WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 | 27 |

opt F(X) = {max f1(X) = 660x1 + 870x2 + 550x3 + 1090x4 + + 2550x5 + 1260x6, (6.7.1) max f2(X) = 2050x7 + 4400x8 + 1350x9, (6.7.2) max f3(X) = 1575x10 + 1500x11, (6.7.3) max f4(X) = 1000x12 + 1200x13, (6.7.4) max f5(X) = 1500x14 + 750x15, (6.7.5) max f6(X) = f1(X) + f2(X) + f3(X) + f4(X) + f5(X), (6.7.6) max f7(X) = 450x1 + 700x2 + 500x3 + 1010x4 + 1700x5 + + 1100x6 + 1550x7 + 2550x8 + 1200x9 + 900x10 + 750x11 + + 600x12 + 750x13 + 900x14 + 450x15}; (6.7.7) при ограничениях 0.942х1 + 3.2х2 + 0.22х3 + 0.394х4 + 1.48х5 + 0.601х6 + + 0.478х7 + 0.95х8 + 0.35х9 + 30.3х10 + 26.8х11 + 20х12 + + 10х13 + 12.6х14 + 20.5х15 12 000, (6.7.8) 0.273х1 + 10.1х2 + 0.132х3 + 0.257х4 + 1.13х5 + 0.502х6 + + 0.463х7 + 1.01х8 + 0.39х9 + 16.4х10 + 10.6х11 + 23.2х12 + + 10х13 + 9х14 + 11.8х15 8700, (6.7.9) 1.917х1 + 6.965х2 + 0.434х3 + 1.92х4 + 2.77х5 + 8.64х6 + + 0.987х7 + 3.82х8 + 0.57х9 5890, (6.7.10) 20х10 + 15х11 24 000, (6.7.11) 8х12 + 13х13 21 000, (6.7.12) 30х14 + 40х15 2900, (6.7.13) х1 24 000, х2 1600, х3 1250, х4 870, х5 630, х6 3750, х7 900, х8 1600, х9 1550, х10 2000, х11 1500, х12 3600, х13 1900, х14 4100, х15 3800. (6.7.14) Управление в двухуровневой ИС (6.7.1)-(6.7.14) показано в следующих вариантах:

• двухуровневая ИС с полной децентрализацией (самостоятельные ЛП);

• двухуровневая ИС с полной информированностью ВП: а) строгая централизация управления ЛП, б) децентрализация управления ЛП;

• двухуровневая ИС с неполной информированностью ВП (с построением агрегированой модели).

Двухуровневая ИС с полной децентрализацией (самостоятельные ЛП).

В этом варианте каждая ЛП решает свою векторную задачу с учетом глобальных ограничений (2.7.8)-(2.7.9).

Результаты решения по отдельным ЛП соответственно.

1-я ЛП (задача (6.7.1), (6.7.8)-(6.7.10), (6.7.14)):

f*1 = 7 225 000, X*1 = {x3 = 1250, x4 = 18.9, x5 = 630, x6 = 3750}, Ресурсы: R1(1) = 3539, R1(2) = 2808, R1(3) = 5890, R1(4-6) = 0.

2-я ЛП (задача (6.7.2), (6.7.8)-(6.7.10), (6.7.14)):

f*2 = 8 678 000, X*2 = {x7 = 900, x8 = 1077, x9 = 1550}, Ресурсы: R2(1) = 1997, R2(2) = 2110, R2(3) = 5890, R2(4-6) = 0.

3-я ЛП (задача (6.7.3), (6.7.8)-(6.7.11), (6.7.14)):

f*3 = 697 000, X*3 = {x11 = 465}, Ресурсы: R3(1) = 12 000, R3(2) = 4930, R3(3) = 0, R3(4) = 6977, R3(5-6) = 0.

4-я ЛП (задача (6.7.4), (6.7.8)-(6.7.12), (6.7.14)):

f*4 = 1 044 000, X*4 = {x13 = 870}, Ресурсы: R4(1) = 8700, R4(2) = 8700, R4(3-4) = 0, R4(5) = 11 310, R4(6) = 0.

5-я ЛП (задача (6.7.5), (6.7.8)-(6.7.13), (6.7.14)):

f*5 = 145 000, X*5 = {x14 = 96.67}, Ресурсы: R5(1) = 1218, R5(2) = 870, R5(3-5) = 0, R5(6) = 2900.

Решение по 6-му критерию (задача (6.7.6), (6.7.8)-(6.7.13), (6.7.14)):

f*6 = 10 470 000, X*6 = {x3 = 1250, x6 = 3750, x7 = 900, x8 = 86.6, х9 = 15500, х11 = 173.3, х13 = 272.8, х14 = 96.7}, Решение по 7-му критерию (задача (6.7.1), (6.7.8)-(6.7.13), (6.7.14)):

f*7 = 8 656 000, X*7 = {x3 = 1259, х6 = 3750, х7 = 963, х8 = 429.7, х11 = 207, х13 = 387, х14 = 43}.

Двухуровневая ИС с полной информированностью ВП:

а) строгая централизация управления ЛП.

Строгая централизация определяется тем, что глобальных ресурсов должно хватать для оптимального управления ДИС:

R(1) = R1(1) +...+ R5(1) = 27 454.

R(2) = R1(2) +...+ R5(2) = 19 418.

При решении ВЗЛП (6.7.1)-(6.7.14) с глобальными ограничениями в (6.7.8) b1 = 27 454, а в (6.7.9) b2 = 19 418 получим относительную оценку 0 = 1. Величиныв переменных и целевых функций такие же, как и при решении по отдельным критериям.

б) с децентрализацией управления ЛП.

При решении ВЗЛП (6.7.1)-(6.7.14) с глобальными ограничениями в (6.7.8) b1 < 27 454, а в (6.7.9) b2 < 19 418 получим модель двухуровневой ИС с децентрализацией управления ЛП. Решим ВЗЛП (6.7.1)-(6.7.14).

В результате решения векторной задачи получим: максимальную относительную оценку 0 = 0.445, точку оптимума Х0 = {х3 = 1250, х4 = 870, х5 = 1256, х6 = 963, х7 = 429.7, х8 = 207, х9 = 387, х10 = 43}.

В этой точке степень централизации управления yq = f(X0q)/f8q, q Q равна 0. Действительно, относительные оценки по каждому критерию (Х0) = 0.445, k = 1.5, т. е. 0 показывает степень централизации управления ЛП. Степень дефентрализации управления равна 1 - yq.

Двухуровневая ИС с неполной информированностью ВП (с построением агрегированной модели).

Иллюстрация двухуровневой ИС с неполной информированностью ВП покажем с помощью метода агрегации (композиции и декомпозиции) в четыре этапа:

• решение векторной задачи, описывающей двухуровневую ИС в целом, результат решения будет в дальнейшем служить эталоном;

• композиция отдельных моделей ЛП в агрегированную модель двухуровневой ИС;

• декомпозиция агрегированной модели двухуровневой ИС;

• сравнение результатов решения векторной задачи, полученной на первом этапе, и агрегированной модели.

1) Решение векторной задачи.

В результате решения векторной задачи получим: максимульную относительную оценку 0 = 0.445, точку оптимума Х0 = {х3 = 1250, х4 = 870, х5 = 1256, х6 = 963, х7 = 429.7, х8 = 207, х9 = 387, х10 = 43}, в этой точке вычислим относительные оценки по каждому критерию (Х0) = 0.445, k = 1.5, 6(Х0) = 0.757, 7(Х0) = 688, т. е. 0 является гарантированным результатом для всех критериев, он показывает, что в точке Х0, 0 k(Х0), k К.

0 и Х0 будут в дальнейшем служить эталоном для анализа результата решения агрегированной модели.

2) Композиция отдельных моделей ИС в агрегированную модель двухуровневой ИС.

2.1) Ведущая переменная по каждой ТС равна соответствующему критерию уq = fq(X), q = 1.5.

2.2) Решим векторную задачу для каждой ИС.

Результаты решения по отдельным ТС соответственно:

2.3) Ведущая переменная по каждой ИС равна соответствеющему критерию yq = fq(X), q = 1,*, q = 1, Q.

и изменяется в пределах 0 yq y*q, q = 1, Q, где y * = fq 2.4) Опуская вычисления линейной аппроксимации критериев и ограничений, представим агрегированную векторную задачу:

opt F(Y) = {max f1(Y) = y1, max f2(Y) = y2, max f3(Y) = y3, max f4(Y) = y4, max f5(Y) = y5, max f6(Y) = y1 + y2 + y3 + y4 + y5, max f7(Y) = 0.832y1 + 0.6916y2 + 0.5y3 + 0.625y4 + 0.6y5} при ограничениях 0.00049y1 + 0.00023y2 + 0.0172y3 + 0.00833y4 + 0.0084y5 12000, 0.00041y1 + 0.00025y2 + 0.007y3 + 0.00833y4 + 0.006y5 8700, 0.00081y1 + 0.00068y2 5890, y1 7 225 000, y2 8 678 000, y3 697700, y4 1 044 000, y5 14 500.

3) Декомпозиция агрегированной векторной задачи.

Решается агрегированная векторная задача. Результаты решения:

Решение -задачи:

0 = 0.437, Yq = {y1 = 3 159 000, y3 = 3 794 000, y3 = 305 000, y4 = 456 450, y5 = 63 395}.

4) Результаты сравнения исходной ВЗМП и ее агрегированного результата показывают, что ошибка аппроксимации составляет примерно 1,8%. Ее можно уменьшить, если решать агрегированную задачу с двухсторонними ограничениями, т.е. предполагая изменение ведущего критерия в пределах y0q y y*q, q Q.

Таким образом, в главе представлен новый подход к математическому моделированию задач анализа двухуровневой ИС, основанный на методах векторной оптимизации. Такой подход позволяет значительно сократить размерность задачи, решаемой на верхнем уровне, снизить объем вычислений и повысить скорость принимаемых решений.

6.8. Двухуровневые ИС, развивающиеся в динамике равномерно и пропорционально 6.8.1. Теоретические вопросы двухуровневые ИС, развивающиеся в динамике равномерно и пропорционально Рассматривается экономическая двухуровневая ИС, развивающаяся в динамике за период t T лет, где T – множество индексов лет планируемого периода. В первоначальный момент времени модель двухуровневой ИС можно представить ВЗМП (6.2.13)-(6.2.17) с независимыми критериями.

На основе ВЗМП (6.2.13)-(6.2.17) представим математическую модель управления двухуровневой ИС, развивающейся в динамике, где каждая компонента ВЗМП зависит от времени, в виде векторной задачи:

opt F(X(t)) = {opt F1(X(t)) = {fk(X(t)), k = 1, Kq }, q = 1,Q, (6.8.1) opt F2(X(t)) = {fk(fk(Xq(t)), k = 1, Kq, q = 1,Q,), k K}}, (6.8.2) A(t)X(t) B(t), (6.8.3) Aq(t)Xq(t) Bq(t), q = 1,Q, (6.8.4) Xq(t) 0, q = 1,Q, где X(t) = {Xq(t), q = 1,Q } – вектор неизвестных, определяющий объемы продукции, выпускаемой ИС в целом, Xq(t) = {Xj, j = 1, Nq, q = 1,Q } – ее локальными подсистемами; (6.8.1) – векторный критерий q = 1,Q ЛП; (6.8.2) – обобщенный векторный критерий ВП; (6.8.4) – ограничения, накладываемые на функционирование каждой из q = 1,Q ЛП; (6.8.3) – глобальные ограничения, накладываемые на двухуровневой ИС в целом в период планирования t T.

В результате решения ВЗМП (6.2.13)-(6.2.17) получим:

Xq*(t), fk(Xq*(t)), k = 1, Kq, q = 1,Q, – точки оптимума по отдельным критериям и величины всех критериев в этой точке;

Х0q (t), 0q (t) – точку оптимума функционирования q-ой ИС и максимальную относительную оценку такую, что 0q (t) kq(X0q (t)), k = 1, K, q = 1,Q.

q Но так как ЛП независимы, то в соответствии с теоремой 1 (разд. 6.4) в точке Xo(t) все относительные оценки независимых критериев равны между собой и равны o(t).

o(t) = 1(Xo1(t)) =...= q(Х0q (t)) =...= Q(XoQ(t)). (6.8.5) Эти данные являются исходными для доказательства нижеприведенных теорем.

Теоретические результаты.

Теорема 1 (Об ИС, развитых равномерно и пропорционально).

Если в ВЗМП (6.8.1)-(6.8.4) для любой пары индексов q, k Q пересечение подмножеств индексов переменных пусто, т. е. критерии независимы:

q,k K Nq Nk =, q k, NqN, NkN, (6.8.6) то в точке оптимума Xo(t), полученной на основе нормализации критериев и принципа гарантированного результата, в каждый промежуток времени t = 1,..., T при увеличении ограничений B(t) на B(t + 1) все ЛП развиты равномерно (т. е. относительные оценки равны между собой и равны o) и пропорционально (т. е. приращение = o(t + 1) - o(t) одинаково для всех ЛП t, (t + 1) T).

Доказательство.

Решим ВЗМП в первоначальный момент времени t=1. Результат решения описан соотношениями (6.8.5). В точке оптимума Xo(t) часть глобальных ограничений (6.8.3) может быть неравенствами:

Q ( Aq Xoq(t)) < Bq(t), q = 1,Q, (6.8.7) q = а остальные строгими равенствами:

Q ( Aq Xoq(t)) = Bq (t), q = 1,Q. (6.8.8) q = Пусть часть прибыли, получаемые от Xo(t) – объемов продукции, пойдет на воспроизводство.

При этом увеличиваются ресурсы, затраченные полностью, т. е. те, которые описаны ограничениями со строгими равенствами (6.8.8) или близкими к ним неравенствами (2.8.7). Тогда ресурсы (6.8.3) в планируемом году (t + 1) T увеличатся на B(t + 1) и примут вид:

A(t)X(t) B(t) + B(t + 1). (6.8.9) Заменим (6.8.3) на (6.8.9) и решим ВЗПМ (6.8.1)-(6.8.4). В результате получим новую оптимальную точку Xo(t + 1), в которой максимальная относительная оценка o(t + 1) увеличивается на некоторую величину (t + 1) относительно o(t):

o(t + 1) =o(t) + (t + 1), но в соответствии с теоремой 1 в точке Xo(t + 1) относительные оценки всех ЛП будут равны между собой:

o o(t+1) = 1(Xo1(t + 1)) =...= q(Х (t + 1)) =...= Q(XoQ(t + 1)). (6.8.10) q Отсюда вытекает, что в конце промежутка времени t = (t + 1) - t все ЛП q = 1,Q развиты равномерно, т. е. относительные оценки в точке Xo(t + 1) равны между собой и равны o(t + 1), и развитие их происходит пропорционально, т. е. приращение относительной оценки по каждой ЛП o o = o(t + 1) - o(t) = 1(Xo1(t + 1)) - 1(Xo1(t)) =...= q(Х (t + 1)) - q(Х (t)) =...

q q одинаково для всех ЛП t, (t + 1) T при изменении ресурсов в период (t + 1) T.

Таким образом, для первого промежутка времени t = (t + 1) - t теорема доказана.

Рассмотрим решение ВЗПМ (6.8.1)-(6.8.4) на какой-то новый год (t + ) T, где – величина промежутка времени, лежащего в пределах 1 (T - t), измеренная в годах. В этом случае глобальные ресурсы (6.8.3) увеличатся на B(t + ):

A(t)X(t) B(t) + B(t + ). (6.8.11) Заменим (6.8.3) на (6.8.11) и решим ВЗПМ (6.8.1)-(6.8.4). В результате получим новую оптимальную точку Xo(t + ), в которой максимальная относительная оценка o(t + ) увеличивается на некоторую величину (t + ) относительно o(t):

o(t + ) = o(t) + (t + ), но в соответствии с теоремой 1 в точке Xo(t + ) относительные оценки всех ЛП будут равны между собой:

o(t + ) = 1(Xo1(t + )) =...= q(Х0q (t + )) =...= Q(XoQ(t + )). (6.8.12) Отсюда вытекает, что в конце промежутка времени = (t + ) - t все ЛП q = 1,Q развиты равномерно, т. е. относительные оценки в точке Xo(t + ) равны между собой и равны o(t + ), и развитие их происходило пропорционально, т. е. приращение относительной оценки по каждой ЛП = o(t + ) - o(t) = 1(Xo1(t + )) - 1(Xo1(t)) =...= q(Х0q (t + )) - q(Х0q (t)) =...

одинаково для всех ЛП t, (t + ) T при изменении ресурсов в (t + ) T.

Таким образом, для любого промежутка времени t = (t + ) - t теорема доказана.

Теорема 2 (Об ИС, развитых равномерно и пропорционально, с заданным приоритетом критерия).

Если в ВЗМП (6.8.1)-(6.8.4) а) для любой пары индексов q, k Q пересечение подмножеств индексов переменных пусто, т. е. критерии независимы (верны соотношения (6.8.6));

б) один из критериев q Q имеет приоритет над другими, то в точке оптимума Xo(t), полученной на основе нормализации критериев и принципа гарантированного результата, в каждый промежуток времени t = 1,..., T все ЛП развиты:

1) равномерно, т. е. относительные оценки равны между собой и равны o:

o(t) = Pqk (Xo(t))k(Xo(t)), q = 1,Q, k Q, где Pqk (Xo(t)), q = 1,Q – заданный приоритет q-го критерия по отношению к остальным k = 1,Q критериям;

2) пропорционально, т.е. (t + ) = o(t + ) - o(t) одинакова для всех ЛП t, (t + ) T при изменении ресурсов в T относительно промежутка времени t T:

= Pqk (Xo(t + ))k(Хo(t + )) - Pqk (Xo(t))k(Хo(t)), q = 1,Q, k Q.

Доказательство аналогично теореме 1.

Встает вопрос об адаптации модели, представленной ВЗМП (6.8.1)-(6.8.4), к реальной ситуации. Адаптация выполняется в два этапа.

На первом этапе модель (6.8.1)-(6.8.4) ставится в соответствие первоначальному состоянию путем использования начального вектора приоритетов Pnq, q = 1,Q таким образом, чтобы Pnq q(Xo(t)) = Pnq(fq(Xo(t - 1))/f*q = fnq(t - 1)/f*q, q = 1,Q, (6.8.13) где fnq(t - 1), q = 1,Q – выпуск продукции за прошедший (t - 1) T год (начальный выпуск).

Из (6.8.13) вытекает, что fnq(t - 1) = Pnq(fq(Xo(t - 1)), q = 1,Q.

Эти равенства могут быть получены путем подбора при решении -задачи (6.8.1)-(6.8.4) с приоритетом критерия.

После того как векторная модель (6.8.1)-(6.8.4) и соответствующая ей -задача поставлены в соответствие настоящему моменту, модель может решаться в динамике за t = 1,..., T лет.

Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 | 27 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.