WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 16 |

Отметим различие в обозначениях. Здесь si(P (x)) = siP (x) означает стандартную внутренность множества P (x), а si(P (.))(x) значение 2.3. Общее понятие равновесия с нестандартными ценами отображения si(P (.)) в (стандартной) точке x (аналогично для операции st(.)).

При введении и исследовании понятия равновесия с нестандартными ценами ключевым является определение стандартного бюджетного множества при нестандартных ценах. В качестве совокупности допу стимых нестандартных цен примем множество Q, т. е. -изображение множества допустимых стандартных цен модели E19. Функции распределения дохода i также заменяются их изображениями:

i(.) : X Q IR i N.

При этом, так как i(.) фактически являются продолжением на X Q стандартных отображений i(.), то () опускаем и в дальнейшем используем символ i(.) также для обозначения нестандартных функций распределения дохода.

Далее, по аналогии со стандартным случаем, введем в рассмотрение бюджетные множества агентов с нестандартными ценами, полагая Budi(x, q) = {x X | qix i(x, q)}, q Q, x X, i N.

Здесь Budi(x, q) X, т. е. это множество состоит из нестандартных допустимых состояний экономики. С целью вернуться в стандартную область, вместо Budi(x, q) рассмотрим его стандартную часть, которая в данном случае определяется следующим образом:

st Budi(x, q) = {z X | x Budi(x, q) : z x }.

По определению это множество стандартное, хотя и может быть пустым при непустом Budi(x, q).

К определению стандартного бюджетного множества при нестандартных ценах (и текущем состоянии экономики) можно прийти и другим путём, полагая в основу конструкции изображение собственно бюджетного отображения. Действительно, рассмотрим точечномножественное отображение Bi : Q X 2X, где Bi(x, q) = {x X | qix i(x, q)}, q Q, x X, i N, Напомним, что взаимооднозначное отображение : U U осуществляет связь между универсумами стандартной математики U и нестандартной U, но не является при этом отображением “на”.

68 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами и возьмём его изображение Bi : Q X (2X ).

Здесь (2X ) это совокупность всех внутренних подмножеств множества X (см. [18], с. 72, упр. 7). Теперь в качестве нестандартного бюджет ного множества можно взять Bi(x, q). Однако в силу принципа переноса это множество будет иметь то же “строение”, что и представленное выше, т. е. имеет место Bi(x, q) = Budi(x, q) x X, q Q.

Таким образом, данные подходы эквивалентны, и мы получили удобное обозначение Bi(x, q)20 вместо Budi(x, q).

На следующем этапе перейдём к рассмотрению предпочтений экономических агентов.

Непрерывность предпочтений в смысле предположения A3 мотивирует следующее определение. Определим отношение по формуле i y x y x y y, x x, y, x X.

i i В дальнейшем это отношение и будет использоваться в качестве предпочтений агента i. Отметим, что такого рода переход хорошо согласуется с исходными данными, и, в частности, если предпочтение удовлетворяет предположению A3 (открытый график), то определённое выше предпочтение, совпадает с исходным предпочтением (см. ниже i i утверждение 2.4.1 и следствие 2.4.1).

Символом Pi(.) обозначим точечно-множественное отображение, соответствующее введенным предпочтениям, т. е. для Pi : X X i положим Pi(x) = {y X | y x y y, x x, y, x X } i при x X. Отметим, что отображение Pi(.) может быть эквивалентным образом определено посредством операции взятия стандартной внутренности si(.), применённой к точечно-множественному отображению. Действительно, непосредственно из определений легко убедиться в истинности следующего тождества:

Pi(.) = si(Pi(.)).

Здесь имеется потенциальная возможность для путаницы, ибо тем же методом может быть обозначено изображение множества Bi(x, q). Однако опять, в силу принципа переноса при стандартных x и q, это изображение должно совпадать с множе ством Bi(x, q).

2.3. Общее понятие равновесия с нестандартными ценами Переход к нестандартным ценам в вышеуказанном смысле приводит к следующему понятию равновесия.

Определение 2.3.1 Допустимое состояние x X экономики E назы вается простым равновесием с нестандартными ценами q Q, если выполнены условия (i) x stBi(x, q) i N ;

(ii) Pi(x) stBi(x, q) = i N ;

(iii) x A(X );

(iv) q A(Q).

Понятие равновесия в смысле определения 2.3.1 существенно расширяет область существования отвечающих ему состояний экономики. В частности, в работах [4] и [22] для модели чистого обмена без внешних влияний (модель рынка) были доказаны теоремы существования полуравновесия с нестандартными ценами (в [4] это сделано несколько в иных терминах меновых стоимостей) понятия равновесия, в котором балансовые ограничения имеют форму неравенства (в нашем случае это F (x) F ())21. Однако данное понятие не решает проблемы существования равновесия при отсутствии условия Слейтера в задаче потребителя, и отвечающие ему состояния могут не существовать во многих экономически содержательных моделях экономики. Например, они не существуют в рассмотренных выше примерах 2.2.1, 2.2.абстрактной модели (приведённый анализ несуществования равновесий со стандартными ценами сохраняется и в случае нестандартных цен в силу принципа переноса и полученных выше результатов, характеризующих границу Парето). Анализ этих примеров, (а также многих других, в частности рассмотренных в дальнейшем), показывает, что основная причина отсутствия равновесия в смысле определения 2.3.1 состоит в насыщаемости предпочтений экономических агентов, которая может проявляться как на уровне стандартных, так и нестандартных (т. е. бесконечно малых!) величин. Другими словами, при выборе приближённоНе вдаваясь в содержательную сторону определения полуравновесных состояний, отметим математическую ограниченность полученных в этих работах теорем существования: область их применимости фактически ограничивается моделями рынка, в которых потребительские множества агентов совпадают с положительным ортантом пространства продуктов.

70 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами стандартного решения в рамках нестандартных ограничений у экономических агентов могут оставаться неизрасходованные стоимости, которые “не работают” в экономике, а имеющийся механизм стоимостного регулирования запрещает их передачу другим агентам (в силу закона Вальраса A6). Следовательно, с целью перейти к корректному определению равновесия с нестандартными ценами, необходимо совершить ещё один шаг в модификации стоимостного механизма, а именно, допустить возможность и определить механизм перераспределения неизрасходованных “избыточных” стоимостей от “насыщенных” агентов к “ненасыщенным”.

Пусть IRN некоторый фиксированный нестандартный вектор, удовлетворяющий условию 0 i 0 i N.

Для данного допустимого набора индивидуальных цен q Q, текущего состояния экономики x X и каждого i N рассмотрим нестандарт ные бюджетные множества Bi (q, x), определяемые посредством ограничения qix i(q, x) + i, т. е. положим Bi (q, x) = {x X | qix i(q, x) + i}, i N.

Вектор 0, определяющий стоимости, добавленные к правым частям бюджетных ограничений экономических агентов, в дальнейшем условимся называть схемой перераспределения избыточных стоимостей.

Определение 2.3.2 Допустимое состояние x X экономики E назы вается равновесием с нестандартными ценами q Q и фиксированной схемой перераспределения избыточных стоимостей IRN, 0, если выполнены условия (i) x stBi (x, q) i N ;

(ii) Pi(x) stBi (x, q) = i N ;

(iii) x A(X );

(iv) q A(Q).

В дальнейшем для краткости изложения тройку (x, q, ), удовлетворяющую условиям определения 2.3.2, условимся называть -равновесием с нестандартными ценами или просто (нестандартным) -равновесием.

2.3. Общее понятие равновесия с нестандартными ценами Одним из основных инструментов исследования равновесий с нестандартными ценами любого типа является понятие квазиравновесия (точнее, -квазиравновесия), определение которого даётся ниже.

Определение 2.3.3 Допустимое состояние x X экономики E назы вается квазиравновесием с нестандартными ценами q Q и фикси рованной схемой перераспределения избыточных стоимостей IRN, 0, если существует такое нестандартное допустимое состояние x X, что x x и выполняются условия (i) x stBi (x, q) i N ;

(ii) Pi(x) stBi (x, q) = i N ;

(iii) x A(X );

(iv) q A(Q).

Из определения 2.3.3 видно, что отличие -равновесия от -квазиравновесия состоит в том, что если в первом случае доходы агентов в равновесном состоянии определяются посредством самого состояния, (а также цен и вектора ), то во втором посредством некоторого бесконечно близкого к равновесному допустимого нестандартного состояния, существование которого постулируется. Именно предположение о наличии ещё одного нестандартного состояния неясно что бы это могло значить с экономической точки зрения и не позволяет рассматривать квазиравновесия как истинные равновесия с нестандартными ценами. Польза в рассмотрении квазиравновесий состоит в том, что они представляют из себя в точности предельные точки аппроксимирующих равновесий, существование которых было установлено в предыдущем разделе (теоремы 2.2.1 и 2.2.2). Отметим, что нестандартные квазиравновесия играют примерно ту же роль по отношению к нестандартным равновесиям, что и в стандартном случае, где по тем же причинам отсутствие условия Слейтера, вводится (другое) понятие квазиравновесия. В дальнейшем обычно доказывается существование квазиравновесных состояний экономики, после чего, используя дополнительные предположения (ресурсная связность, нередуцируемость и т. д.), устанавливаются его равновесные свойства. В случае равновесия с нестандартными ценами механика несколько тоньше, однако общий принцип тот же: нужно доказать существование квазиравновесий, а за72 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами тем, используя дополнительные предположения, установить совпадение равновесий с квазиравновесиями.

Основным результатом данного раздела является теорема существования квазиравновесий, при установлении которой нам потребуются следующие вспомогательные (элементарные) факты нестандартного анализа.

Утверждение 2.3.1 Пусть Y и Z являются внутренними подмножествами -изображения топологического пространства Y и удовлетворяют условию Y Z =. Тогда stY siZ =, где st(.) и si(.) операции взятия стандартной части и стандартной внутренности.

Доказательство утверждения 2.3.1. Если x stY siZ, то µ(x)Y = и µ(x) Z, откуда Y Z =. Получили противоречие с условиями утверждения.

Утверждение 2.3.2 Пусть P : X X точечно-множественное отображение в топологическом пространстве X и P (.) его -изображение. Тогда для всякого x domP (.), такого, что существует st(x), имеет место si[P (.)](st(x)) si[P (x)].

Доказательство утверждения 2.3.2. Если x удовлетворяет условиям утвержения, то в силу открытости графика и по определению монады условие y si[P (.)](st(x)) выполняется тогда и только тогда, когда µ(st(x)) µ(y) GrP = GrP, откуда ввиду x µ(st(x)) и из определений получаем {x} µ(y) GrP µ(y) GrP |x y si[P (x)].

Здесь символом GrP |x обозначено сечение множества GrP в точке x.

Ниже формулируется наиболее общий вариант теоремы существования нестандартных -квазиравновесий применительно к случаю ограниченных внешних влияний (этой теоремы вполне достаточно, ибо тотальные внешние влияния являются частным случаем ограниченных).

2.3. Общее понятие равновесия с нестандартными ценами Теорема 2.3.1 Пусть E удовлетворяет предположениям A1, A2, A3 и A4–A7 и является экономикой с ограниченными внешними влияниями в следующем смысле. Для некоторого конечного T имеет место X = Xt и для каждого i N определены Ti T, такие, что T Ti Ti Pi(x) = Pi (x) Xt, Pi (x) Xi = Xt Li = Lt, tT \Ti tTi tTi причём данные соотношения выполнены для всех x X, таких, что Pi(x) =. Пусть также выполнено Ti = T iN и 0 int| (Q Leff ), где Lef f t Leff = {q = (q1,..., qn) (L )N | qi = 0 i N, t T \ Ti}.

Тогда для каждого = (1, 2,..., n) IRN, такого, что 0, суще ствуют -квазиравновесия с ценами q = (q1,..., qn) QLeff такие, что = · при некотором нестандартном 0.

Более того, если x X и x X состояния экономики, соот ветствующие этому -квазиравновесию, то найдутся такие xi X, xi x, удовлетворяющие qixi i(x, q) + i и Pi(xi) Bi (x, q) =, что g(x1,..., xn) = x, где g(.) некоторое отображение проектиро вания, отвечающее закону Вальраса A6.

Замечание 2.3.1 При анализе понятия нестандартного -равновесия и -квазиравновесия, а также теоремы 2.3.1, может сложиться впечатление, что в качестве равновесных могут реализоваться цены q 0, что плохо согласуется с содержательной стороной вопроса. Данную трудность легко обойти переходом к однородным (степени 1) по q Q функциям распределения дохода. Действительно, полагая Q = Q Leff и предполагая (в силу 0 int| Q ), без ограничения общности, что сфеLef f ра S единичного радиуса в Leff содержится в Q, рассмотрим снижение функции i(.) на X S, которую затем продолжим до функции i(.) на X Q, определённой по правилу i(q, x) = ||q|| i(q/||q||, x) для q = 0 и i(q, x) = 0 при q = 0. В силу свойств i (предположения A5–A7) и по построению эти функции будут непрерывны и удовлетворяют A6, A7.

Поэтому последующие рассуждения (в первую очередь факт существования равновесия) можно проводить относительно функций i. В 74 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами дальнейшем можно опять вернуться к исходным функциям дохода, переходя в равновесии (квазиравновесии) от q = 0 к q = q/||q|| и полагая = /||q||. Можно также заметить, что если цены q = 0 реализуются как равновесные относительно i, то несложно “вычислить” такой, определяющий трансферабельные стоимости, что q = 0 являются равновесными ценами для того же состояния экономики относительно i и новых трансферабельных стоимостей (ибо при ценах равновесия q = 0 все агенты находятся в насыщении).

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.