WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 ||

United Nations Children's Fund – International Child Development Center: Florence, Italy, 1998.

Gittleman M., Joyce M. Have Family Income Mobility Patterns Changed // Demography. 1999. Vol. 36. № 3. P. 299 – 314.

Jarvis S., Jenkins S. P. How Much Income Mobility Is There In Britain // The Economic Journal. 1998. V. 108. № 447. P. 428 – 443.

Lambert P. J. Rich-to-Poor Income Transfers Reduce Inequality: a Generalization // Research on Economic Inequality. Vol. 2. Greenwich, Connecticut-London, England: JAI Press Inc. 1992. P. 183 – 192.

Perotti R. Political Equilibrium, Income Distribution and Growth // Review of Economic Studies. 1993. Vol. 60. № 4. P. 755 – 776.

Sawhill I. V., McMurrer D. P. Economic Mobility in the United States. A Companion Piece to How Much Do Americans Move Up and Down the Economic Ladder / Companion Piece to Number 3 in Series, "Opportunity in America". 1996 // Internet http://www.urban.org/oppor/opp_031b.html.

Shorrocks A. F. Aggregation Issues in Inequality Measurement // Measurements in Economics. Heidelberg: Physica-Verlag, 1988.

P. 429 – 451.

Shorrocks A. Income Inequality and Income Mobility // Journal of Economic Theory. 1978. Vol. 19. № 2. P. 376 – 393.

Shorrocks A. F. The Measurement of Mobility // Econometrica. 1978.

№ 5. P. 1013 – 1024.

Shorrocks A. F. Ranking Income Distributions // Economica. 1983.

V. 50. P. 3 – 17.

Shorrocks A. F., Foster J.E. Transfer Sensitive Inequality Measures // Review of Economic Studies. 1987. LIV. P. 485 – 497.

ПРИЛОЖЕНИЕ Свойства промедианной меры неравенства Ime В данном разделе мы рассмотрим вопрос, обладает ли предложенная мера Ime указанным выше списком свойств.

1. Инвариантность по отношению к перестановкам.

Это свойство непосредственно следует из аддитивности меры неравенства (3).

2. Непрерывность по x.

Поскольку слагаемые меры Ime(X) являются непрерывными функциями от xi и me, достаточно доказать непрерывность медианы как функции x.

Доказательство непрерывности медианы:

a) пусть n = 2k + 1, в этом случае медиана me = me(x) = x(k+1).

Пусть x(k1) < x(k1 + 1) = … = x(k + 1) = … = x(k2 – 1)

б) аналогично для n = 2k. Пусть x(k1) < x(k1 + 1) = … = x(k) x(k + 1) = … = x(k2 -1) < x (k2). В этом случае, если изменения компонент вектора x не превышают min(x(k) – x(k1), x(k2) – x(k+1))/2, изменения me(x) не превышают изменений (x(k) + x(k+1))/2.

Это доказывает непрерывность me(x) в обычном случае, когда существуют соответствующие x(k1) и x(k2). В случае, когда x(k1) или x(k2) отсутствуют, доказательство также не представляет сложности.

3. Если xi = const i = 1,…n, то Ime(x) = 0.

В этом случае все промедианные доходы будут равны единице и Ime(x) совпадет с суммой квадратов логарифмов единицы, т. е. будет равна нулю.

4. Инвариантность к повторению данных.

Пусть вектор y получен q-кратным повторением вектора доходов x. Для доказательства этого свойства достаточно показать, что при повторении вектора доходов медиана не изменится. Cлагаемые Ime(y) будут, в этом случае, q-раз повторенными слагаемыми Ime(x), а общее число слагаемых равно nq.

При n = 2k вариационный ряд по y будет состоять из 2kq компонент, при этом y(kq) = x(k), a y(kq + 1) = x(k + 1). Следовательно, медиана этого ряда совпадает с me = (x(k) + x(k + 1))/2.

При n = 2k + 1 вариационный ряд по y будет состоять из 2kq + q компонент.

Если q = 2s, то медиана y определяется полусуммой (y(kq + s) + y(kq + s + 1))/2.

Поскольку y(kq + s)=y(kq + s + 1) = x(k), в этом случае медиана y совпадает с me. Если q = 2s + 1, то медиана y определяется как y(kq + s + 1) = x(k) = me.

5. Инвариантность к шкале измерения: Ime (cx) = Ime(x), c > 0.

Медианой вектора cx будет c*me, поэтому слагаемые Ime(cx), равные ln2((cxi)/(c*me)), совпадают с ln2((xi)/(me)) – слагаемыми Ime(x).

ПРИЛОЖЕНИЕ Принцип трансфертов и промедианная мера неравенства Будем считать, что доход измеряется в числе медиан и представляет собой случайную величину с функцией распределения F(x).

Предположим, что имеется черта бедности z0 > 1. Пусть имеется убывающая функция пропорций перераспределения доходов (x), (z0) = 0, такая, что доход, получаемый населением, изменяется на величину (x), > 0, т. е. доход после перераспределения равен x + (x). При этом для функции должна существовать такая достаточно малая величина > 0, чтобы доходы не изменились настолько, что они перешли границу бедности z0. Иными словами, вследствие перераспределения доходы богатых (доноров) уменьшаются, но не настолько, чтобы они попали за черту бедности и стали бедными, а доходы бедных (реципиентов) увеличиваются, но не настолько, чтобы они перестали быть бедными.

Кроме того, должен соблюдаться баланс по сумме изъятых у богатых и полученных бедными доходов:

(x)dF(x) = 0 (1) Функция (x) в промежутке 0 < x < z0 может быть взята, например, пропорциональной известной весовой функции ФостераГриира-Торбекка [Айвазян, Колеников, 1999].

k z0 - x w(x) =, 0 < k 1, (2) z При x z0 функция (x) может быть взята пропорциональной доле отчислений от превышения доходом x границы бедности z0:

(x) = с(x)(z0 – x) (3) В соответствии с общепринятой практикой изъятия налогов по прогрессивной шкале функция с(x) > 0 должна быть неубывающей функцией от x.

Замечание 1. Так как (x) убывает при 0 < x < z0 и (x) > 0, то убывает и (x)/x.

Замечание 2. Если (x) задана формулой (3), то (x)/x = c(x)(z0/x – 1) и (x)/x не возрастает при x z0.

Исходя из этих замечаний (x)/x – монотонно (не обязательно строго) убывающая функция.

Дополнительные условия для (x):

а) учитывая естественный вид функции (x), представленный формулами (2) и (3), мы будем считать, что (x)/x – также убывающая функция от x.

б) будем считать, что вероятность перераспределения дохода 1dF(x) > 0, т. е. функция (x) нетривиальна.

( x)Теорема. Если математическое ожидание логарифма доходов равно нулю, малые трансферты в соответствии с функцией пропорций перераспределения доходов, удовлетворяющей всем необходимым условиям и дополнительным условиям а и б, приводят к уменьшению неравенства.

Доказательство.

После перераспределения доходов медиана распределения будет равна уже не единице, а 1 + (1) и доход в числе медиан будет представлен в виде y(x) = (x + (x))/(1 + (1)). Следовательно интегральное представление промедианной меры дохода будет иметь вид:

t + (t) Ime (x +,(x)) = ln2 ( )dF(t). (4) 1+ (1) Рассмотрим разложение Ime(x,, ) в ряд Тейлора по в окрестности = 0:

Ime(x +,(x)) Ime(x + (x))= Ime(x) + | =0 + o( ) (5) Так как третье слагаемое равенства (5) мало по сравнению с, знак изменения меры неравенства Ime(x + (x)) при малых определяется знаком производной этой меры по :

Ime (x +,(x)) (t) | =0 = 2 ln(t)( - (1))dF(t) (6) t или Ime(x +, (x)) (x) (x). (7) | =0= 2 cov(ln(x), ) + 2E(ln(x))(E( ) - (1)) x x Так как по условию теоремы E(ln(x)) = 0, то Ime (x +,(x)) (x) | =0 = 2cov(ln(x), ). (8) x Поскольку ln(x) – монотонно возрастающая функция, а (x)/x – убывающая функция от доходов x, то cov(ln(x),(x)/x) 0, причем, если (x) нетривиальна, это неравенство будет строгим.

Последнее следует из того, что cov(ln(x),(x)/x) можно представить в виде (t) (exp(E(ln(x)))) (ln(t) - E(ln(x))) - (9) dF(t).

t exp(E(ln(x))) В точке t = exp(E(ln(x))) оба сомножителя выражения под интегралом равны нулю, поэтому ввиду их монотонности выражение под интегралом неположительно. Поскольку (x) нетривиальна (дополнительное условие б) – величина интеграла – отрицательна.

Замечание 3. Чтобы не усложнять формулировку теоремы, мы не включили в нее естественные требования к распределению доходов, необходимые для сходимости соответствующих интегралов. Укажем только, что для обычно используемых приближений распределений доходов – логарифмически нормального и распределения Вейбула с параметром формы большим единицы, для рассматриваемых функций пропорций перераспределения сходимость интегралов имеет место.

Замечание 4. Предположим, что от натуральных единиц в измерении дохода мы перешли к его измерению в числе среднегеомет рических, тогда при выполнении условий теоремы также можно показать, что (x +,(x)) (x) | =0 = 2cov(ln(x), ). (10) x При этом требование равенства нулю E(ln(x)) отпадает, поскольку выполняется автоматически.

Насколько обременительно в нашей теореме требование E(ln(x)) = 0 Здесь мы должны заметить, что для логарифмически нормального распределения доходов при измерении доходов в числе медиан это условие выполняется автоматически. Кроме того, на практике в исследуемых нами совокупностях отклонения среднего логарифма доходов от нуля незначительно.

Пример изменения неравенства при перераспределении доходов Имеется 11 индивидуумов (табл. П 2.1), их доходы измерены в числе медиан. В качестве порога, отделяющего бедных, взята величина z0 = 0,55 (три индивидуума попали в группу бедных).

Функция пропорций перераспределения доходов. Для x > zона полагалась равной (x) = z0 – x.

Это означает, что отчисление в пользу бедных пропорционально величине дохода превышающей z0. В области x z0 значения определяются на основе весовой функции w(x) = (z0-x)/z0.

Значения вычисляются по формуле (x) = cw*w(x), где константа cw определяется уравнением:

cw w(x) = - (x).

xz0 x>zВеличина параметра взята равной 0,01, величина трансферта равна (x).

С учетом перераспределения вычислен скорректированный промедианный доход: Y(x) = (x + (x))/(1 + (1)).

Трансферт не изменил иерархии доходов: сохранились все ранги доходов. В результате перераспределения доходов неравенство уменьшилось. Особенно заметно изменился вклад в неравенство у самых бедных и у самых богатых индивидуумов. Практически не изменился вклад в неравенство индивидуумов, расположенных вблизи медианы.

Таблица П 2.Изменение неравенства в результате трансферта от обеспеченного населения к бедному N Income Contri- Weights / Transfert New Corrected Contribution Change of cont(x) bution Taxes income promedian to Ime ribution to Ime income Y(x) 1 0,187 2,813 0,660 7,791 0,0779 0,265 0,266 1,753 -1,2 0,363 1,029 0,341 4,022 0,0402 0,403 0,405 0,819 -0,3 0,500 0,480 0,091 1,071 0,0107 0,511 0,513 0,445 -0,4 0,653 0,182 0,103 -0,103 -0,0010 0,652 0,655 0,180 -0,5 0,803 0,048 0,253 -0,253 -0,0025 0,800 0,804 0,048 -0,6 1,000 0,000 0,450 -0,450 -0,0045 0,996 1,000 0,000 0,7 1,250 0,050 0,700 -0,700 -0,0070 1,243 1,249 0,049 0,8 1,602 0,222 1,052 -1,052 -0,0105 1,591 1,598 0,220 -0,9 2,082 0,537 1,532 -1,532 -0,0153 2,066 2,076 0,533 -0,10 3,005 1,211 2,455 -2,455 -0,0245 2,980 2,994 1,202 -0,11 6,890 3,725 6,340 -6,340 -0,0634 6,827 6,857 3,707 -0,Total 18,334 0,936 0,000 0,0000 18,334 18,417 0,814 -0,.

ПРИЛОЖЕНИЕ Эквивалентная шкала РМЭЗ В основе шкалы экономии на размере домохозяйства РМЭЗ лежит дифференциация в уровне потребления продуктов питания между мужчиной и женщиной. Женщина потребляет меньше килокалорий и имеет как потребительская единица меньший вес, чем мужчина. Веса мужчины и женщины дифференцированы в зависимости от размера домохозяйства. В таблице П 3.1.* приведены мультипликаторы для мужчин и женщин в домохозяйствах разного размера:

Таблица П 3.Шкала коэффициентов экономии на размере домохозяйства Размер домохозяйства 1 2 3 4 5 6 7 (человек) Мужчины 1 0,9 0,82 0,76 0,72 0,69 0,67 0,Женщины 1 0,89 0,81 0,76 0,72 0,69 0,68 0,Соответствие между размером домохозяйства и количеством потребительских единиц по эквивалентной шкале РМЭЗ приведено ниже:

Таблица П3.Число потребительских единиц в домохозяйствах разного размера Размер домохозяйства 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (человек) Число потребитель 1 1,79 2,44 3,04 3,6 4,14 4,73 5,44 6,13 6,ских единиц * В таблице П 3.1. воспроизведена таблица 12 из [Попкин, Батурин, Можина, Мроз и др., 1996].

ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица П 4.Распределение населения по полу и возрасту в городе и селе в исходной выборке РМЭЗ и в консистентной выборке по периодам наблюдения Воз- 1994 – 1995 1995 – 1996 1996 – раст Город Село Город Село Город Село (лет) Конс. Конс. Конс. Конс. Конс. Конс.

выб., выб., выб., выб., выб., выб., 1994 1994 1995 1995 1996 До 17 13,0 12,9 14,9 14,7 12,8 13,1 14,9 14,5 12,6 12,8 14,4 14,18 – 29 7,7 6,6 6,0 5,2 7,8 6,7 5,9 5,7 7,7 6,5 6,4 6,30 – 44 11,2 10,7 11,0 11,0 10,8 10,6 10,9 10,9 11,0 10,5 11,2 11,45 – 59 7,8 8,0 6,8 6,6 8,0 8,0 7,0 6,4 7,9 8,1 6,4 6,60 + 5,5 6,0 7,2 7,2 5,5 5,5 6,8 7,1 5,5 5,3 7,1 6,До 17 12,3 12,4 14,1 14,3 12,0 12,2 14,1 14,5 12,1 12,6 13,9 15,18 – 29 9,0 8,0 6,9 6,4 9,1 8,6 6,7 6,1 9,6 8,8 7,3 6,30 – 44 12,9 13,2 10,5 11,1 12,7 12,9 10,8 12,2 12,5 13,2 10,6 12,45 – 59 10,0 10,7 8,9 9,2 10,1 10,9 8,9 9,1 10,0 11,0 8,6 9,60 + 10,5 11,5 13,6 14,4 11,0 11,5 14,0 13,4 11,3 11,1 14,0 12,РМЭЗ, РМЭЗ, РМЭЗ, РМЭЗ, РМЭЗ, РМЭЗ, Женщины Мужчины Пол Таблица П 4.Верхняя граница промедианного дохода квинтилей в исходной (РМЭЗ) и консистентной выборках в 1994 – 1998 гг.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.