WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |

Результат теоремы 1 позволяет ограничиться классом управлений вида (4)-(5), определяемых равновесными (в игре центров) управлениями, теорема 2 детализирует свойства оптимальных управлений в задаче стимулирования, но, помимо свойства (13), ничего не говорит о том какие управления центров являются равновесными. Поэтому исследуем более подробно игру центров.

5. ИГРА ЦЕНТРОВ Рассмотрим сначала многоэлементную двухуровневую АС с РК, в которой центры имеют скалярные предпочтения, а АЭ – векторные. В задаче стимулирования в рамках гипотезы благожелательности в соответствии с результатами теорем 1 и 2 можно ограничиться равновесными (в том числе Парето-эффективными – в соответствии с А.3) стратегиями центров, отличными от нуля только при условии, что АЭ выбирает требуемое действие.

Фиксируем x A’. Рассмотрим стратегии центров вида:

l, yi = xi l ij (15) ( y) =, j Mi, i I, l K, ij 0, yi xi l где 0 – некоторые константы, j Mi, i I, l K.

ij Из (14) следует, что должно иметь место (16) = cij(x), j Mi, i I.

l ij lK До окончания настоящего раздела будем считать, что выполнены предположения А.1-А.11.

Лемма 4. Система стимулирования (15)-(16) реализует действие x A’ как РДС игры АЭ и характеризуется минимальными затратами на стимулирование.

Доказательство леммы 4. Система стимулирования (15) с учетом условий (16) удовлетворяет условиям (13) и (14).

Следовательно, по теореме 2 в рамках гипотезы благожелательности x A’ – РДС. По следствию из теоремы 2 затраты на стимулирование при этом минимальны, а система стимулирования – оптимальна. • Следствие из леммы 4. При решении задачи стимулирования без потери эффективности можно ограничиться классом систем стимулирования (15)-(16).

Обозначим (17) Wl = max {Hl(y) - с ( y) }, ij yA' iI jMi l (18) = l, l K.

ij iI jMi Величина Wl характеризует тот выигрыш, который может получить l-ый центр осуществляя управление (и выплачивая вознаграждения) коллективом АЭ в одиночку (без других центров). Следовательно условие индивидуальной рациональности можно для него записать как условие совместной с другими центрами реализации таких действий АЭ, что его выигрыш окажется не менее (17). Другим словами, l-му центру выгодно реализовывать такие действия x A’, доход от которых с учетом выплат (18) оказывается не меньше (17):

l (19) Hl(x) - Wl, l K.

Собирая воедино (16)-(19), определим следующее множество:

l (20) (x) = { 0, j Mi, i I, l K | ij Hl(x) - l max [Hl(y) - с ( y) ], l K;

ij ij iI jMi yA' iI jMi l = cij(x), j Mi, i I}.

ij lK Множество (x), которое, следуя аналогии с [19], назовем областью компромисса, характеризует множество таких комбинаций выплат со стороны центров активным элементам, которые являются равновесием игры центров.

Из теорем 1, 2 и леммы 4 следует справедливость следующего результата.

Теорема 3. Равновесиями игры центров являются управления (15), которые удовлетворяют (20) и реализуют действия x A’ как РДС игры АЭ.

Из теоремы 3 следует, что реализуемыми являются такие действия АЭ, для которых соответствующие множества (20) непусты.

Обозначим l (21) W = max { H ( y) - с ( y) }, ij yA' lK iI jMi l (22) x* = arg max { H ( y) - с ( y) }.

ij yA' lK iI jMi Следствие из теоремы 3. Если x A’: (x), то W l W.

lK Результат следствия обосновывается суммированием выражений (19) по всем центрам и сравнением получающейся суммы с (21) с учетом определения множества (20).

Как отмечалось в [29], разность W - может инW l lK терпретироваться как «интегральная» мера согласованности интересов центров.

Приведенная ниже лемма позволяет агрегировать описание АЭ и представить их в виде одного АЭ с функцией затрат c(): A’, определяемой следующим образом:

(23) c(y) = с ( y).

ij iI jMi * Обозначим = (x*), = (x), xA' l l (24) ’(x) = { 0, l K | Hl(x) - Wl, l K, l = c(x)}.

lK Лемма 5. Для любого x A’ множество ’(x) непусто тогда и только тогда, когда непусто множество (x).

Доказательство леммы 5. Фиксируем произвольный x A’. Если (x), то из (20) с учетом (18) и (23) получаем, что ’(x). Пусть теперь ’(x). Из (24) следует, l l что { 0}: Hl(x) - Wl, l K, = c(x). Условия l lK l Hl(x) - Wl, l K, в (20) и (24) совпадают. Система неравенств (18), = cij(x), j Mi, i I, в силу (23) всегда l ij lK разрешима (быть может, решение и неединственно) относиl тельно { }. • ij Утверждение леммы 5 позволяет (в том числе за счет теоремы 3) свести рассматриваемую многоэлементную АС с векторными предпочтениями АЭ к одноэлементной АС РК со скалярными предпочтениями АЭ, что дает возможность переносить на рассматриваемый класс моделей результаты, полученные в [14, 29].

Лемма 6. Если W, то.

W l lK Доказательство леммы 6. Следствие из теоремы 3 гласит, что условие W выполнено, если множество W l lK не пусто. В настоящей лемме требуется доказать обратное утверждение, то есть, что, если W, то. ПредW l lK положим противное, то есть пусть W l W и =.

lK * Тогда по лемме 5 ’ = ' (x). Следовательно, ’ =.

xA' Последнее условие можно записать следующим обраl l зом: { 0}: Hl(x*) - Wl, l K выполнено l < c(x*) (знак последнего неравенства обусловлен тем, lK что в (16) для реализуемости соответствующего действия достаточно потребовать, чтобы cij(x), j Mi, i I.

l ij lK l Выберем конкретные { } удовлетворяющие Hl(x*) l l Wl, l K, а именно – положим = Hl(x*) - Wl, l K.

l Просуммируем k последних равенств: = H (x* ) l lK lK W l. По условию леммы получаем, что lK l H (x* ) - W. Так как по определению l lK lK l W = H (x* ) - c(x*), то c(x*), что противоречит l lK lK предположению < c(x*). • l lK Величина (21) играет существенное значение для определения непустоты множества () - в частности, следующее следствие лемм 5-7 включает в себя лемму 21 работы [29] как частный случай.

* Следствие лемм 5, 6. Если =, то =. Если W l W, то *.

lK Содержательно, из лемм 4-6 следует, что точка x* A’ является характерной в том смысле, что, если множество * * не пусто, то, и наоборот – если =, то =.

Этот факт будет широко использоваться ниже при решении задач согласования интересов центров и др.

В заключение настоящего раздела кратко рассмотрим общий случай, в котором предпочтения центров – векторные. Во втором разделе настоящей работы отмечалось, что в общем случае предпочтения центров отражены их векторij ными целевыми функциями (ui, y): Ui A’ R1, j = 1, qi, где qi – «размерность предпочтений» i-го центра, i K. В то же время, при рассмотрении задачи стимулирования предполагалось, что целевые функции центров скалярны (см.

i i i выражение (9)): (y, ) = Hi(y) - (y), i K. Все результаты, полученные в настоящем разделе, останутся в силе, если предпочтения центров – векторные и имеют вид:

ij i ij i ij (y, ) = Hij(y) - (y), где 0, ij = 1, j = 1, qi, jQi i K, и выполнено предположение А.3, в рамках которого равновесие игры центров определяется по аналогии с равновесием игры АЭ (см. выражение (1)). Однако, такое обобщение является искусственным – как будет видно из последующего изложения, для нужд практических задач использование скалярных предпочтений центров, определенных на векторах результатах деятельности АЭ оказывается достаточным. Следует признать, что ограничиваясь скалярными предпочтениями центров мы уходим от задачи агрегированного представления многокритериальных предпочтений, считая агрегаты Hi( ), i K, уже заданными (если имеется только совокупность критериев, а агрегат не определен, то для его введения могут использоваться методы, описанные в [2, 3, 18, 30]).

Описав игру центров, перейдем к изучению согласования их интересов и исследованию задач управления в многоуровневых многоэлементных АС РК.

6. РОЛЬ ВЫСШИХ ОРГАНОВ УПРАВЛЕНИЯ До сих пор мы рассматривали двухуровневую АС, содержащую n АЭ на нижнем уровне иерархии и k центров на верхнем уровне иерархии, причем предпочтения АЭ на многомерном множестве действий (результатов их деятельности) были векторными.

В терминах ПРР рассматриваемая модель охватывает, например, следующие ситуации. В регионе имеются n предприятий (или на предприятии имеются n подразделений), планирующих реализовать ПРР (для простоты можно считать, что каждое предприятие или подразделение реализует один и только один ПРР). Деятельность каждого предприятия по реализации ПРР описывается вектором yi размерности mi 1 результатов его действий (результатов деятельности – результатов реализации соответствующего ПРР). Для достижения результата yi требуются затраты ci(yi, y) = ( yi, y-i ), которые в общем случае зависят от i c ij jMi результатов реализации других ПРР. Другими словами, несепарабельность затрат по АЭ отражает возможную взаимосвязь и взаимозависимость ПРР.

Распределенная система принятия решений (например – администрация региона или руководство предприятия) включает k индивидуальных или коллективных субъектов (центров), каждый из которых оценивает эффект Hl(y) от реализации набора ПРР, l K. Различие между значениями эффектов у различных центров может объясняться различиями их оценок приоритетов критериев, описывающих результаты реализации ПРР. Так, например, одно из подразделений администрации региона может считать наиболее важным социальные аспекты результатов ПРР, другое подразделение – экономические аспекты, третье – экологические и т.д.

Частным случаем такой модели является ситуация, в которой каждый из ПРР описывается одними и теми же показателями, то есть, ni = n’, где n’ – число показателей, отражающими результаты ПРР, i I, и оценивается самими АЭ по одним и тем же критериям, то есть Mi = M, i I, а центрами – быть может по другим, но одним и тем же для всех центров, n’ критериям. В еще более частном случае |M| = n’.

При этом в задаче стимулирования считается, что эффект и затраты измеряются в одних и тех же единицах и входят в целевые функции участников АС аддитивно, что приводит к тому, что «максимизации» эффективности в векторном смысле соответствует максимизация суммарного эффекта за вычетом суммарных затрат.

В качестве примера рассмотрим модельную ситуацию, в которой каждый проект описывается двумя показателями (n’ = 2): приростом объема производимой продукции yi1 и приростом качества yi2, каждый из которых измеряется некоторым неотрицательным действительным числом, i I.

Каждый АЭ оценивает затраты, соответствующие вектору yi = (yi1, yi2), по двум критериям (mi = 2, i I): изменение постоянных издержек и изменение переменных издержек, оценки по которым определяются затратами cij(yi1, yi2, y-i), j = 1, 2. Таким образом, для получения результата yi необходимы затраты ci(y) = ci1(yi1, yi2, y-i) + ci1(yi1, yi2, y-i). Три центра (k = 3) оценивают эффект вектора y каждый по своему критерию Hl( ): «социальному», «экономическому» и «экологическому», причем единицы измерения выбраны так, чтобы имела смысл суммарная эффективность, определяемая как разность суммарного (по всем критериям центров) эффекта и суммарных (по всем АЭ) затрат.

Завершив содержательные интерпретации описания модели, обсудим теоретические результаты четвертого и пятого разделов.

Теорема 3 и лемма 5 дают решение задачи управления в смысле характеризации множества «простых» - декомпозирующих - управлений, в котором содержится оптимальное решение, и позволяют рассматривать в рамках задачи стимулирования (см. целевые функции (9), 10)) агрегированное описание агентов.

Результаты пятого раздела дают ответ на вопрос – в каких случаях возможна система компенсаций центрами затрат АЭ на реализацию ПРР, такая, что каждому АЭ выгодно реализовывать соответствующий ПРР, и каждому центру выгодна реализация (то есть поддержка во взаимодействии с другими центрами) именно данного набора ПРР по сравнению с самостоятельным финансированием любой группы проектов.

Результаты лемм 4-6 и следствия из них характеризуют множество действий АЭ, которые могут быть реализованы, а также множество соответствующих равновесных стратегий центров. Другими словами, для каждой АС эти формальные результаты позволяют найти множества и (25) S = {x A’ | (x) }.

Множество S может интерпретироваться как множество согласованных [8] (в смысле согласованности интересов и предпочтений центров в соответствии с предположением А.3) результатов реализации ПРР, то есть множество таких векторов действий АЭ, которые центрам выгодно реализовывать совместно как Парето-эффективное и индивидуально рациональное равновесие своей игры. Непустота множества для некоторого x S свидетельствует, что центрам выгодно «скинуться» на реализацию этого действия. В соответствии с леммами 5-6 либо x* S, либо S =.

Таким образом, результаты пятого раздела дают решение задачи анализа (отвечают на вопрос – какие управления могут быть выбраны и какие результаты АЭ могут быть достигнуты), то есть задачи определения условий существования равновесий, и позволяют для каждой конкретной АС конструктивно построить множество равновесий и исследовать его свойства (непустоту и др.). Тем не менее, эти результаты не дают решения задачи синтеза, то есть не позволяют получить ответа на вопрос – какие управления должны быть выбраны. Нормативный аспект порождает два более частных вопроса:

* - что делать, если множество пусто (а если оно пусто, то пусто и множество - см. следствие лемм 5 и 6) * - если множество непусто и содержит более одной точки, то каковы должны быть фактические управления Пояснений требует словосочетание «должны быть». Если апеллировать к тому, что в рамках парадигмы рационального поведения [15, 24] считается, что должны быть выбраны лучшие управления, то пояснений будет требовать понятие «лучшие». Так как в АС содержится несколько активных субъектов, функция полезности каждого из которых позволяет определять лучшие с его точки зрения альтернативы, то необходимо определить - с чьей точки зрения лучшие управления должны быть выбраны.

При этом возможно несколько подходов. В рамках нормативной теории принятия решений [1, 16, 22] возможно введение агрегированного критерия, удовлетворяющего тем или иным разумным аксиомам и отражающего коллективное мнение центров. Тогда задача будет заключаться в реализации таких действий и в выборе таких управлений, которые максимизируют «коллективный» критерий. Это – один из возможных подходов. Однако, так как мы исследуем задачу управления, то будем реализовывать другой подход (который включает нормативный).

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.