WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 8 |

Интегралы Фурье Теорема 2.2 (О проекции). Пусть a — произвольный вектор из V. Положим Предметный указатель Литература n b = ckek, k=Веб – страница где ck = ck(a) — коэффициенты Фурье вектора a относительно ортонормированной системы (ek). Тогда Титульный лист a - b b.

Доказательство. Заметим, что при k n ck(b) = ck(a), так что при k n Страница 17 из a - b|ek = a|ek - b|ek = ck - ck = 0.

Назад Тогда n n a - b|b = a - b| ckek = ck a - b|ek = 0.

Полный экран k=1 k=Закрыть Напомним теорему Пифагора Выход Теорема 2.3 (Пифагор).

a b a + b 2 = a 2 + b 2.

Доказательство.

Ряды Фурье a + b 2 = a + b|a + b = a|a + a|b + b|a + b|b = a 2 + b 2. Интегралы Фурье Предметный указатель Литература Следствие 2.4. Если (ek) — ортонормированная система, то Веб – страница n n ckek 2 = |ck|2.

k=1 k=1 Титульный лист Доказательство. Достаточно (n - 1) раз применить теорему Пифагора и учесть, что ckek = |ck| ek = |ck|.

Теорема 2.5 (Неравенство Бесселя). Пусть ck = ck(a) — последовательность коэффициентов Фурье произвольного вектора a относительно некоторой ортонормированной системы векторов (ek). Тогда Страница 18 из |ck|2 a 2.

k=1 Назад n Доказательство. Пусть b = ckek. Тогда в силу a = (a - b) + b и теорем 2.Полный экран k=и 2.Закрыть a 2 = a - b 2 + b 2, Выход Откуда b 2 a 2, или что то же n |ck|2 a 2.

k=Ряды Фурье Последнее неравенство в силу произвольности n (и положительности членов ряда) Интегралы Фурье приводит к утверждению теоремы.

Предметный указатель Следствие 2.6 (лемма Римана-Лебега). Пусть a — произвольный вектор и cn(a) Литература — соответствующие коэффициенты Фурье относительно произвольной ортонормированной системы (en). Тогда Веб – страница cn(a) 0.

n Титульный лист Доказательство. Применить необходимый признак сходимости ряда.

Следующая теорема устанавливает основное геометрическое свойство коэффициентов Фурье.

Теорема 2.7 (Минимизирующее свойство коэффициентов Фурье). Пусть e1,... en — произвольная ортонормированная система и a — произвольный вектор из V. Функция Страница 19 из n (1,... n) = a - kek, 1,... n C, Назад k=достигает своего наименьшего значения при условии Полный экран 1 = c1(a),... n = cn(a), Закрыть т.е. на коэффициентах Фурье вектора a относительно данной ортонормированной системы.

Выход n Доказательство. Положим ck = ck(a), k = 1,... n и b = ckek. Вектор a - b k=ортогонален векторам ek при 1 k n. Тогда по теореме Пифагора n n n a - kek 2 = a - b - (k - ck)ek 2 = a - b 2 + |k - ck|2. Ряды Фурье k=1 k=1 k=Интегралы Фурье Предметный указатель Наименьшее значение, очевидно, достигается, если k = ck, k = 1,... n:

Литература n n min a - kek 2 = a 2 - |ck|2, (2.8) 1,...n k=1 k=Веб – страница где мы воспользовались равенством n Титульный лист a - b 2 = a 2 - b 2 = a 2 - |ck|2.

k= Но наименьшее значение величины и наименьшее значение величины 2 достигаются одновременно.

Геометрический смысл теоремы вполне прозрачен, см. рис. 1. Рассмотренную задачу можно охарактеризовать как задачу об аппроксимации вектора a линейными Страница 20 из комбинациями фиксированной ортонормированной системы векторов e1,... en:

n Назад a kek.

k=Наилучшая (в смысле эрмитовой нормы) аппроксимация получается на коэффици- Полный экран ентах Фурье. Заметим, также, что расширение ортонормированной системы (т.е.

увеличение n) может привести только к улучшению аппроксимации (т.е. уменьшеЗакрыть нию ):

(c1,... cn, cn+1) (c1,... cn, 0) = (c1,... cn). (2.9) Выход Ряды Фурье Интегралы Фурье Предметный указатель Литература a Веб – страница Титульный лист e - Страница 21 из 1 + e1 eНазад - c1 + ce1 e eПолный экран Рис. 1: Перпендикуляр — наименьшее расстояние до подпространства Закрыть Выход 2.3. Ряды Фурье на пространстве непрерывных 2-периодических функций Очевидно, пространство [комплекснозначных] непрерывных периодических с периодом 2 функций является комплексным векторным пространством: такие функции Ряды Фурье можно складывать и умножать на комплексные числа не выходя за рамки этого мноИнтегралы Фурье жества функций. Превратим это пространство в унитарное, введя в нем скалярное Предметный указатель произведение Литература f|g = f(x)g(x) dx. (2.10) 0 Веб – страница Свойства 1)–3) скалярного произведения очевидны. Четвертое свойство является следствием непрерывности рассматриваемых функций. Действительно, если Титульный лист f 2 = |f(x)|2 dx = 0, то f(x) 0 именно благодаря своей непрерывности.

Обозначим это унитарное пространство [комплекснозначных] непрерывных пеСтраница 22 из риодических с периодом 2 функций через C2. Через en, n Z, будем обозначать функции x einx. Покажем, что функции en образуют ортонормированную систему в C2.

Назад 2 1 en|em = einxe-imx dx = ei(n-m)x dx = nm, 2 Полный экран 0 см. (1.2).

Закрыть Для разрывных функций такого заключения сделать уже нельзя Выход Если f — произвольная непрерывная периодическая с периодом 2 функция, то ее коэффициенты Фурье относительно ортонормированной системы (en) равны cn(f) = f(x)e-inx dx. (2.11) 2 Ряды Фурье Интегралы Фурье Предметный указатель Заметим, что в силу леммы Римана-Лебега Литература f(x)einx dx 0.

Веб – страница n Неравенство Бесселя принимает вид Титульный лист + |cn|2 |f(x)|2 dx, n= где cn = cn(f) и Страница 23 из f 2 = |f(x)|2 dx, Назад Далее мы покажем, что для f C2 неравенство Бесселя превращается в равенство + Полный экран |cn|2 = |f(x)|2 dx n=Закрыть и называется равенством Парсеваля или уравнением замкнутости.

Выход Функции вида n Tn(x) = keikx k=-n называются тригонометрическими полиномами. Среди всех тригонометрических поРяды Фурье линомов степени не выше n наилучшей аппроксимацией (в смысле среднеквадраИнтегралы Фурье тичной нормы) функции f(x) является частичная сумма ряда Фурье этой функции Предметный указатель n Литература f(x) ck(f)eikx.

k=-n Веб – страница 2.4. Свертка периодических функций Титульный лист Определение 2.8. Пусть f и g — произвольные непрерывные периодические с периодом 2 функции. Их сверткой f g называется функция f g (x) = f(t)g(x - t) dt, x R.

Страница 24 из Очевидно, свертка f g — периодическая с периодом 2 и непрерывная функция:

2 1 1 Назад f g (x + 2) = f(t)g(x + 2 - t) dt = f(t)g(x - t) dt = f g (x), 2 0 Полный экран поскольку g периодична. Чтобы показать непрерывность, заметим, что g — равномерно непрерывна, т.е.

Закрыть > 0 > 0 : |x2 - x1| < |g(x2) - g(x1)| <.

Выход Фиксируем > 0 и выберем такое по числу, где M = max |f(t)|. Тогда при M 0 t |x - x0| < |f g (x) - f g (x0)| = f(t)[g(x - t) - g(x0 - t)] dt Ряды Фурье 0 Интегралы Фурье Предметный указатель |f(t)||g(x - t) - g(x0 - t)| dt Литература Веб – страница · |f(t)| dt · M =.

M 2 M Титульный лист Теорема 2.9. Пусть f — периодическая с периодом 2 и непрерывная функ ция. Если функция g является непрерывно дифференцируемой периодической с периодом 2, то свертка f g также является непрерывно дифференцируемой периодической с периодом 2 и (f g) (x) = f(t)g (x - t) dt. Страница 25 из Назад Доказательство. Следствие теоремы о дифференцировании интеграла по параметру: в данном случае частная производная подынтегральной функции Полный экран [f(t)g(x - t)] = f(t)g (x - t) x Закрыть является непрерывной функцией обеих переменных.

Выход Следствие 2.10. Если g непрерывно дифференцируема k раз, то свертка f g (где f — непрерывна) — тоже k раз непрерывно дифференцируема и (f g)(k) = f g(k).

Ряды Фурье Интересны также следующие свойства свертки.

Интегралы Фурье Теорема 2.11. Свертка функций является билинейной, коммутативной и ассоПредметный указатель циативной операцией, т.е.

Литература 1. (f + µg) h = f h + µg h, Веб – страница 2. f g = g f, 3. f (g h) = (f g) h.

Титульный лист Доказательство. Линейность по первому аргументу очевидна в силу линейности интеграла. Линейность по второму аргументу может быть установлена аналогично, но она также является следствием коммутативности. Докажем коммутативность.

f g (x) = f(t)g(x - t) dt = [x - t = u, dt = -du] Страница 26 из x- x 1 Назад = - f(x - u)g(u) du = g(u)f(x - u) du 2 x x-2 Полный экран = g(u)f(x - u) du = g f (x).

Закрыть Выход Докажем теперь ассоциативность.

2 2 1 (f g) h (x) = f g (t)h(x - t) dt = f(s)g(t - s)h(x - t) dsdt 2 0 0 Ряды Фурье 2 2-s 2 Интегралы Фурье 1 = ds f(s) g(u)h(x - s - u) du = ds f(s) g(u)h(x - s - u) du Предметный указатель 42 0 -s 0 0 Литература = f(s)g h (x - s) ds = f (g h) (x).

Веб – страница Титульный лист Для приложений важность понятия свертки определяется следующим свойством, которое также объясняет свойства, описанные в предыдущей теореме.

Теорема 2.12. Пусть f и g — произвольные непрерывные периодические с перио дом 2 функции. Тогда cn(f g) = cn(f) · cn(g), Страница 27 из где cn — коэффициент Фурье соответствующей функции относительно ортонормированной системы экспонент en.

Назад Доказательство. Заметим, сначала, что 2 Полный экран 1 f en (x) = f(t)ein(x-t) dt = einx f(t)e-int dt = cn(f)en(x), 2 0 Закрыть так что f en = cn(f)en. (2.12) Выход Тогда cn(fg) = (fg)en (0) = f(gen) (0) = f[cn(g)en] (0) = cn(g)fen (0) = cn(g)cn(f).

Ряды Фурье В приложениях отображение f f g описывает прохождение сигнала f через Интегралы Фурье фильтр g. В результате амплитуда cn(f) n-ой гармоники сигнала умножается на Предметный указатель cn(g). Заметим, что в силу теоремы Римана-Лебега, не может существовать идеальЛитература ного фильтра, не искажающего сигнал:

Веб – страница g : f g = f.

Но вернемся к теореме 2.9. Она позволяет установить одно важное для дальнейТитульный лист шего свойство.

Обозначим через C2 множество непрерывно дифференцируемых периодических с периодом 2 функций. Это подмножество в C2.

1 Теорема 2.13 (Плотность C2 в C2). Множество функций C2 плотно в C2, 1 т.е. f C2 и > 0 g C2:

def f - g = max |f(x) - g(x)| <. Страница 28 из 0 x Назад Доказательство. Функция f — равномерно непрерывна и, следовательно, для > 0 > 0 : |x2 - x1| < |f(x2) - f(x1)| <.

Полный экран Пусть > 0 фиксировано и найдено. Возьмем произвольно функцию C2, Закрыть удовлетворяющую следующим условиям:

1. (x) 0, Выход Ряды Фурье Интегралы Фурье Предметный указатель Литература Веб – страница -2 Титульный лист Рис. 2: Сглаживающая функция 2. — четная функция, Страница 29 из 3. (x) = 0 при x [, ], Назад 4. (x) dx = 1, Полный экран см. рис. 2.

x Подобрать такую функцию нетрудно. Например, можно взять функцию k(cos + Закрыть 1), ограничить ее сначала на интервал (-, ), затем продолжить нулем на оставшуюся часть интервала [-, ] и далее продолжить периодически на всю ось. Константу k следует выбрать так, чтобы выполнялось условие нормировки (4).

Выход Мы покажем (со ссылкой на теорему 2.9), что свертка f годится на роль функции g. Заметим прежде всего, что в силу четности и периодичности, 2 2 1 1 (t) dt = (-t) dt = (x - t) dt = 1.

2 2 2 Ряды Фурье 0 0 Интегралы Фурье Предметный указатель Тогда, Литература 2 f(x) |f(x) - g(x)| = (x - t) dt - f(t)(x - t) dt Веб – страница 2 0 Титульный лист 1 |f(x) - f(t)|(x - t) dt = |f(x) - f(t)|(x - t) dt 2 |x-t| (x - t) dt =.

|x-t| Страница 30 из 2.5. Сходимость рядов Фурье Назад Далее нам понадобится чуть более общий вариант леммы Римана-Лебега.

Полный экран Теорема 2.14 (Лемма Римана-Лебега). Если f — непрерывная функция на [a, b], то b Закрыть f(x)eix dx 0.

a Выход Доказательство 1. Рассмотрим сначала непрерывно дифференцируемую на [a, b] функцию g. Тогда b b b eix g(b)eib g(a)eia g(x)eix dx = g(x)d = - - g (x)eix dx 0.

i i i i Ряды Фурье a a a Интегралы Фурье Фиксируем произвольно > 0. Функция f может быть равномерно аппроксимиро- Предметный указатель вана непрерывно дифференцируемой функцией g. Литература Например, можно использовать конструкцию типа f. Именно, продолжим f непрерывно на всю ось так, чтобы вне интервала [a - 1, b + 1] она обращалась в ноль (например, можно соединить прямыми точки (a, f(a)) и (a - 1, 0) с одной стороны и точки (b, f(b)) и (b + 1, 0) с другой, а далее считать функцию f нулем. Такая продолженная функция Веб – страница f равномерно непрерывна и, фиксировав произвольно > 0, можно выбрать > 0 такое, что |x2 - x1| < |f(x2)-f(x1)| <. Выберем далее функцию (x) так, чтобы она была положительной непрерывно дифференцируемой + четной функцией равной нулю при |x| > и такой, чтобы (x) dx = 1. Разумеется, последний интеграл не Титульный лист является несобственным, в действительности интегрирование ведется только по интервалу [-, ]. Составим далее свертку + g(x) = f(t)(x - t) dt, где под f понимается продолженная функция. Заметим, что + + + (t) dt = (-t) dt = (x - t) dt = Страница 31 из - - и, как и ранее (в периодическом случае), получаем оценку |f(x) - g(x)| < для всех x, в частности, для исходной функции f, если a x b. Назад Выберем g так, чтобы f - g = max |f(x) - g(x)| <. Пусть, далее, a x b 2(b - a) таково, что Полный экран b g(x)eix dx.

2 Закрыть a Выход Тогда b b b f(x)eix dx (f(x)-g(x))eix dx + g(x)eix dx (b-a) f -g + =.

a a a Ряды Фурье Интегралы Фурье Предметный указатель Доказательство 2. Будем считать, что f продолжена непрерывно как константа за Литература границы [a, b].

b+h b+h b Веб – страница f(x)eix dx = f(t - h)ei(t-h) dt = e-ih f(t - h)eit dt.

a a+h a+h Титульный лист Выберем h =. Тогда b+h b f(x)eix dx = - f(t - h)eit dt.

a a+h b Страница 32 из Прибавляя к обеим частям равенства интеграл f(x)eix dx и используя аддитивa ность интеграла, находим Назад b+h b b a 2 f(x)eix dx = [f(t) - f(t - h)]eit dt - f(t - h)eit dt - f(t - h)eit dt.

Полный экран a a a+h b Закрыть Первый интеграл справа мал при в связи с равномерной непрерывностью функции f. Малость двух остальных — тривиальна: они оцениваются через M|h|, где M — наибольшее значение модуля функции f на интервале.

Выход Теперь, чтобы сформулировать основную теорему о сходимости, нам потребуется провести одно предварительное вычисление.

Определение 2.15. Ядром Дирихле называется функция n Ряды Фурье Dn(x) = eikx.

Интегралы Фурье k=-n Предметный указатель Литература Лемма 2.16. Ядро Дирихле Dn является непрерывной периодической с периодом 2 четной функцией равной Веб – страница (2n+1)x sin Dn(x) =, x sin Титульный лист причем Dn(x) dx = 1. (2.13) Доказательство.

Страница 33 из n 2n 1 - ei(2n+1)x Dn(x) = eikx = e-inx (eix)j = e-inx 1 - eix k=-n j=Назад 2n+1 2n+1 2n+2 2 sin ei x e-i x - ei x (2n+1)x = e-inx · =, ix ix ix x 2 2 sin e e- 2 - e Полный экран откуда вытекает, также, свойство четности. Равенство (2.13) вытекает из (1.2).

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.