WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |
Ряды и интегралы Фурье Ряды Фурье Интегралы Фурье Предметный указатель А.М.Будылин Литература budylin@mph.phys.spbu.ru Веб – страница 26 марта 2002 г.

Титульный лист Страница 1 из 127 Назад Полный экран Закрыть Выход Часть I Ряды Фурье Ряды Фурье Тригонометрические ряды Интегралы Фурье История вопроса Предметный указатель Экскурс в теорию комплексных чисел Литература Определения Веб – страница Случай равномерной сходимости Тригонометрические ряды Фурье Титульный лист Постановка задачи Экскурс в теорию унитарных пространств Ряды Фурье на пространстве непрерывных 2 –периодических функций Свертка периодических функций Сходимость рядов Фурье Страница 2 из 127 Понятие о полноте и замкнутости ортонормированной системы Замечания по поводу сходимости Назад Интегрирование и дифференцирование рядов Фурье Ряды Фурье периодических функций с периодом T = 2l Полный экран Разложение четных и нечетных функций Закрыть Вещественная форма тригонометрического ряда Фурье Выход Понятие об улучшении скорости сходимости ряда Фурье Примеры и приложения Периодические решения Задача о колебаниях струны Ряды Фурье Интегралы Фурье Нетригонометрические ряды Фурье Предметный указатель Краевые задачи теории дифференциальных уравнений Литература Нормальная форма краевой задачи Веб – страница Регулярная задача Штурма–Лиувилля Полнота собственных функций регулярной задачи Штурма–Лиувилля Титульный лист Теорема Штурма Страница 3 из 127 Назад Полный экран Закрыть Выход 1. Тригонометрические ряды 1.1. История вопроса Считается, что самый первый тригонометрический ряд был написан Эйлером. В его Ряды Фурье «Дифференциальном исчислении» 1755 года1 в главе «О представлении функций Интегралы Фурье рядами» можно найти следующее равенство Предметный указатель - x sin 2x sin 3x Литература = sin x + + + · · ·, x (0, 2).

2 2 3 Приблизительно в это же время Даниил Бернулли, в связи с задачей о колебании Веб – страница струны, впервые высказывает уверенность в возможности аналитического выражения «любой линии» на отрезке [0, 2] рядом из синусов и косинусов кратных дуг.

Титульный лист Однако положение здесь в значительной степени оставалось невыясненным вплоть до 1805 года2, когда Жан Батист Жозеф Фурье в статье о распространении тепла внутри твердых тел представил формулы для коэффициентов разложения функции в ряд по синусам и косинусам кратных дуг. Именно с его именем стали связывать следующие формулы для вычисления «коэффициентов Фурье» 1 an = f(x) cos nx dx, bn = f(x) sin nx dx, Страница 4 из - Назад для функции f с периодом 2, представимой в виде суммы тригонометрического ряда aПолный экран f(x) = + (an cos nx + bn sin nx).

n=Закрыть В действительности, впервые о нем Эйлер сообщил в письме к Гольдбаху в 1744 году Книга Фурье "Аналитическая теория теплоты"была опубликована в 1822 году Выход Следует, однако, подчеркнуть, что вопрос о представлении более или менее произвольной функции (с периодом 2) в виде суммы тригонометрического ряда вовсе не был решен Фурье, и еще на протяжении целого столетия математики занимались поисками тех или иных условий, при которых такое представление в том или ином смысле имеет место.

Ряды Фурье В настоящее время уже давно является осмысленным тот факт, что теория рядов Интегралы Фурье Фурье существенно зависит от понятия интеграла.3 Принимая в формулах Фурье все Предметный указатель более и более общее определение интеграла (Коши, Римана, Лебега, Данжуа), мы Литература все более и более будем расширять класс тригонометрических рядов Фурье. В настоящее время проводится разграничение даже между общими тригонометрическими рядами и тригонометрическими рядами Фурье. Так, например, тригонометрический Веб – страница ряд sin nx Титульный лист ln n n=сходится всюду, но не является рядом Фурье никакой интегрируемой (по Лебегу) функции.

Наконец, следует отметить, что благодаря работам Гильберта (начало XX века) стало возможным излагать теорию рядов Фурье в геометрической форме как теорию ортогональных (не только тригонометрических) разложений.

Страница 5 из Дальнейшее изложение ориентировано на интеграл Римана.4 Это обстоятельство не позволит осмыслить многие факты, касающиеся сходимости рядов Фурье, но, по образному выражению Хевисайда,5 «станете ли Вы отказываться от обеда только Назад потому, что Вам не полностью понятен процесс пищеварения» Это было отмечено еще Н.Н.Лузиным в его диссертации «Интеграл и тригонометрический ряд» в Полный экран 1915 году А не на более общий и более пригодный для данных рассмотрений интеграл Лебега Оливер Хевисайд — знаменитый английский физик и инженер, создатель операционного исчисления Закрыть Выход 1.2. Экскурс в теорию комплексных чисел Напомним, что множество комплексных чисел — это множество упорядоченных пар вещественных чисел (x, y) с операциями сложения (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) (1.1) Ряды Фурье Интегралы Фурье и умножения Предметный указатель (x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2 - y1y2, x1y2 + x2y1), Литература относительно которых множество комплексных чисел становится числовым полем C. Важно также, что относительно комплексного сложения (1.1) и умножения на Веб – страница вещественные числа c(x, y) = (cx, cy), Титульный лист поле C можно рассматривать как двумерное вещественное векторное пространство R2, т.е. плоскость. Комплексное число вида (x, 0) при этом отождествляется с ве щественным x. Выбирая в качестве базиса в R2 стандартный: 1 (1, 0) и i = (0, 1), приходим к алгебраической записи комплексного числа z = (x, y) = x + yi = x + iy.

Страница 6 из Операция предельного перехода определяется покоординатно. Таким образом, lim zn = lim xn + i lim yn, Назад zn = xn + i yn, Полный экран где zn = xn + iyn — последовательность комплексных чисел. Аналогично, если z = z(t) = x(t) + iy(t) — комплекснозначная функция вещественного переменного t, Закрыть Выход то lim z(t) = lim x(t) + i lim y(t), tt0 tt0 ttz (t) = x (t) + iy (t), Ряды Фурье b b b Интегралы Фурье z(t) dt = x(t) dt + i y(t) dt.

Предметный указатель a a a Литература Вместе с тем, комплексная плоскость C является метрическим пространством, функция расстояния d на котором определена модулем разности комплексных чисел Веб – страница d(z1, z2) = |z2 - z1| Титульный лист и операция предельного перехода может быть описана на языке «-» формально так же, как и в вещественном случае (с заменой слов «абсолютная величина» словом «модуль»). Например, критерий Коши существования конечного предела последовательности zn будет записываться так: последовательность zn имеет конечный предел тогда и только тогда, когда она фундаментальна, т.е.

> 0 N N : n, m N |zn - zm| <.

Страница 7 из В тригонометрической теории (комплексных) рядов Фурье исключительную роль играет комплексная экспонента exp(it) eit. Эта функция может быть определена Назад любым из следующих эквивалентных способов eit = cos t + i sin t, Полный экран n t eit = lim 1 + i, n n Закрыть (it)n eit =.

n! n=Выход Отметим, что это периодическая функция с периодом 2 и |eit| = 1 (t R).

Когда аргумент t пробегает отрезок [0, 2), точка eit пробегает на комплексной плосРяды Фурье кости единичную окружность в направлении против часовой стрелки. Как и вещеИнтегралы Фурье ственная экспонента, комплексная обладает свойством Предметный указатель eiseit = ei(s+t).

Литература Заметим, что eint, n Z, также периодична с наименьшим периодом (n = 0), так |n| Веб – страница что число 2 является общим периодом для все этих экспонент. Если n = 0, то eint eint является производной функции, которая также имеет период 2, так что Титульный лист in 2, n = eint dt = (1.2) 0, n = ±1, ±2,...

Напомним также формулы Эйлера eit + e-it eit - e-it Страница 8 из cos t =, sin t =.

2 2i Назад Отметим, наконец, одно важное свойство периодических функций.

Лемма 1.1 (об интегрировании периодических функций). Пусть f(t) — непреПолный экран рывная комплекснозначная периодическая функция с периодом T. Тогда a R a+T T Закрыть f(t) dt = f(t) dt.

a Выход Доказательство. В силу аддитивности интеграла a+T a+T 0 T f(t) dt = f(t) dt + f(t) dt + f(t) dt a a 0 T Ряды Фурье 0 T a Интегралы Фурье = f(t) dt + f(t) dt + f(s + T ) ds Предметный указатель a 0 Литература 0 T a T = f(t) dt + f(t) dt + f(s) ds = f(t) dt.

Веб – страница a 0 0 Титульный лист 1.3. Определения Определение 1.2 (Вещественная форма). Пусть an и bn — две последовательности комплексных чисел. Тригонометрическим рядом называется ряд Страница 9 из a0 + (an cos nx + bn sin nx), x R.

n=Назад Заметим, что при n N einx + e-inx einx - e-inx Полный экран an cos nx + bn sin nx = an + bn = cneinx + c-ne-inx, 2 2i где Закрыть an - ibn an + ibn cn =, c-n =.

2 Выход И наоборот, cneinx +c-ne-inx = cn(cos nx+i sin nx)+c-n(cos nx-i sin nx) = an cos nx+bn sin nx, где Ряды Фурье an = cn + c-n, bn = i(cn - c-n).

Интегралы Фурье Отсюда Предметный указатель Литература Определение 1.3 (Комплексная форма). Пусть cn, n Z — последовательность комплексных чисел. Тригонометрическим рядом называется ряд Веб – страница + c0 + (cneinx + c-ne-inx) cneinx, x R.

n=1 n=Титульный лист Переход от вещественной формы к комплексной и наоборот осуществляется пе ресчетом коэффициентов c0 = a an - ibn an + ibn cn =, c-n =, n N 2 Страница 10 из an = cn + c-n, bn = i(cn - c-n), n N. (1.3) Назад 1.4. Случай равномерной сходимости Теорема 1.4. Пусть тригонометрический ряд удовлетворяет любому из следуюПолный экран щих эквивалентных условий Закрыть • ряды |an| и |bn| сходятся, n=1 n=Выход • ряды |cn| и |c-n| сходятся.

n=1 n=Тогда тригонометрический ряд сходится равномерно на R к непрерывной периодической с периодом 2 функции f, причем Ряды Фурье 2 Интегралы Фурье Предметный указатель cn = f(x)e-inx dx, n Z, Литература Веб – страница an = f(x) cos nx dx, n N, Титульный лист bn = f(x) sin nx dx, n N.

Доказательство. Эквивалентность условий теоремы следует из неравенств |an| |cn| + |c-n|, |bn| |cn| + |c-n|, |an| + |bn| |an| + |bn| Страница 11 из |cn|, |c-n|.

2 Далее, в силу Назад |cneinx + c-ne-inx| |cn| + |c-n|, Полный экран тригонометрический ряд имеет мажорантный сходящийся ряд (|cn| + |c-n|), не n зависящий от x. В силу признака Вейерштрасса, тригонометрический ряд сходится Закрыть равномерно на R. Поскольку члены тригонометрического ряда являются непрерывными периодическими функциями с периодом 2, таковой будет и сумма ряда (в Выход силу равномерной сходимости). Обозначим сумму ряда через f(x):

f(x) = c0 + (cneinx + c-ne-inx), x R.

n=Ряды Фурье В силу неравенства Интегралы Фурье Предметный указатель |(cneinx + c-ne-inx)e-ikx| |cn| + |c-n|, Литература ряд Веб – страница c0e-ikx + (cneinx + c-ne-inx)e-ikx, x R, n=Титульный лист равномерно сходится к функции f(x)e-ikx, и этот ряд можно почленно интегрировать. В силу (1.2) все члены ряда при интегрировании по интервалу [0, 2] обращаются в ноль, за исключением слагаемого с номером n = k:

2 + 1 cn f(x)e-ikx dx = ei(n-k)x dx = ck, k Z.

2 n=0 Страница 12 из Соотношения для ak и bk вытекают из (1.3) и формул Эйлера.

Назад Замечание 1.5. Формулы для коэффициентов an, bn, cn в силу леммы 1.1 могут быть Полный экран Закрыть Выход переписаны, например, в виде cn = f(x)e-inx dx, n Z, Ряды Фурье 1 Интегралы Фурье an = f(x) cos nx dx, n N, Предметный указатель Литература bn = f(x) sin nx dx, n N.

Веб – страница Титульный лист Страница 13 из Назад Полный экран Закрыть Выход 2. Тригонометрические ряды Фурье 2.1. Постановка вопроса Посмотрим на проблему с другой стороны. Пусть теперь f(x) — произвольная непреРяды Фурье рывная периодическая с периодом 2 функция. Определим по ней последовательноИнтегралы Фурье сти чисел an, bn, cn согласно формулам Предметный указатель Литература cn = f(x)e-inx dx, n Z, (2.1) Веб – страница a0 = f(x) dx, (2.2) Титульный лист an = f(x) cos nx dx, n N, (2.3) 2 bn = f(x) sin nx dx, n N, (2.4) Страница 14 из см., также, замечание 1.5. Эти коэффициенты называются коэффициентами Фурье Назад функции f(x). Формулы перехода между комплексными и вещественными коэффициентами определяется равенствами Полный экран ac0 =, (2.5) an - ibn an + ibn Закрыть cn =, c-n =, n N, (2.6) 2 an = cn + c-n, bn = i(cn - c-n), n N. (2.7) Выход (Отметим отличие от предыдущей нормировки при n = 0).

Сопоставим функции f(x) тригонометрический ряд af(x) cneinx = + (an cos nx + bn sin nx), x R.

n=- n=Ряды Фурье Интегралы Фурье Он называется [тригонометрическим] рядом Фурье функции f.

Предметный указатель Что можно сказать о сходимости этого ряда Если ряд сходится, что собой предЛитература ставляет его сумма, какое отношение она имеет к функции f Что будет происходить со всеми этими соотношениями, если функцию f выбирать более гладкой или, наоборот, менее гладкой Веб – страница Таковы, в общих чертах, вопросы, которые нас будут интересовать в дальнейшем.

Однако для ответов на поставленные вопросы полезно сделать маленький Титульный лист 2.2. Экскурс в теорию унитарных пространств Напомним, что унитарное пространство — это комплексное векторное пространство V со скалярным произведением a|b, a, b V. Напомним свойства комплексного скалярного произведения:

1. a + µb|c = a|c + µ b|c, Страница 15 из 2. b|a = a|b, Назад 3. a|a 0, 4. a|a = 0 a = 0.

Полный экран Заметим, что a|b + µc = a|b + µ a|c.

Закрыть Неотрицательное число a = a|a Выход называется [эрмитовой] нормой вектора a. Как и всякая норма, эрмитова удовлетворяет свойствам 1. a = || a, 2. a + b a + b, Ряды Фурье Интегралы Фурье 3. a = 0 a = 0.

Предметный указатель Теорема 2.1 (Неравенство Шварца).

Литература | a|b | a · b.

Веб – страница Доказательство. Положим = - arg a|b, так что a|b = | a|b |e-i. Тогда x R Титульный лист xeia + b|xeia + b = x2 a|a + xei a|b + xe-i b|a + b|b = x2 a 2 + 2x| a|b | + b 2 0, откуда (условие неотрицательности дискриминанта) и вытекает неравенство Шварца.

Функция d(a, b) = a - b Страница 16 из имеет смысл [эрмитова] расстояния между векторами a и b.

Векторы a и b называются ортогональными, если их скалярное произведение Назад равно нулю:

a b a|b = 0.

Полный экран Последовательность векторов e1, e2,... называется ортонормированной, если эти векторы взаимно ортогональны и имеют длину равную единице:

Закрыть 0, m = n, em|en = mn = 1, m = n.

Выход Для произвольного вектора a V числа cn(a) = a|en называются коэффициентами Фурье вектора a относительно ортонормированной Ряды Фурье системы (en).

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.