WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |

Предметный указатель Мы увидим, что задача на собственные функции и собственные значения операторов Литература краевых задач является источником различных ортонормированных (в определенном смысле) систем — систем собственных функций. Если задача на собственные Веб – страница функции и собственные значения оператора L решена и привела к полной ортонормированной системе (в каком-то смысле) собственных функций 1, 2,..., причем среди собственных значений n нет равного нулю, решение краевой задачи форТитульный лист мально строится элементарно. Действительно, разложим функцию f в ряд Фурье относительно о.н.с. n f = cn(f)n.

n= Будем искать решение y краевой задачи также в виде ряда Фурье Страница 62 из y = cn(y)n.

n=Назад Считая, например, что скорость сходимости этого ряда позволяет пронести оператор L за знак суммы Полный экран L cn(y)n = cn(y)L(n) n=1 n=Закрыть найдем, что уравнение (4.3), ввиду L(n) = nn, примет вид ncn(y) = cn(f), n = 1, 2,...

Выход откуда cn(f) y = n.

n n=Вопрос о сходимости ряда и принадлежности построенной функции y пространству Ряды Фурье V2 должен рассматриваться отдельно.

Интегралы Фурье Предметный указатель 4.2. Нормальная форма краевой задачи Литература При исследовании краевой задачи удобно переписать дифференциальное уравнение на собственные значения в симметричном виде. Именно, домножим уравнение Веб – страница p2y + p1y + p0y = y Титульный лист на функцию такую, чтобы уравнение приняло вид -(py ) + qy = y.

Очевидно, функция находится из уравнения p1 = (p2), Страница 63 из при этом p = -p2. Таким образом, если p2 не обращается в ноль, найдем pНазад p dx pp = Ce, = -.

pПолный экран Оператор L, формально определенный равенством -(py ) + qy Закрыть L(y) = (4.4) Выход называется оператором Штурма–Лиувилля. Краевая задача на собственные числа и собственные функции (, y) оператора L - (py ) + qy = y, (4.5) 0y(a) + 1y (a) = 0, Ряды Фурье (4.6) 0y(b) + 1y (b) = 0 Интегралы Фурье Предметный указатель называется задачей Штурма–Лиувилля, при этом предполагается, что p, q и — Литература вещественные непрерывные функции, причем p — непрерывно дифференцируема, а p и — неотрицательны. Коэффициенты 1, 2, 1, 2 считаются вещественными и Веб – страница такими, что (1, 2) = 0 = (1, 2).

Титульный лист Краевые условия y(a) = 0, y(b) = 0 (4.7) называются условиями Дирихле. Краевые условия y (a) = 0, y (b) = 0 (4.8) называются условиями Неймана.

Страница 64 из Дифференциальное уравнение задачи Штурма–Лиувилля может быть подвергнуто дальнейшей редукции. Если ввести независимую переменную t равенством Назад dx t = p(x) Полный экран (считая, что p = 0), то ввиду равенств Закрыть d dx d d = · = p, dt dt dx dx Выход дифференциальное уравнение примет вид d- y + pqy = py.

dtПоложим теперь Ряды Фурье dt Интегралы Фурье y = k(t)u(s), s =, k2(t) Предметный указатель Литература где k — пока неопределенная функция, а s и u, соответственно, новые независимая переменная и искомая функция. При этом Веб – страница dy dk du ds dk 1 du = u + k · = u + ·, dt dt ds dt dt k ds Титульный лист d2y d2k dk du ds 1 dk du 1 d2u ds d2k 1 d2u = u + · · - · · + · · = u + ·, dt2 dt2 dt ds dt k2 dt ds k ds2 dt dt2 k3 ds откуда приходим к дифференциальному уравнению 1 d2u d2k - · + pqk - u = pku.

k3 ds2 dtПолагая (этим определяется выбор функции k) Страница 65 из d2k pk4 = 1, r = pqk4 - k3, Назад dtполучим уравнение Полный экран d2u - + ru = u.

dsПри описанной замене краевые условия сохранят вид однородных краевых условий Закрыть (с новыми коэффициентами).

Выход 4.3. Регулярная задача Штурма–Лиувилля Оператор L (4.4) называется регулярным оператором Штурма–Лиувилля, если p, > 0. Задача (4.5)–(4.6) называется регулярной, если L — регулярный оператор Штурма–Лиувилля.

Ряды Фурье Отметим некоторые свойства решений регулярной задачи Штурма–Лиувилля.

Интегралы Фурье 1. Корни собственных функций просты.

Предметный указатель Действительно, если y(x0) = 0 и y (x0) = 0, то в силу единственности решения Литература задачи Коши y(x) 0.

Веб – страница 2. Каждому собственному значению отвечает единственная с точностью до множителя собственная функция (т.е. собственные числа оператора Штурма– Лиувилля — простые).

Титульный лист Действительно, пусть y1 и y2 — собственные функции, отвечающие собственному значению. Заметим, что однородная система (относительно переменных 0 и 1) 0y1(a) + 1y1(a) = 0, 0y2(a) + 1y2(a) = имеет нетривиальное решение, что возможно только, если определитель систеСтраница 66 из мы равен нулю. Это означает, что определитель Вронского решений W [y1, y2] = y1y2 - y2yНазад равен нулю (в точке a и, следовательно, равен нулю тождественно), откуда и Полный экран вытекает линейная зависимость решений y1 и y2.

3. Собственные значения задачи Штурма–Лиувилля вещественны. СоответствуЗакрыть ющие им собственные функции могут быть выбраны вещественными.

Выход Для доказательства заметим, сначала, что интегрирование по частям два раза приводит к равенству b b b [qf - (pf ) ]g dx = pW [f, g] + f[qg - (pg ) ] dx.

a Ряды Фурье a a Интегралы Фурье Если f и g — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции, Предметный указатель удовлетворяющие краевым условиям задачи (т.е. f, g V2), то в силу краевых Литература условий определитель Вронского W [f, g] обращается в ноль в точках a и b.

Введем скалярное произведение и соответствующую норму, полагая Веб – страница b f|g = fg dx, f = f|f. (4.9) Титульный лист a Тогда полученное выше равенство (при нулевых внеинтегральных членах) при- мет вид L[f]|g = f|L[g].

Это свойство называется симметричностью оператора L. Если теперь y — собственная функция, отвечающая собственному значению, то Страница 67 из y 2 = L[y]|y = y|L[y] = y 2, Назад откуда в силу y = 0 получаем =, т.е. — вещественно.

Далее заметим, что в силу линейности уравнения L[y] = y и вещественности Полный экран функций p, и q отдельно вещественная и мнимая части собственной функции y будут являться решениями этого уравнения.Закрыть Здесь важную роль играет вещественность коэффициентов в краевых условиях.

Здесь важную роль играет вещественность функций p и q.

В силу предыдущего свойства, эти части, разумеется, пропорциональны.

Выход В дальнейшем мы всегда будем предполагать вещественность собственных функций.

4. Различным собственным значениям 1 и 2 отвечают ортогональные собственные функции y1 и y2:

Ряды Фурье b Интегралы Фурье y1|y2 = y1y2 dx = 0.

Предметный указатель a Литература Действительно, Веб – страница (1 - 2) y1|y2 = L[y1]|y2 - y1|L[y2] = 0.

Титульный лист 5. Собственные числа образуют бесконечную монотонно возрастающую последовательность, стремящуюся к бесконечности 1 < 2 <... < n <..., n.

n Это свойство будет доказано в курсе вариационного исчислениия, см. файл var.pdf.

Страница 68 из Рассмотрим унитарное пространство непрерывных дифференцируемых функций, удовлетворяющих краевым условиям (4.6), определяя скалярное произведение равенством (4.9). Собственные функции задачи Штурма–Лиувилля yn будем считать Назад нормированными:

b Полный экран yn 2 = |yn(x)|2(x) dx = 1.

a Закрыть Тогда они образуют ортонормированную систему. Коэффициенты Фурье функции f (из описанного унитарного пространства) относительно такой ортонормированной Выход системы определены соотношением b cn(f) = f|yn = f(x)yn(x)(x) dx.

a Ряды Фурье Интегралы Фурье Разложение функции f в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма– Предметный указатель Лиувилля имеет вид Литература f cn(f)yn.

n=Веб – страница Можно показать, что системы собственных функций регулярных задач Штурма– Лиувилля полны (замкнуты), так что ряд Фурье сходится к функции в среднеквадТитульный лист ратичном.

4.4. Полнота собственных функций регулярной задачи Штурма– Лиувилля Ограничимся наброском доказательства полноты считая, что:

1. = 1, Страница 69 из 2. Унитарное пространство V1 состоит из вещественных непрерывных функций, удовлетворяющих условиям Дирихле (4.7).

Назад В рассматриваемом случае Полный экран b f|g = f(x)g(x) dx.

Закрыть a напомним о предполагаемой вещественности собственных функций Выход Положим b b I(y) L(y)|y = [-(py ) + qy]y dx = [py 2 + qy2] dx.

a a Ряды Фурье В курсе «Вариационное исчисление» будет показано, см. файл var.pdf, что наи- Интегралы Фурье меньшее значение квадратичного функционала I(y) при условиях Предметный указатель Литература y(a) = y(b) = 0, y = 1, Веб – страница достигается и равно min I(y) = 1, 1 = I(y1), Титульный лист где 1 — наименьшее собственное значение рассматриваемой задачи Штурма– Лиувилля и y1 — соответствующая собственная функция, y1 = 1. Более того, имеет место следующее утверждение, известное как вариационный принцип в про блеме собственных значений.

Пусть y1, y2,... yn-1 — ортонормированная система собственных функций, от вечающих первым n - 1 собственным числам задачи Штурма–Лиувилля, расположенным в порядке возрастания 1 < 2 <... < n-1. Тогда наименьшее значение квадратичного функционала I(y) при условиях Страница 70 из y(a) = y(b) = 0, y = 1, y yk k = 1, 2,... (n - 1), Назад достигается, причем min I(y) = n, n = I(yn), Полный экран где n — n-ое собственное значение рассматриваемой задачи Штурма–Лиувилля и yn — соответствующая собственная функция.

Закрыть Воспользуемся этим принципом для доказательства полноты (замкнутости) системы собственных функций оператора Штурма–Лиувилля L в пространстве V1.

Выход Положим n- rn = f - ckyk, k=где ck = f|yk — коэффициенты Фурье функции f, так что yk rn при k < n.

Ряды Фурье Тогда Интегралы Фурье n-1 n- Предметный указатель L(rn)|rn = L(f)|rn - ck L(yk)|rn = L(f)|rn - ckk yk|rn, Литература k=1 k=и в силу yk|rn = 0 получаем Веб – страница L(rn)|rn = L(f)|rn.

Титульный лист Считая, что rn = 0, полагаем rn = rn en, так что en = 1, en y1,... yn-1.

В силу вариационного принципа находим Страница 71 из L(rn)|rn = rn 2 L(en)|en rn 2 min L(y)|y = n rn 2, y =1, yy1,...yn-Назад откуда в силу неравенства Шварца Полный экран n rn 2 L(f)|rn L(f) · rn, т.е. ввиду n + при n Закрыть L(f) rn 0.

n n Выход Но это в точности и означает замкнутость системы собственных функций.

Вернемся, теперь, к уравнению L(y) = f.

Ряды Фурье Заметим, что в силу симметричности L Интегралы Фурье cn(L(y)) = L(y)|yn = y|L(yn) = y|nyn = n y|yn = ncn(y), Предметный указатель Литература так что равенство ncn(y) = cn(f) Веб – страница является равенством коэффициентов Фурье L(y) и f. Вопрос о том, будет ли функция cn(f) Титульный лист y = yn n n= действительно являться решением задачи Штурма–Лиувилля, зависит от скорости сходимости этого ряда.

4.5. Теорема Штурма Страница 72 из В этом параграфе мы познакомимся с характером поведения собственных функций оператора Штурма–Лиувилля.

Назад Теорема 4.1 (Штурм). Пусть y1 и y2 решения, соответственно, уравнений y + a1(x)y = 0, (4.10) Полный экран y + a2(x)y = 0, (4.11) Закрыть где a1 и a2 — непрерывные функции, причем a1(x) a2(x) (x).

Выход Тогда между любыми двумя нулями решения y1 уравнения (4.10) находится по крайней мере один ноль решения y2 уравнения (4.11):

y1(x1) = y1(x2) = 0, x1 < x2 x3 [x1, x2] : y2(x3) = 0.

Доказательство. Умножим равенство Ряды Фурье Интегралы Фурье y1 + a1y1 = Предметный указатель на y2, а равенство Литература y2 + a2y2 = Веб – страница на y1 и вычтем первое из второго. Получим (y1y2 - y2y1) + (a2 - a1)y1y2 = 0.

Титульный лист Пусть x1 и x2 — смежные корни решения y1. Предположим, что в интервале [x1, x2] нет корней решения y2. Без ограничения общности (в силу однородности уравнений) можем считать, что y1 и y2 неотрицательны на интервале [x1, x2]. Проинтегрируем последнее равенство в интервале [x1, x2], получим x x (y1y2 - y2y1) + (a2 - a1)y1y2 dx = 0, xСтраница 73 из xоткуда Назад -y2(x2)y1(x2) + y2(x1)y1(x1) 0.

Но в силу простоты корней решения y1 и из предположения y1 0 на интервале Полный экран [x1, x2] заключаем, что y1(x1) > 0 и y1(x2) < 0. По предположению, также, y2 > 0 в интервале [x1, x2], т.е.

Закрыть -y2(x2)y1(x2) + y2(x1)y1(x1) > 0, противоречие.

Выход Посмотрим теперь на уравнение на собственные значения оператора Штурма– Лиувилля. Воспользуемся простейшей из нормальных форм:

-y + ry = y Ряды Фурье или Интегралы Фурье y + ( - r)y = 0.

Предметный указатель Напомним, что n +. Если n такое собственное значение, что n - r k2, Литература то соответствующая собственная функция yn в каждом интервале длины будет k иметь хотя бы один корень. Это вытекает из теоремы Штурма и того факта, что Веб – страница решением уравнения y + k2y = Титульный лист является функция y = C1 cos kx + C2 sin kx, обладающая этим свойством. Таким образом, собственные функции (с большими номерами) регулярных операторов Штурма–Лиувилля являются осциллирующими.

Страница 74 из Назад Полный экран Закрыть Выход Часть II Интегралы Фурье Ряды Фурье Преобразование Фурье Интегралы Фурье Интеграл Фурье: интуитивный подход Предметный указатель Преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функции Литература Формула обращения Веб – страница Обратное преобразование Фурье Гладкость и скорость убывания преобразований Фурье Титульный лист Пространство Шварца Свертка функций Примеры и приложения Сводка формул Распространение тепла в бесконечном стержне Страница 75 из Частотный спектр Добавление Назад Полный экран Закрыть Выход 5. Преобразование Фурье 5.1. Интеграл Фурье: интуитивный подход Рассмотрим непрерывно дифференцируемую на всей оси абсолютно интегрируемую Ряды Фурье функцию f(x):

+ Интегралы Фурье Предметный указатель f C1(R) : |f(x)| dx <.

Литература Разложим ее в ряд Фурье на интервале [-l, l] большой длины 2l:

Веб – страница l + l f(x) = f(t)ei n(x-t) dt, x (-l, l).

2l Титульный лист n=-l Введем разбиение оси R точками n n = (n Z), l при этом n = 0.

l l+ Страница 76 из Заметим, что при l + + l Назад n n f(t)ei (x-t) dt f(t)ei (x-t) dt -l Полный экран и можно думать (вспоминая суммы Римана), что + + l Закрыть + 1 n f(x) = n f(t)ei (x-t) dt d f(t)ei(x-t) dt, 2 l+ n=- -l Выход т.е. при всех x R + + f(x) = d f(t)ei(x-t) dt. (5.1) - Ряды Фурье Последняя формула действительно имеет место и составляет содержание теоремы Фурье, а интеграл в правой части равенства называется интегралом Фурье функции Интегралы Фурье f.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.