WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 8 |

Закрыть Ядро Дирихле замечательно тем, что частичная сумма Фурье функции f является сверткой функции f с ядром Дирихле, как сразу следует из (2.12) и билинейности Выход свертки n n n f Dn = f ek = f ek = ck(f)ek.

k=-n k=-n k=-n Теорема 2.17 (Дирихле). Если функция f непрерывно дифференцируема и периРяды Фурье одична с периодом 2, то ряд Фурье сходится к функции f поточечно:

Интегралы Фурье Предметный указатель + f C2 f(x) = cneinx, x R, cn = f(x)e-inx dx. Литература n=Веб – страница Доказательство.

2 1 1 Титульный лист f(x) - f Dn (x) = f(x) Dn(x - t) dt - f(t)Dn(x - t) dt 2 0 = [f(x) - f(t)]Dn(x - t) dt 1 f(x) - f(t) x - t (2n + 1)(x - t) = · · sin dt 0. Страница 34 из x-t n+ 2 x - t sin Назад Последнее вытекает из леммы Римана-Лебега и непрерывности (по t) функций f(x) - f(t) Полный экран = f (t + (x - t)) d x - t Закрыть и x - t x-t sin Выход (элементарно).

Теорема 2.18 (Дирихле). Если функция f непрерывно дифференцируема и периодична с периодом 2, то ряд Фурье сходится к функции f равномерно.

Ряды Фурье Доказательство. Здесь все дело в скорости убывания коэффициентов Фурье. Пусть Интегралы Фурье f C2. Тогда Предметный указатель Литература 2 2 1 1 e-inx 1 cn(f ) cn(f) = f(x)e-inx dx = f(x) d = f (x)e-inx dx =.

2 2 -in 2in in Веб – страница 0 0 Но Титульный лист cn(f ) 1 |cn(f)| + |cn(f )|2.

n 2 n+ В силу неравенства Бесселя, ряд |cn(f )|2 сходится. Также сходится и ряд n= +. И тогда заключаем, что сходится ряд |cn(f)|. В силу теоремы 1.4, nn =0 n=Страница 35 из ряд Фурье функции f сходится к своей сумме равномерно. Но в силу предыдущей теоремы, его суммой является функция f(x).

Назад Теорема 2.19 (Основная). Если функция f непрерывна и периодична с периодом 2, то ряд Фурье сходится к функции f в среднеквадратичном, т.е.

Полный экран n f - cnen 0, n Закрыть k=-n Выход где en(x) = einx, cn = f(x)e-inx dx, Ряды Фурье Интегралы Фурье Предметный указатель Литература f = |f(x)|2 dx.

Веб – страница Доказательство. Фиксируем произвольно > 0. Аппроксимируем функцию f рав номерно функцией g C2 так, чтобы f -g <. В силу теоремы Дирихле, если Титульный лист n n достаточно велико g - ck(g)ek. Из этих оценок и минимизирующего k=-n свойства коэффициентов Фурье находим n n n f - ck(f)ek f - ck(g)ek f - g + g - ck(g)ek k=-n k=-n k=-n Страница 36 из n f - g + g - ck(g)ek = + =.

2 k=-n Назад Полный экран Замечание 2.20. Этот же результат может быть получен как следствие плотности тригонометрических полиномов в C2 (теорема Стоуна – Вейершрасса). АналогичЗакрыть ный конструктивный подход основан на теореме Фейера, где тригонометрический полином, являющийся равномерным приближением данной непрерывной функции, строится явно (как среднее арифметическое частичных сумм Фурье).

Выход Следствие 2.21 (Равенство Парсеваля). Если функция f непрерывна и периодична с периодом 2, то + |cn|2 = |f(x)|2 dx, n=Ряды Фурье где cn = cn(f).

Интегралы Фурье Предметный указатель Доказательство. Воспользуемся (2.8):

Литература n n f - ckek 2 = f 2 - |ck|2.

Веб – страница k=-n k=-n По доказанному в теореме, левая часть стремится к нулю. Значит, стремится к нулю и правая, что ведет к равенству Парсеваля. Титульный лист Вещественная форма равенства Парсеваля имеет вид |a0|2 1 + (|an|2 + |bn|2) = |f(x)|2 dx, 4 2 n=так как из формул (2.6) следует Страница 37 из |an|2 + |bn||cn|2 + |c-n|2 =, n N.

Назад 2.6. Понятие о полноте и замкнутости ортонормированной сиПолный экран стемы Вернемся к абстрактным обозначениям. Пусть e1, e2,... — ортонормированная сиЗакрыть стема в унитарном пространстве V. Она называется полной, если a en (n) a = 0.

Выход (Полнота понимается в том смысле, что систему нельзя расширить, добавляя к ней новые векторы). Она называется замкнутой, если a V : a 2 = |cn(a)|2, n=1 Ряды Фурье Интегралы Фурье т.е. для произвольного вектора выполнено равенство Парсеваля (уравнение замкнуПредметный указатель тости). Как мы знаем, замкнутость означает возможность аппроксимировать (в Литература смысле эрмитовой нормы) произвольный вектор a частичными суммами Фурье с любой степенью точности, т.е.

Веб – страница n a V : a - ck(a)ek 0.

n k=1 Титульный лист Легко видеть, что полнота ортонормированной системы является следствием ее замкнутости. Действительно, если вектор ортогонален всем векторам замкнутой системы, то в силу уравнения замкнутости, норма такого вектора равна нулю, а, следовательно, и сам вектор равен нулю.

Можно показать (методами теории гильбертовых пространств), что в действительности понятия замкнутости и полноты равносильны.

Страница 38 из В предыдущем пункте было, таким образом, доказано, что система экспонент en(x) = einx (n Z) является полной и замкнутой системой в унитарном пространстве непрерывных периодических с периодом 2 функций.

Назад 2.7. Замечания по поводу сходимости Полный экран Следует заметить, что ряд Фурье просто непрерывной (периодической) функции, не обладающей каким-либо дополнительным свойством гладкости, может расходится в Закрыть бесконечном (даже — несчетном) множестве точек, см. [1]. Если функцию еще ухудшить, но так, что она останется интегрируемой по Лебегу, ряд Фурье вообще может Выход расходится всюду, см. [5]. Эти примеры говорят о том, что вопрос о поточечной сходимости рядов Фурье является неадекватным. Тем не менее отметим, что если функция непрерывна и имеет на периоде ограниченную вариацию (то есть является разностью двух монотонных функций), то поточечная сходимость имеет место.

Со сходимостью в среднеквадратичном дела обстоят намного лучше. Например, Ряды Фурье если функция f интегрируема и интеграл Интегралы Фурье Предметный указатель Литература |f(x)|2 dx Веб – страница существует как несобственный с конечным числом особенностей, то ряд Фурье функции f сходится к ней в среднеквадратичном. Принципиальным здесь явТитульный лист ляется тот факт, что любую такую функцию с любой степенью точности можно в среднеквадратичном аппроксимировать непрерывной функцией. Действительно, пусть > 0 фиксировано и g — непрерывная периодическая с периодом функция, являющаяся аппроксимацией функции f в среднеквадратичном, так что f - g. Возьмем достаточно длинный отрезок ряда Фурье функции g так, n чтобы g - ck(g)ek. Тогда Страница 39 из k=-n n n n Назад f - ck(f)ek f - ck(g)ek f - g + g - ck(g)ek.

k=-n k=-n k=-n Полный экран Может все-таки вызвать некоторый интерес следующий вопрос. Пусть функция гладкая, за исключением нескольких точек (на периоде), где она имеет скачки. Как ведет себя ряд Фурье в точках разрыва (В среднеквадратичном ряд, конечно, схоЗакрыть дится). Имеет место следующая теорема Выход Теорема 2.22 (Дирихле). Пусть функция f кусочно непрерывно дифференцируема и периодична с периодом 2. Тогда ряд Фурье при x сходится к f(x - 0) + f(x + 0), Ряды Фурье т.е. в точке непрерывности ряд Фурье сходится к значению функции, а в точке Интегралы Фурье разрыва — к полусумме предельных значений.

Предметный указатель Напомним, что кусочная непрерывность 2-периодической функции означает, что Литература на периоде функция имеет лишь конечное число разрывов первого рода (скачков).

Кусочная непрерывная дифференцируемость будет, таким образом, означать, что Веб – страница производная функции имеет на периоде не более чем конечное число скачков (при этом непрерывность самой функции, вообще говоря, не предполагается и при необТитульный лист ходимости должна оговариваться отдельно).

В точках разрыва функции f ряд Фурье сходится к функции очень неравномерно.

Именно, если x0 — точка разрыва первого рода функции f и, для определенности, f(x0 - 0) < f(x0 + 0), то lim sn(x) > f(x0 + 0), lim sn(x) < f(x0 - 0), n n xxxxn Страница 40 из где sn = ckek, т.е. предельная флуктуация частичной суммы Фурье больше, k=-n Назад чем скачок самой функции в точке разрыва. Такое поведение суммы Фурье в точках разрыва носит название явления Гиббса, см. рис. 3.

Полный экран 2.7.1. Пример.

Закрыть Рассмотрим функцию f, заданную на интервале (0, 2) равенством f(x) = x и далее продолженную периодически на всю ось. Эта функция кусочно непрерывно дифференцируема. Именно, в точках x = 2n, n Z она имеет разрывы-скачки, в Выход Ряды Фурье Интегралы Фурье Предметный указатель Литература -2 0 Веб – страница Титульный лист Рис. 3: Пример с явлением Гиббса остальных точках она бесконечно дифференцируема. Как мы уже знаем, ряд Фу рье будет сходится к этой функции в каждой точке x = 2n, n Z (разумеется, никакой равномерной сходимости при этом нет: функция разрывна). В точках же x = 2n, n Z, будет происходить явление Гиббса и ряд Фурье должен сходиться Страница 41 из в этих точках к значению, см. рис. 3. Действительно, Назад c0 = x dx =, Полный экран 1 cn = xe-inx dx = -, n = 0, Закрыть 2 in Выход откуда einx sin nx f(x) = - = - 2, x = 2m, m Z.

in n n =0 n=Заметим, что Ряды Фурье 1 Интегралы Фурье f 2 = x2 dx =.

2 Предметный указатель Литература Равенство Парсеваля имеет вид 1 Веб – страница 2 + 2 =, n2 n=Титульный лист откуда 1 =.

n2 n=2.8. Интегрирование и дифференцирование рядов Фурье Вопрос об интегрировании рядов Фурье удобно начать с некоторого обобщения раСтраница 42 из венства Парсеваля.

Теорема 2.23. Пусть f, g C2. Тогда Назад + f|g = cn(f)cn(g) c0(f)c0(g) + cn(f)cn(g) + c-n(f)c-n(g), n=- n=1 Полный экран где Закрыть f|g = f(x)g(x) dx.

Выход Доказательство. Теорема вытекает из уравнения замкнутости. Действительно, пусть n sn = ck(f)ek, k=-n Ряды Фурье т.е. частичная сумма ряда Фурье функции f. Тогда f - sn 0 при n +. Но Интегралы Фурье n Предметный указатель sn|g = ck(f)ck(g) Литература k=-n Веб – страница и в силу неравенства Шварца n Титульный лист | f|g - ck(f)ck(g)| = | f - sn|g | f - sn · g 0.

n+ k=-n Теорема остается верной для значительно более широкого класса функций f и g, лишь бы для них выполнялись условия замкнутости (равенства Парсеваля), см. п. 2.7. Для наших целей достаточно того, что теорема остается верной для Страница 43 из периодической функции g, определенной при x [0, 2] равенствами 1, при x (, ) [0, 2], Назад g(x) = 0, при x (, ).

/ Полный экран Такая функция элементарно аппроксимируется в среднеквадратичном непрерывной функцией, см. рис.4. Например, отличие в среднеквадратичном функции g от ап S Закрыть проксимации на рис.4 не превосходит, где S — суммарная площадь заштрихованных треугольников. Эта величина может быть сделана сколь угодно малой и Выход Ряды Фурье Интегралы Фурье Предметный указатель Литература Веб – страница Титульный лист Страница 44 из Назад Рис. 4: Сглаживание разрывов Полный экран Закрыть Выход тогда, как было показано в п. 2.7, ряд Фурье функции g сходится к ней в среднеквадратичном, а, следовательно, теорема 2.23 остается верной и для такой функции g.

Запишем утверждение теоремы 2.23 для произвольной непрерывной периодической с периодом 2 функции f и функции g, определенной выше. Тогда ввиду Ряды Фурье Интегралы Фурье 1 Предметный указатель cn(g) = e-inx dx = einx dx, 2 2 Литература находим Веб – страница + + Титульный лист f(x) dx = f(x)g(x) dx = 2 cn(f)cn(g) = cn(f) einx dx, n=- n= но это в точности означает возможность интегрировать почленно ряд Фурье функции f. Заметим, что исходный ряд Фурье не сходился (вообще говоря) равномерно и теорема об интегрировании из общей теории рядов не применима. Заметим также, что проинтегрированный ряд сходится равномерно относительно и, поскольку имеет сходящийся мажорантный ряд Страница 45 из |cn(f)| 2|c0(f)| + 2.

n Назад n =Нами доказана Полный экран Теорема 2.24. Ряд Фурье непрерывной периодической с периодом 2 функции можно интегрировать почленно, причем проинтегрированный ряд сходится равЗакрыть номерно относительно пределов интегрирования (считая, что последние изменяются на интервале длиной в период).

Выход Перейдем теперь к вопросу о дифференцировании. Как было показано в ходе доказательства теоремы Дирихле о равномерной сходимости (с помощью формулы интегрирования по частям), если f — непрерывно дифференцируемая периодическая с периодом 2 функция, то cn(f ) = in · cn(f), (2.14) Ряды Фурье что соответствует возможности почленного дифференцирования ряда Фурье такой Интегралы Фурье функции f с получением ряда Фурье (сходящемся, вообще говоря, лишь в среднеПредметный указатель квадратичном) ее производной. В силу леммы Римана-Лебега, из этого соотношения Литература вытекает оценка скорости убывания при n коэффициентов Фурье функции класса C2 (т.е. непрерывно дифференцируемой, периодической):

Веб – страница cn(f) = o, n Титульный лист т.е. быстрее чем. Если функция f k раз непрерывно дифференцируема, то примеn няя k раз формулу (2.14) получим cn(f(k)) = (in)k · cn(f), откуда вытекает оценка cn(f) = o nk Страница 46 из для коэффициентов Фурье k раз непрерывно дифференцируемой периодической с периодом 2 функции.

Из этих оценок и из теоремы о дифференцировании общих функциональных ря- Назад дов вытекает, что ряд Фурье k раз непрерывно дифференцируемой периодической функции можно почленно дифференцировать (k - 1) раз с сохранением равномерПолный экран ной сходимости ряда. k-е дифференцирование будет приводить к ряду Фурье k-ой производной, но сходимость ряда надо понимать уже в среднеквадратичном.

Закрыть Верно и обратное наблюдение: если коэффициенты Фурье некоторой функции убывают достаточно быстро, такая функция будет достаточно гладкой. Именно, верна Выход Теорема 2.25. Пусть коэффициенты Фурье некоторой (периодической с периодом 2) функции f удовлетворяют оценке:

+ n cn(f) = (n = 0), |n|2 <.

nk Ряды Фурье n=Интегралы Фурье Тогда функция f (k - 1) раз непрерывно дифференцируема.

Предметный указатель Литература Доказательство. Действительно, тригонометрический ряд, полученный в результате формального почленного дифференцирования (k - 1) раз, имеет коэффициенты Веб – страница n (in)k-1cn(f) = ik-n Титульный лист и, следовательно, абсолютно сходится, что оправдывает возможность дифференцирования почленно данное количество раз.

2.9. Ряды Фурье периодических функций с периодом T = 2l Естественно, мы могли рассматривать с тем же успехом периодические функции с произвольным периодом T = 2l. Однако, можно получить соответствующую общую Страница 47 из теорию как следствие частного случая T = 2 используя растяжение (сжатие) вещественной оси. Действительно, если f — периодическая функция с периодом T = 2l, то функция g, определенная равенством Назад lx g(x) = f Полный экран будет периодической функцией с периодом T = 2. При этом Закрыть x f(x) = g.

l Выход Пусть теперь f и g — периодические функции с периодом 2l. Обозначим через f и g соответствующие им периодические функции с периодом 2, т.е.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.