WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

В микроэкономической теории для решения задач используются функции полезности конкретного вида. Одной из наиболее часто используемых в экономическом анализе является функция Кобба-Дугласа. Пол Х. Дуглас был экономистом и работал в Чикагском университете, а позже стал сенатором. Чарльз В. Кобб был математиком.

Предположим, что потребительский набор состоит только из двух благ, тогда функция полезности Кобба-Дугласа выглядит следующим образом:

(1.10) U (x1, x2 ) = k x1 x2, где k,, = const, k,, > 0.

Эта функция очень удобна, поскольку она соответствует также и предпосылкам о строгой монотонности и строгой выпуклости отношения предпочтения. Свойство строгой монотонности требует, чтобы функция полезности была возрастающей по каждому из аргументов:

U (x1, x2 ) U (x1, x2 ) > 0 и > 0.

(1.11) x1 xЭто означает, что увеличение количества каждого из благ в товарном наборе увеличивает для потребителя полезность этого набора.

Свойство строгой xвыпуклости предполагает, что UUUUпроекции линий уровня функции полезности на плоскость (x1, x2 ) должны быть строго выпуклы (вниз). На рис. 1.4 представлен график функции Кобба-Дугласа для случая + =1. Это – Uконическая поверхность. Если мы Uосуществим сечение этой U1 Ux1 поверхности плоскостью при Рис. 1.5.

значении полезности U1, то получим линию уровня U1 функции полезности. Спроецировав эту линию на плоскость (x1, x2 ), получаем кривую безразличия, каждая точка которой представляет набор двух благ, имеющих для потребителя одинаковую полезность U1.

Аналогичным образом, осуществив сечение на уровне полезности U2, мы получим кривую безразличия, отражающую для различных товарных наборов значение полезности U2. Так строится карта кривых безразличия, являющаяся отображением линий уровня функции полезности на плоскость (x1, x2 ). Карта кривых безразличия представлена на рис. 1.5. Из понятия функции полезности (см. 1.9) видно, что определение кривой безразличия, данное в §1, идентично определению кривой безразличия, данному здесь.

Свойства кривых безразличия. Много ли свойств у кривых безразличия Это зависит от того, какие предпосылки мы используем в анализе. Предпосылкам, введённым в §1, соответствуют следующие свойства кривых безразличия.

1. Кривые безразличия xне могут пересекаться. Это U– самое общее свойство. Оно UX выполняется для всех видов предпочтений потребителя.

Данное свойство вытекает из Y Z двух основных предпосылок – сравнимости и транзитивности Uотношения предпочтения.

UДоказательство. Допустим, xРис. 1.6.

что две кривые безразличия пересекаются, как показано на рис. 1.6. Поскольку разные кривые безразличия демонстрируют различные уровни полезности от потребления наборов благ, то наборы X и Y, принадлежащие разным кривым, не могут характеризоваться отношением безразличия. Пусть набор X более предпочтителен для потребителя, чем набор Y. В то же время X и Z принадлежат одной кривой безразличия U2 -U2, а также наборы Y и Z принадлежат одной кривой безразличия U1 -U1. Следовательно, X ~ Z и Z ~Y. Из предпосылки о транзитивности отношения предпочтения следует, что X ~Y. Но это противоречит предположению о том, что X Y. Значит, кривые безразличия не могут пересекаться.

2. Каждая следующая кривая безразличия, проходящая дальше от начала координат, отражает бльшую величину полезности, чем предыдущая. Это свойство связано с предпосылкой о строгой монотонности отношения предпочтения. Последняя подразумевает, что функция полезности является строго возрастающей. Отсюда каждая кривая безразличия, расположенная выше, показывает и более высокий уровень полезности. Так, на рис. 1.5 U1 < U2 < U3 < U4, что соответствует сечениям поверхности функции U (x1, x2 ), представленным на рис. 1.4.

3. Кривые безразличия имеют отрицательный наклон. Данное свойство также связано с предпосылкой о строгой монотонности отношения предпочтения.

Пусть первоначально потребитель находится в xточке A, как показано на UUрис. 1.7. потребляемый им товарный набор (x1, x1 ) доставляет полезность U1.

А Если мы увеличим B Xколичество первого блага, оставив при этом C X количество второго блага UUнеизменным, то потребитель X1 X1 xпопадает в точку B, Рис. 1.7.

принадлежащую другой кривой безразличия, отражающей более высокий уровень полезности U2. Если же мы хотим сохранить отношение безразличия, то есть хотим остаться на прежнем уровне полезности U1, тогда увеличение количества первого блага должно сопровождаться уменьшением количества второго блага, xнапример, при переходе из точки A в точку C. Формально: < 0, то есть xотрицательный наклон кривой безразличия. Если предпосылка о строгой монотонности отношения предпочтения не выполняется, то данное свойство отсутствует. Так, например, товарные наборы, включающие в себя антиблаго, принадлежат кривым безразличия, имеющим положительный наклон.

4. Предельная норма замещения (MRS) одного блага другим уменьшается при движении вдоль кривой безразличия. Это свойство является наиболее частным случаем, так как исключает из анализа целый ряд благ и видов предпочтений. Оно базируется на предпосылке о строгой выпуклости отношения предпочтения и требует, чтобы кривые безразличия были строго выпуклыми (вниз). Для понимания экономического смысла данного свойства необходимо ввести в анализ понятие «предельная норма замещения».

Предположим, что потребитель потребляет товарный набор, состоящий из двух благ.

Нормой замещения товара 2 товаром 1 называется то количество товара 2, от которого потребитель готов отказаться ради получения одной дополнительной единицы товара 1, оставаясь при этом на той же самой кривой безразличия (то есть на том же самом уровне полезности):

x2 xRS = (-1) = (1.12) x1 x1 U = const При бесконечно малых приращениях мы можем интерпретировать норму замещения как предельную норму замещения:

x2 dxMRS = lim (- ) = - (1.13) xx1 dxU = const xГеометрический смысл предельной нормы замещения: MRS измеряет наклон кривой безразличия в каждой отдельной точке. Например, на рис. 1.8 в точке A значение предельной нормы замещения A равно тангенсу угла наклона касательной, проведённой к кривой безразличия в данной точке. Строго dxговоря, в точке A = tg. Однако в xРис. 1.dxэкономической теории норма замещения, а соответственно и MRS, чаще всего рассматриваются как положительные величины, dxпоэтому MRS = - = tg.

dx Предположим, что функция полезности представлена в виде: U (x1, x2 ), где x1 и x2 – количества каждого из благ, которые потребляет наш потребитель. Под предельной полезностью потребления блага 1 мы понимаем функцию:

U (x1, x2 ) MU = (1.14) xxПредельная полезность товара x1 есть дополнительная полезность, получаемая от незначительного дополнительного количества товара 1 в потреблении при том условии, что количества всех других товаров в потреблении остаются неизменными.

Очевидно, что величина предельной полезности зависит от точки, в которой частная производная оценивается, то есть она зависит от того, сколько 1-го и 2-го блага индивид потребляет в данный момент.

Мы можем выписать полный дифференциал функции полезности как сумму частных дифференциалов:

U (x1, x2 ) U (x1, x2 ) dU (x1, x2 ) = dx1 + dx(1.15) x1 xЭто уравнение говорит, что дополнительная полезность, получаемая от небольшого приращения 1-го и 2-го блага в потреблении, является просто суммой добавочных полезностей, обеспечиваемых каждым их этих приростов.

U (x1, x2 ) U (x1, x2 ) dU (x1, x2 ) = dx1 + dx2 = (1.16) x1 xЭто уравнение мы используем для того, чтобы развить концепцию MRS, приравняв полный дифференциал к нулю. Равенство нулю означает, что мы остаёмся на той же самой кривой безразличия, то есть, сохраняем уровень полезности без изменения.

MU dx1 + MU dx2 = (1.17) x1 xЗаметим, что в этом случае количества всех других благ остаются постоянными.

Отсюда влияние на dU оказывают изменения только двух благ: x1 и x2. Это такой же подход, который был применён к анализу кривых безразличия.

Произведя несложные преобразования, получаем:

U dxx1 MU x- = =.

(1.18) U dxMU xxU = const Левая часть этого уравнения является просто определением MRS. И отсюда мы получаем вывод, что MRS есть соотношение предельных полезностей двух благ.

Заметим, что MRS при этом не зависит от того, как измеряется полезность, хотя этого нельзя сказать о предельной полезности.

Монотонное преобразование функции полезности.

Монотонное преобразование функции полезности – это новая функция полезности, которая точно также описывает предпочтения потребителя (то есть показывает более или менее предпочтителен тот или иной набор благ), как и первоначальная функция полезности. Пусть, например, существует отношение предпочтения x y (x, y X ). Тогда функция полезности U, по определению, должна отражать это предпочтение следующим образом: U (x) U ( y). Однако, если df какая-либо функция f является монотонно возрастающей ( > 0 на всём dU интервале), тогда она по определению монотонно возрастающей функции должна сохранять соотношение: f (U (x)) f (U ( y)). А это означает, что функция f точно также описывает предпочтение, как и функция f.

Пример.

Потребительские Значения Монотонное наборы. первоначальной преобразование:

функции полезности – V = f (U ) =10 U и его U.

значения.

U (x) =1 V = f (U ) =10 U =x y U ( y) = 2 V = f (U ) =10 U = U (z) = 2 V = f (U ) =10 U = z Обратите внимание, что здесь сохраняется только порядок ранжирования альтернатив, а не числовые значения уровня полезности. Свойства функции полезности, которые инварианты для любого монотонного преобразования называются ординалистскими, или порядковыми. Кардиналистскими (количественными, измеряемыми) свойствами являются те, которые не сохраняются при всех таких преобразованиях. Таким образом, отношение предпочтения, ассоциируемое с функцией полезности, является ординалистским свойством. С другой стороны, числовые значения, возникающие при измерении полезности альтернатив, являются кардиналистским свойством.

Примерами монотонного преобразования функции полезности могут служить:

- умножение её на любое положительное число;

- прибавление к ней любого числа;

- возведение её в положительную степень при условии, что U > 0 и др.

Следовательно, функция полезности, которая представляет отношение предпочтения, не является единственной. Это означает, что при анализе отношения предпочтения x y мы можем использовать не только первоначальную функцию полезности U, но и другие функции, являющиеся её монотонным преобразованием.

§ 3. Бюджетное ограничение потребителя.

В дополнение к физическим ограничениям, воплощённым в потребительском множестве, потребитель сталкивается с важным экономическим ограничением: его потребительский выбор ограничен теми товарными наборами, которые он может позволить себе купить.

Представьте, что вы в течение года подрабатывали, и вам удалось скопить «кругленькую» сумму денег в 1700 американских долларов. Наконец, пришло время потратить эти деньги. У вас есть много желаний и потребностей. Их так много, что даже 3000 долларов не хватит, чтобы удовлетворить самые заветные. Ваши заветные желания следующие: купить себе фотоаппарат и музыкальный центр; съездить отдохнуть и повидать дальние края; сделать подарки родителям. Когда вы пришли в магазины и турагентства, то увидели, что ассортимент товаров и услуг очень широк.

Например, вы можете приобрести дешёвый фотоаппарат, но он выполняет слишком мало функций: не снимает на дальних расстояниях, а также в сумерках и в помещении и т.п. Вы можете купить полупрофессиональный фотоаппарат с множеством функций (ведь фотосъёмка – ваше хобби), но он стоит очень дорого. Таким образом, вам необходимо сделать выбор: какой именно набор благ следует приобрести, чтобы максимально удовлетворить ваши потребности в ситуации ограниченных денежных ресурсов (вы не можете выйти за пределы 1700 долларов).

Чтобы формализовать данное бюджетное ограничение введём в анализ несколько допущений. Предположим, что все N благ из товарного набора продаются на рынке по ценам, измеряемым в денежных единицах (рублях, долларах, йенах и т.п.), и эти цены не являются отрицательными. Заметим, что, в принципе, отрицательные цены могут быть использованы в анализе наряду с положительными. Они означают, что индивид платит за то, чтобы не потреблять данный товар. Это вполне логично для антиблаг, таких, например, как выхлопные газы или сигаретный дым. Тем не менее для простоты мы будем предполагать, что цены товаров не являются отрицательными.

Предположим также, что существует полная определённость в отношении цен, то есть цены благ публично котируются и известны потребителям. Мы можем представить их как ценовой вектор, который показывает денежные затраты на единицу каждого их N товаров:

p p p = p N Допустим ещё, что эти цены находятся вне влияния на них потребителей. Это так называемая “price-taking assumption”: любой индивид принимает ту цену, которая существует на рынке и никаким образом не может её изменить. Следовательно, цены благ в наших моделях (по крайней мере, на первоначальном этапе анализа) будут постоянными величинами:

p, p,..., p = const.

1 2 N Возможность потребления некоторого товарного набора зависит не только от рыночных цен, но также и от уровня богатства потребителя, измеренного в денежном выражении. Предположим, что у нашего потребителя есть некоторая сумма денег, которую он может расходовать в течение рассматриваемого периода времени.

Например, это ежемесячный денежный доход потребителя: заработная плата, стипендия или пенсия. Обозначим данный доход I и допустим, что он не изменяется в течение рассматриваемого периода времени, то есть I = const. Тогда бюджетное ограничение может быть определено следующим образом.

Товарный набор x X становится доступным для потребителя, если общие денежные расходы на его приобретение не превышают дохода потребителя:

p x = p x + p x +...+ p x I.

1 1 2 2 N N Это экономическое ограничение в сочетании с утверждением, что товарный набор N x принадлежит потребительскому множеству X и X = R+, подразумевает, что существует определённое бюджетное множество, которое иногда называют вальрасианским в честь знаменитого экономиста Леона Вальраса.

N Вальрасианское бюджетное множество BP,I = { x R+ : p x I } есть множество всех товарных наборов, доступных для потребителя, сталкивающегося с рыночными ценами p и имеющего доход I. Отсюда проблема потребителя может быть сформулирована как выбор товарного набора x из BP,I при заданных доходе и ценах.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.