WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 14 |

В связи тем, что конкретное решение задачи X приводит к возникновению случайного значения целевой функции, рассматривать выражение целевой функции как критерий нельзя, так как для решения задачи оптимизации критерий обязательно должен быть детерминированной величиной. Известны по крайней мере два варианта постановки задачи оптимизации. При первом варианте (так называемая М-постановка) случайное значение целевой функции заменяется ее математическим ожиданием max(M{El}) = E(C, X,Y1,Y2,...Yq) gi = gi ( Ai, X,Y1,...,Yq ){<=,=,>=}bi;

i = 1,2,...,m;

A = (a1,a2,...,aq );

X = (x1, x2,..., xl );

C = (c1,c2,...,cq ).

В другом варианте (так называемая P-постановка) максимизируется вероятность того, что целевая функция будет не меньше некоторого наперед заданного значения r max(P{El > r}) = E(C, X,Y1,Y2,...Yq ) i g = gi (Ai, X,Y1,...,Yq ){<=,=,>=}bi ;

i = 1,2,...,m;

A = (a1,a2,...,aq );

X = (x1, x2,..., xl );

C = (c1,c2,...,cq ).

Формулируя задачу разработки управленческого решения в условиях риска, необходимо определить детерминированные характеристики случайного процесса, значения которого являются параметрами задачи Y= (y1,…,yr, … ), например моменты и вид функции распределения, что достигается за счет различных способов обработки выборок реальных значений. Точность определения характеристик существенно зависит от объема выборки и свойств самого процесса. Менеджер должен обработать все известные ему достоверные значения случайной величины, сделать заключение о возможности расчета моментов распределения, рассчитать их, выдвинуть, если это возможно, гипотезу о функции (плотности) распределения случайной величины, проверить ее по критериям согласия и дать соответствующие мотивированные заключения.

Методы решения задач разработки управленческих решений в условиях риска могут быть разбиты на две основные группы. Первая группа – это методы сведения стохастической задачи к детерминированной. В их основе лежит замена случайных факторов их неслучайными характеристиками, например математическими ожиданиями, в результате чего стохастическая задача сводится к детерминированной. Подобный метод применяется преимущественно в ориентировочных расчетах, однако он оказывается достаточно эффективным и в том случае, когда диапазон возможных значений случайных величин сравнительно мал. Если известны, например, максимальное и минимальное значение параметра, то можно говорить о так называемой трубке риска. Если задача линейная, то показатель эффективности находится внутри некоторого диапазона значений, определяемого соответственно при максимальном и минимальном значении параметра. Если максимальное и минимальное значение переменной не могут быть определены непосредственно, то в качестве них могут быть использованы рассчитанные значения доверительного интервала их изменения с заданным уровнем вероятности его превышения. Результат решения задачи в этом случае при M-постановке представляется в виде решения X, обеспечивающего максимум среднего значения целевой функции, диапазона ее изменения и (или) стандартного отклонения и доверительного интервала. Решение задачи в P-постановке в этом случае оказывается невозможным.

Вторая группа методов – методы “оптимизации в среднем” – позволяют найти решение, максимизирующее ту или иную статистическую характеристику показателя эффективности. Отметим, что речь идет о введении нового критерия оптимальности, отличного от критерия, использовавшегося при решении детерминированных задач, со всеми вытекающими из этого обстоятельства последствиями. Таким образом, математически прием “оптимизация в среднем” состоит в переходе от исходного случайного показателя E к его детерминированной характеристике, например к математическому ожиданию или к дисперсии.

Вычисление математического ожидания оказывается предпочтительным в том случае, когда требуется отыскать максимум целевой функции, однако встречаются задачи, требующие, например, минимизировать некоторое отклонение от заданного значения. Если исходная модель задачи линейная, то вычисление математического ожидания в качестве целевой функции сохраняет ее в классе линейных задач, в то время как вычисление дисперсии неизбежно переводит задачу в категорию задач квадратичного программирования.

Для линейной задачи E = i...E (A, X, y1i, y2,...yq ) f ( y1, y2...yq )dy1dy2...dyq ) = E(A, X, D), где D – массив статистических характеристик случайных величин y1,y2, …, yq а f(y1,,y2, …, yq) – закон распределения вероятностей случайных … величин y1,y2, …, yq Как и в случае детерминированной задачи, решение представляет собой некоторую оптимальную стратегию, соответствующую области допустимых значений (огX = (x1, x2,...xl ) раничениям) и удовлетворяющих.

Е = Е (А,X,D ) = max E (A,X,D) Сравнивая оба метода решения задачи, нетрудно увидеть, что при линейной постановке они дают одинаковые результаты, поскольку предполагают в первом случае замену случайных реализаций неконтролируемых факторов их детерминированными значениями, а во втором – замену случайного показателя эффективности детерминированной функцией. Решение нелинейных задач разработки управленческого решения приводит к существенным отличиям результатов, поскольку нелинейные элементы искажают вид функций распределения. Поэтому в нелинейном случае может быть использован только метод “оптимизации в среднем”.

При практической реализации метода “оптимизации в среднем” могут использоваться три различных варианта решения:

критерий оптимальности может быть получен в аналитической форме;

критерий оптимальности может быть получен в виде алгоритма;

возможно создание модели операции, при которой для различных стратегий X и различных значений реализаций случайных факторов y1,y2,…,yq можно получить соответствующие численные значения показателя эффективности.

Аналитическая запись критерия оптимальности как функции входящих в него параметров представляет собой полное теоретическое решение. Получение таких решений, как правило, бывает весьма затруднительным в силу чисто математических сложностей, однако если такое решение найдено, то его обычно связывают с фамилией автора (например, задача Винера).

Наибольший практический интерес представляет случай, когда критерий оптимальности может быть получен в виде алгоритма. Если известна функция распределения случайного параметра, то может быть определена вероятность P(y0), при которой значение случайного параметра не превысит некоторой величины y0 (рис. 3.7).

P(y) P(y0) P(y1) y1 y yРис. 3.7. Функция распределения случайного параметра у Может быть подготовлена и решена обратная задача отыскания значения параметра y1 по заданной вероятности P(y1). Задавая различные значения вероятности P, можно получить набор предельных значений параметра, для которого может быть получен набор решений X(P) и набор значений критериальной функции E(P). Получившийся в этом случае набор решений X(P) и E(P) является окончательным в том случае, когда имеется возможность задавать вариант решения по конкретному значению параметра в конкретной ситуации, например когда формируется план на основе известного на текущий момент остатка на складе.

Если это невозможно, т.е. необходимо разработать единое решение X, не зависящее от вероятности появления конкретного события, то оно должно выбираться исходя из наиболее вероятного значения исходного параметра, обычно соответствующего его математическому ожиданию.

Оптимальное решение X в этом случае определяется обычным способом, а зависимость критериальной функции от вероятности E(P) корректируется с учетом выбранного решения и конкретного значения ограничения дополнительным расчетом.

Использование метода Монте-Карло позволяет получить аналогичные результаты. Зная законы распределения параметров задачи, проводится ее многократное решение, результатом которого является гистограмма распределения критериальной функции и набор соответствующих ей решений X. Рассматривая гистограмму распределения критериальной функции как ее эмпирическую плотность распределения, мы можем получить те же зависимости, что и в алгоритмическом методе.

Отметим, что практическое использование методов решения задач в условиях риска требует от менеджера дополнительных знаний в области математической статистики.

Частный случай задачи в условиях риска с одним стохастическим параметром В некоторых случаях при решении задач разработки управленческого решения оказывается достаточным предположить, что случайным является только один параметр задачи, входящий в определение целевой функции или в ограничения. Рассмотрим этот случай отдельно. В качестве примера вернемся еще раз к распределительной задаче, описанной в подразд. 3.4. Пусть m = 9, n =4, количество имеющихся ресурсов описывается набором значений b ={30,52; 51,11; 31,23; 26,28; 39,40;

57,47; 53,61; 44,30; 84,54}, матрица коэффициентов aij имеет вид табл.

3.2, в которой столбцы имеют смысл вида соответствующей продукции, а строки – вида ресурса. Коэффициенты значимости каждого вида продукции cj имеют значения {9,20; 7,15; 6,01; 7,61}.

Предположим, что коэффициент c1 представляет собой случайную величину, принимавшую в процессе десяти экспериментов следующий набор случайных значений {7,88; 6,86; 8,38; 9,67; 10,30; 9,47; 9,56;

10,04; 10,49; 8,73}. При решении задачи методом сведения стохастической задачи к детерминированной рассчитывается среднее арифметическое выборки случайного процесса равное в настоящем случае 9,14. Это значение подставляется на место случайного параметра c1 и отыскивается экстремум целевой функции для вектора значимости {9,14; 7,15; 6,01; 7,61}. Тогда решением задачи является набор переменных {1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, обеспечивающий оптимальX = ное значение целевой функции округленно равное 33,90 при общем суммарном расходе ресурсов равном 185,59 (для непосредственных вычислений использованы средства надстройки Поиск решения табличного процессора Excel). Определим теперь трубку риска. Максимальное значение параметра c1 равно 10,49. Ему соответствует то же решение, так как диапазон изменения параметра укладывается в пределы чувствительности решения, а значение целевой функции оказывается округленно равным 35,43. Наконец, минимальное значение параметра c1 равно 6,86 и ему соответствует старое решение и значение целевой функции равное 31,33.

Если диапазон изменения параметров не укладывается в пределы чувствительности, могут появиться несколько решений, соответствующих различным положениям внутри трубки риска. Тогда в качестве оптимального решения следует выбрать решение, соответствующее среднему значению случайного параметра, а предельные значения целевой функции (трубку риска) следует пересчитать в соответствии с этим решением. Очевидно, что размер трубки риска в этом случае возрастет.

Предположим теперь, что в распоряжении менеджера отсутствуют конкретные значения выборок случайных процессов, однако ему известна определенная ранее функция распределения случайного процесса F(c1). Целью решения задачи в этом случае является определение набора переменных X = (x1,x2,...xl ), максимизирующих математическое ожидание целевой функции (M-постановка) или вероятность того, что значение целевой функции будет превышать некоторое наперед заданное значение (P-постановка). Дополнительно в обоих случаях представляет интерес отыскание функции распределения целевой функции F(E). Как следует из определения функции распределения, ее значения представляют собой вероятность того, что реальное значение случайной величины x будет меньше или равно аргументу функции P(x x0) = F(x0). Если предположить, что c1 распределен по нормальному закону со средним значением 9,14 и стандартным отклонением 1, то набору значений вероятностей {0,00001; 0,10; 0,20; 0,30; 0,40; 0,50;

0,60; 0,70; 0,80; 0,90; 0,99999} соответствует следующий набор значений аргументов функции {4,87; 7,86; 8,30; 8,62; 8,89; 9,14; 9,39; 9,66; 9,98; 10,42;

13,41}. Очевидно, что, как и в предыдущем случае, решением задачи в M-постановке является набор переменных X = {1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, обеспечивающий оптимальное значение целевой функции округленно равное 33,90 при общем суммарном расходе ресурсов равном 185,59 и имеющий место при задании вероятности 0,5 (справедливо только для линейных задач). На рис. 3.8 изображена рассчитанная функция распределения целевой функции решаемой задачи.

Рассмотрим теперь P-постановку задачи. Исходные данные примера подобраны таким образом, что во всем разумном диапазоне изменения случайного параметра существует только одно оптимальное решение X = {1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, найденное при M-постановке задачи.

Именно это решение будет оптимальным и при P-постановке задачи.

1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 Значения целевой функции Рис. 3.8. Функция распределения целевой функции 1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0 10 20 30 40 50 60 70 80 Значения целевой функции Решение 1 Решение 2 Решение Рис. 3.9. Функция распределения целевой функции при различных вариантах решений Изменим условия задачи. Будем считать, что c1 распределен по нормальному закону со стандартным отклонением 5, а не 1, как в предыдущем случае. Все остальные параметры задачи сохраним. Решением задачи в M-постановке по-прежнему является набор переменных X = {1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, обеспечивающий оптимальное значение целевой функции округленно равное 33,90. А решение задачи в P-постаВероятность появления Вероятность появления новке, представленное в табл. 3.13, существенно отличается при разных уровнях задаваемых вероятностей.

Как следует из табл. 3.13, существует три варианта решения задачи:

X={0,00; 1,78; 0,00; 1,87}, X={1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, X={2,68; 0,00; 0,00;

0,00}. Каждый из этих вариантов обеспечивает свое значение целевой функции, а на рис. 3.9 представлены расчеты функций распределения целевой функции при использовании каждого из решений. Теперь перейдем собственно к решению задачи в P-постановке. Вероятность того, что целевая функция будет больше некоторого наперед заданного значения r, определяется по формуле P(E>r)=1–P(Er). Зададим значение r = 20. Как следует из графика рис. 3.9, наибольшее значение P(E>r) обеспечивает решение 1 {0,00; 1,78; 0,00; 1,87}. При r = 30 лучший результат дает решение 2 {1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, а при r = 50 – решение {2,68; 0,00; 0,00; 0,00}. Около r = 40 имеет место граничное значение между двумя решениям, причем точное значение границы также может быть определено расчетным путем.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 14 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.