WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 ||

Веб – страница + f - fN 0, f = |f(x)|2 dx.

Титульный лист N Если определить функцию DN (x) = 2 DN (x), то интеграл fN (x) можно записать как свертку fN (x) = f DN (x).

Страница 116 из Введем срезающий оператор N. Если f — произвольная функция на оси, то g(x), x [-N, N], Назад N f(x) = 0, x [-N, N].

/ Полный экран Тогда, если преобразование Фурье f = F f функции f существует и как несобственный интеграл сходится равномерно, то простой интеграл Фурье запишется в виде Закрыть fN = F N F f.

Нам будут полезны следующие две леммы.

Выход Лемма A.1 (Интегральное неравенство Минковского). Пусть функция f(x, y) непрерывна. Тогда b d 2 b d dx f(x, y) dy dy |f(x, y)|2 dx.

Ряды Фурье a c c a Интегралы Фурье Предметный указатель (Пределы интегрирования могут быть бесконечными).

Литература Доказательство. Положим Веб – страница d g(x) = f(x, y) dy.

Титульный лист c По неравенству Шварца b b b |f(x, y)g(x)| dx |f(x, y)|2 dx |g(x)|2 dx.

a a a Страница 117 из Заметим, что b d b Назад dx f(x, y) dy = |g(x)|2 dx.

a c a Полный экран Закрыть Выход При этом b b d |g(x)|2 dx dx|g(x)| |f(x, y)| dy a a c Ряды Фурье b Интегралы Фурье d b d b Предметный указатель = dy |f(x, y)g(x)| dx dy |f(x, y)|2 dx |g(x)|2 dx, Литература c a c a a откуда Веб – страница b d b |g(x)|2 dx dy |f(x, y)|2 dx, Титульный лист a c a что и требовалось доказать.

Лемма A.2 (Равенство Парсеваля). Пусть f — финитная непрерывная (кусочно– непрерывная) функция и f — ее преобразование Фурье. Тогда f = f, Страница 118 из т.е.

+ + Назад |f()|2 d = |f(x)|2 dx.

- Полный экран Доказательство. Напомним, что функция называется финитной, если она обращается в ноль на внешности некоторого интервала. Предположим вначале, что f(x) Закрыть обращается в ноль вне интервала [-, ]. Переопределим ее как 2-периодическую, Выход продолжая ее с интервала [-, ] на всю ось как периодическую. Для разложения таким образом переопределенной функции f(x) в ряд Фурье + f(x) cneinx, cn = f(x)e-inx dx, Ряды Фурье n=Интегралы Фурье выполняется равенство Парсеваля для рядов: Предметный указатель Литература + |f(x)|2 dx = 2 |cn|2.

Веб – страница n=Пусть [0, 1). Тогда замещая f(x) функцией e-ixf(x), находим Титульный лист + |f(x)|2 dx = 2 |cn()|2, cn() = f(x)e-i(n+)x dx.

n=- Заметим, что f(n + ) = 2 cn(), Страница 119 из откуда + Назад |f(x)|2 dx = |f(n + )|2.

n=Полный экран Остается проинтегрировать полученное равенство по в пределах от 0 до 1, замечая, что n+ Закрыть |f(n + )|2 d = |f()|2 d.

0 n Выход В силу аддитивности интеграла n+1 + + |f(x)|2 dx = |f()|2 d = |f()|2 d.

n=- n Ряды Фурье Интегралы Фурье Рассмотрим теперь общий случай, считая, что функция f(x) обращается в ноль вне l Предметный указатель интервала [-l, l]. Тогда функция g(x) = f(ax), где a =, обращается в ноль вне Литература интервала [-, ] и для нее верно равенство + + Веб – страница |g(x)|2 dx = |g(x)|2 dx = | d.

g()|- - Титульный лист Но + + + f(at) 2 dt = a |g(x)|2 dx |f(x)|2 dx = a - - и, согласно теореме подобия, Страница 120 из g() = bf(b), b =, a откуда Назад + + + |f()|2 d = |f(b)|2b d = a | d.

g()|Полный экран - - Закрыть Перейдем к основному исследованию.

Выход Если g(x) — финитная гладкая функция, то по теореме Фурье 5.2 интеграл N g()eix d = g DN (x) = F N g (x) = F N F g (x) -N Ряды Фурье Интегралы Фурье сходится к функции g(x) при N. Ревизия доказательства теоремы Фурье покаПредметный указатель зывает, что эта сходимость для финитной бесконечно дифференцируемой функции Литература является равномерной по x на любом конечном интервале.

Пусть функция g обращается в ноль вне интервала [a, b] и пусть K достаточно велико, так что [a, b] (-K, K). Тогда утверждение о равномерной сходимости Веб – страница примет вид max |g(x) - g DN (x)| 0.

x[-K,K] N Титульный лист Воспользуемся неравенством g - g DN 2K max |g(x) - g DN (x)| + |g DN (x)|2 dx.

x[-K,K] |x|>K Напомним, что Страница 121 из b 1 sin N(x - t) |g DN (x)|2 dx = dx g(t) dt Назад x - t a |x|>K |x|>K Полный экран и в силу неравенства Минковского b b Закрыть 1 sin N(x - t) 1 sin2 N(x - t) dx g(t) dt dt |g(t)| dx x - t (x - t)a a |x|>K |x|>K Выход Интеграл по x в правой части неравенства сходится равномерно относительно N и t [a, b] и, если K достаточно велико, может быть сделан сколь угодно малым независимо от N. Пусть > 0 произвольно. Согласно сделанной оценке можно выбрать K столь большим, что независимо от N Ряды Фурье |g DN (x)|2 dx <, Интегралы Фурье Предметный указатель |x|>K Литература Фиксировав K, выберем N столь большим, чтобы Веб – страница 2K max |g(x) - g DN (x)| <, x[-K,K] Титульный лист откуда заключаем, что при N для финитной гладкой функции g g - g DN 0.

Пусть теперь f — финитная непрерывная функция. Мы можем аппроксимировать ее равномерно финитной гладкой функцией, см. пункт 6. В силу финитности отсюда вытекает, что функция f может быть аппроксимирована финитной гладкой функцией g (с любой степенью точности) в среднеквадратичном. Фиксируем > 0 и пусть Страница 122 из f - g <.

Назад Заметим, что в силу неравенства треугольника Полный экран f - f DN f - g + g - g DN + g DN - f DN.

Выберем N столь большим, чтобы Закрыть g - g DN.

Выход Заметим далее, что g DN - f DN = h DN = F N F h,, h = g - f, и в силу леммы A.Ряды Фурье F N F h = N F h F h = h. Интегралы Фурье Предметный указатель (здесь лемма была использована в обоих равенствах). Как следствие Литература f - f DN <, Веб – страница т.е.

f - f DN 0.

Титульный лист N Полученное соотношение будет выполняться и для кусочно непрерывных финитных функций, т.к. такие функции могут быть аппроксимированы в среднеквадра тичном с любой степенью точности непрерывными финитными функциями, после чего предыдущая аргументация повторяется дословно.

Пусть, наконец, f(x) — кусочно непрерывная квадратично интегрируемая функция. Заметим, что опять с использованием леммы A.Страница 123 из B + 2 dx f(t)DN (x - t) dt dx f(t)DN (x - t) dt Назад A K |t| L K |t| L = F N F (Lf - Kf) = N F (Lf - Kf) F (Lf - Kf) Полный экран = Lf - Kf = |f(x)|2 dx.

Закрыть K |x| L Выход Переходя к пределу по L при L получаем B 2 dx f(t)DN (x - t) dt |f(x)|2 dx.

A K |t| K |x| Ряды Фурье Интегралы Фурье Отсюда + Предметный указатель 2 Литература dx f(t)DN (x - t) dt |f(x)|2 dx.

K |t| K |x| Веб – страница Тогда f - f DN f - Kf + Kf - F N F Kf + F N F Kf - F N F f, Титульный лист т.е.

+ + 2 dx f(x) - f(t)DN (x - t) dt |f(x)|2 dx - K |x| + +K + 2 Страница 124 из + dx Kf(x) - f(t)DN (x - t) dt + dx f(t)DN (x - t) dt.

- -K K |t| Назад В этом неравенстве справа первое и третье слагаемые могут быть сделаны сколь угодно малыми при достаточно большом K независимо от N. Среднее слагаемое Полный экран при фиксированном K может быть сделано сколь угодно малым за счет выбора достаточно большого N (функция Kf является финитной). Таким образом, и в Закрыть этом случае f - f DN 0.

N Выход Предметный указатель вариационный принцип, 70 оператор Штурма–Лиувилля Ряды Фурье регулярный, Интегралы Фурье граничные условия, ортогональность векторов, Предметный указатель ортонормированная система, задача Штурма–Лиувилля, Литература замкнутость, регулярная, полнота, Веб – страница интеграл Фурье, плотность C1 в C, преобразование Фурье, 77, коэффициенты Фурье, Титульный лист обратное, в задаче Штурма–Лиувилля, пространство Шварца, вектора, тригонометрические, равенство Парсеваля, 23, 37, краевые условия, для интеграла Фурье, однородные, ряд Фурье в задаче Штурма–Лиувилля, лемма Римана–Лебега, 19, тригонометрический, 15, Страница 125 из минимизирующее свойство коэффицисвертка ентов Фурье, Назад на оси, неравенство периодическая, Бесселя, 18, 23 скалярное произведение, 15, 22, Полный экран Минковского(интегральное), теорема Шварца, Закрыть Дирихле, 34, 35, норма вектора, Пифагора, оператор Фурье, 80 Фурье, 77, Выход унитарность оператора, уравнение замкнутости, условия Дирихле, условия Неймана, Ряды Фурье функция Хевисайда, Интегралы Фурье частотный спектр, 112 Предметный указатель Литература Штурма–Лиувилля задача, Веб – страница оператор, явление Гиббса, Титульный лист ядро Дирихле, для интеграла Фурье, Страница 126 из Назад Полный экран Закрыть Выход Список литературы [1] Бари Н.К. Тригонометрические ряды. ФМ, М., 1961.

[2] Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его применения. ФМ, М., 1963.

Ряды Фурье [3] Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. ИЛ, М., 1948.

Интегралы Фурье Предметный указатель [4] Дороговцев А.Я. Математический анализ. Вища школа, Киев, 1985.

Литература [5] Зигмунд К. Тригонометрические ряды, т.1–2. Мир, М., 1965.

Веб – страница [6] Князев П.Н. Интегральные преобразования. Вышэйшая школа, Минск, 1969.

[7] Привалов И.И. Ряды Фурье. ОНТИ, М., 1934.

Титульный лист [8] Смирнов В.И. Курс высшей математики, т.2. Наука, М., 1974.

[9] Снеддон И. Преобразование Фурье. ИЛ, М., 1955.

[10] Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. ОГИЗ, М., 1948.

[11] Толстов Г.П. Ряды Фурье. Наука, М., 1980.

Страница 127 из [12] Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного, часть 3.

Наука, М., 1970.

Назад [13] Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении, т.1–2. Мир, М., 1985.

[14] Katznelson Y. An introduction to harmonic analysis. Dover publications, N.Y., Полный экран 1976.

Закрыть Выход

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.