Задача максимизации полезности для случая совершенных субститутов выглядит следующим образом:

maxU (x1, x2) = max(a x1 + b x2) при условии, что x1, x2 x1, x(2.31) p1 x1 + p2 x2 = I К сожалению, данная задача не может быть решена стандартным способом, описанным в §1. Здесь не выполняется предпосылка о строгой выпуклости отношения предпочтения, кривые безразличия являются прямыми линиями и, следовательно, предельная норма замещения не убывает по мере движения вдоль кривой безразличия, а является постоянной величиной, равной тангенсу угла наклона кривых безразличия. В общем случае наклон бюджетной линии может не совпадать с наклоном линии уровня полезности, как показано на рис.2.5, что приведёт нас к угловому решению, когда будет покупаться только одно из благ. На рис. 2.5 это первое благо, на которое потребитель и тратит весь свой I * * доход: x1 = ; x2 = 0. Если pxсоотношение цен на рынке изменится, и линия бюджетного ограничения станет более крутой, то, возможно, Uпотребитель переключится на Uпотребление второго блага, Uперестав покупать первое.

Здесь предлагается БО авторское решение задачи I * x1 потребительского выбора для X1 = PРис. 2.5.

случая совершенных субститутов, которое не приводится в других учебниках по микроэкономике.

Возможно, вам удастся найти более простое и элегантное решение данной задачи.

Из уравнения бюджетного ограничения выразим x2 через x1 и подставим это выражение в функцию полезности:

I px2 = - x(2.32) p2 pI pU = a x1 + b ( - x1) = p2 p(2.33) p1 I = (a - b ) x1 + b p2 p Исследуем данную функцию, учитывая ограниченную область значений, которые может принимать x1:

a p1 I U = ( - ) b x1 + b b p2 p(2.34) I x0; p Здесь функция полезности U зависит только от x1 и она линейна. Следовательно, a pа) если >, тогда U (x1) – возрастающая функция и её максимум b pI * * достигается при наибольшем значении x1, то есть при x1 =. Тогда x2 = 0.

pa pб) если <, тогда U (x1) – убывающая функция и её наибольшее значение b pI * * будет достигаться при наименьшем значении x1 x1 = 0, x2 =.

p a p1 I I * * в) если =, тогда U не зависит от x1 x0; p1, x2 0; p2.

b p Итак, функция некомпенсированного спроса на товар 1 может быть представлена следующим образом:

I a p* x1 =, если > p1 b p I a p* x(2.35) 0; p1, если b = p a p* x1 = 0, если < b p pЭтот вывод согласуется с принципом углового решения: если MRS > (а в pa нашем случае MRS = ), то потребитель будет потреблять только первое благо.

b Абсолютно xвзаимодополняемые блага (совершенные a комплементы). Это такие Наклон луча= =tg() b товары, которые всегда БО потребляются вместе Uнекоторым индивидом и С всегда в фиксированной X* 2 Uпропорции. В реальной Uжизни примерами таких благ могут служить правая * X1 xи левая перчатка, правый и Рис. 2.6.

левый ботинок, теннисная ракетка и теннисный мяч. Для отдельных потребителей это – чай и сахар, кофе и молоко, джин и тоник. Вообще следует иметь в виду, что принадлежность благ к совершенным комплементам и совершенным субститутам зависит только от вкусов и предпочтений того или иного потребителя. Для кого-то, например, огурцы и помидоры являются взаимозаменяемыми благами, а кто-то потребляет их только вместе в салате как взаимодополняемые товары.

Здесь не выполняются предпосылки о строгой монотонности и строгой выпуклости отношения предпочтения. Функция полезности не дифференцируема и не возрастает при увеличении значения только одной из переменных. Кривые безразличия (см. рис. 2.6) имеют необычную конфигурацию.

Такой вид кривых безразличия означает, что увеличение количества одного из благ без соответствующего увеличения количества другого блага не изменит полезности этого набора для потребителя. Отсюда понятно, что норма замещения одного блага другим в этом случае равна нулю:

x2 RS = - = = (2.36) x1 U=const x В принципе, можно также сказать, что норма замещения одного блага другим бесконечно велика:

xx RS = (2.37) = - = ± xU=const dxПредельная норма замещения MRS = 0, так как - = 0 при подходе справа dxdx( - при походе слева не существует).

dxФункция полезности для совершенных комплементов будет иметь вид:

U (x1, x2) = min{ax1,bx2}, где a,b > 0, a,b = const (2.37) Знак «min» означает, что уровень полезности определяется значением наименьшего из элементов в фигурных скобках. Рассмотрим три возможных случая.

Пусть a x1 < b x2, тогда U (x1, x2 ) = a x1.

В этом случае количество второго блага оказывается избыточным. Пусть теперь a x1 > b x2, тогда U (x1, x2) = b x2.

Здесь избыточным оказывается количество первого блага. И, наконец, предположим, что a x1 = b x2, тогда U (x1, x2) = a x1 = b x2. Здесь товары потребляются в нужных пропорциях. Когда это происходит, x2 a =.

(2.38) x1 b Это и есть пропорция, в которой должны потребляться блага, являющиеся совершенными комплементами. Экономический смысл коэффициентов в данной функции полезности в том и состоит, что они показывают пропорцию потребления взаимодополняемых благ.

Пусть, например, потребитель всегда на одну чашку чая кладёт две ложки сахара: x1 – число чашек чая; x2 – число ложек сахара. Тогда U (x1, x2 ) = min{x1, x2}, то есть a = 1, b =.

Задача максимизации полезности для случая совершенных комплементов выглядит следующим образом:

{ax1,bx2}) maxU (x1, x2 ) = max(min x1, x2 x1, x(2.39) при условии, что p1 x1 + p2 x2 = I К сожалению, данная задача не может быть решена стандартным способам, описанным в §1, так как рассматриваемая функция полезности является недифференцируемой. Её * * графическое решение представлено на рис. 2.6. Оптимальный набор (x1, x2 ) всегда будет находиться на луче, выходящем из начала координат под углом, тангенс которого a равен, в той его точке, где этот луч пересекается с линией бюджетного ограничения.

b На рис. 2.6 это точка С. Данное графическое решение означает, что потребитель максимизирует полезность, полностью расходуя свой доход на покупку товарного набора, и потребляет блага в правильной пропорции.

Однако графический анализ не позволяет вывести функции спроса потребителя.

Здесь предлагается авторское решение задачи потребительского выбора для случая совершенных комплементов, которое не приводится в других учебниках по микроэкономике. Возможно, вам удастся найти более простое и элегантное решение данной задачи.

Из уравнения бюджетного ограничения выразим x2 через x1 и подставим это выражение в функцию полезности:

I p1 I px2 = - x1 U (x1) = mina x1,b ( - x1) p2 p2 p2 p Теперь U зависит только от одной U переменной – x1. В фигурных скобках I PU=b· -b· ·xпредставлены фактически два типа P2 Pзависимости U от x1 : U (x1) = a xU=a·xС I pU (x1) = b - b x1. Обе p2 pзависимости линейные и представлены на рис. 2.7 в виде прямых. Прямая 0 * ' xX1 XU = a x1 имеет положительный наклон Рис. 2.7.

(tg = a). Вторая зависимость pотрицательная: tg = -b. Для того, чтобы определить минимальное значение pфункции, мы сравниваем два значения U на каждой из прямых x1. Очевидно, что на * интервале x1 [0, x1 ):

I pa x1 < b - b x1 U (x1) = a x1, p2 p* / а на интервале x1 (x1, x1 ) :

I p1 I pa x1 > b - b x1 U (x1) = b - b xp2 p2 p2 p* В точке x1 :

I pU (x1) = a x1 = b - b xp2 pИтак, мы определили U (x1) как минимальное из двух наблюдаемых значений U x1. На рис. 2.7 это – жирно выделенная часть графика. А теперь, чтобы максимизировать функцию полезности, нужно из минимальных значений U найти максимальное значение. На графике видно, что максимум U (x1) наблюдается в точке * С, то есть при x1. В этой точке выполняется равенство:

I p1 * * a x1 = b - b xp2 p* Решив это уравнение относительно x1, получим функцию некомпенсированного спроса потребителя на первое благо:

b I * x1 = (2.40) b p1 + a pДля того, чтобы найти функцию некомпенсированного спроса на второе благо, * подставим найденное значение x1 в уравнение бюджетной линии:

I p1 b I * x2 = - p2 p2 b p1 + a pПосле несложных преобразований получаем:

a I * x2 = (2.41) b p1 + a pЛегко видеть, что спрос потребителя на каждое из благ прямо зависит от дохода потребителя и обратно – от цены данного блага. Аналогичная зависимость наблюдалась и для функции полезности Кобба-Дугласа, и для совершенных субститутов. В рассматриваемом случае спрос потребителя на каждое из благ, кроме того, обязательно зависит и от цены другого блага, причём в обратном отношении: чем дороже товар 1, тем меньше спрос на товар 2. Это связано с тем, что совершенные комплементы потребляются только вместе и никогда не потребляются порознь.

Пример для самостоятельного рассмотрения. Выведите косвенную функцию полезности для случая двух благ, являющихся совершенными комплементами.

Pages:     | 1 | 2 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.