WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 16 |

N N “Собирая” построенные отображения в одно по формуле H() = i() () i(), K, N N мы получаем точечно-множественное отображение, которое имеет замкнутый график и непустые выпуклые значения в K при любом K (в силу вышеуказанных свойств построенных отображений). Следовательно, применима классическая теорема Какутани, и отображение H(.) имеет неподвижную точку в K. Пусть H().

На финальном этапе мы исследуем свойства этой неподвижной точки.

Прежде всего заметим, что неравенство qixi > (x0, q) невозможно i по определению отображений i(.) и i(.). Следовательно, должно быть qixi [( - ||q||)+ + min(, ||qj||)]i + i(x0, q) i N. (2.2.11) N Далее, для какого-либо i N также невозможно fi () {z Xi | qiz < i (x0, q)} co Pi(xi) =, ибо это противоречит предположению A4 (выпуклость и иррефлексивность предпочтений). Следовательно, последнее пересечение должно быть пусто, откуда, в силу A3(i) и условия Слейтера для i (.), заключаем {z Xi | qiz i (x0, q)} co Pi(xi) = i N. (2.2.12) Далее, из построения i(.) и свойства неподвижной точки yi i() заключаем ||yi||2 j и N qiyi -min(, ||qi||2) · ( j) i N.

N 2.2. Теорема существования аппроксимирующих равновесий Теперь просуммируем по i N данные неравенства и неравенства из (2.2.11). В результате, после соответствующих сокращений и простейших преобразований, а также используя A6 (закон Вальраса), выпол ненный в силу (2.2.12) и i(x0, q) i (x0, q) “в точке” x0 = g(x1,..., xn), получим qixi + qiyi N N [( -||q||)++ min(, ||qj||)] i-( min(, ||qj||)) i+ i(x0, q), N N N N N откуда следует qi(xi + yi) ( - ||q||)+ i + qi = N N N qi(xi + yi - ) ( - ||q||)+ i.

N N Далее рассмотрим величину, стоящую в последнем соотношении слева.

Предположим, что qi(xi + yi - ) > 0. Из построения отображения N (.) и свойств неподвижной точки следует, что функционал Q(q, y, x) = qi(xi+yi-) достигает максимума на q при ограничениях q A(Q).

N Однако по предположению Q является шаром единичного радиуса в (L )N, поэтому с необходимостью получаем ||q|| = 1, откуда следует ( - ||q||)+ = 0 (по выбору < 1/(n + 1)). Таким образом, сделанное предположение неверно, и можно заключить, что qi(xi + yi - ) qi(xi + yi - ) = 0 q A(Q).

N N Более того, последнее соотношение выполняется тогда и только тогда, когда qi(xi + yi - ) = 0 q E(L) = {q (L )N | ker qi(.) kerF (.)}.

N N Анализ данной формулы позволяет сделать все необходимые выводы.

Действительно, если положить qi = -qj = q и qk = 0 для всех прочих k = i, j, то можно заключить q (yi + xi) = q (yj + xj) q L = yk + xk = x k N.

Продолжая, для всех q L, удовлетворяющих ker q (.) kerF (.), для z = x - должно быть (q,..., q ), (z,..., z ) = 0 q z = 0 z kerF (.) x - kerF (.).

60 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами В итоге, суммируя сказанное, получаем x = yi + xi i N & F (x) = F (), что в силу ||yi||2 j и ввиду соотношений (2.2.11), (2.2.12) и реалиN зует (x, q) как -равновесие абстрактной модели с тотальными внешними влияниями относительно “аппроксимаций”: z0 = x0 = g(x1,..., xn), zi = xi, i N.

Доказательство теоремы 2.2.2. Аналогично предыдущему доказательству можем считать, без ограничения общности, что Q Leff является шаром единичного радиуса в Leff, а в силу A1, A2, мы можем также считать, что X является компактным подмножеством в L (в противном случае заменим X его пересечением с подходящей компактной выпуклой и “прямоугольной” окрестностью множества A(X )).

Рассмотрим следующие стандартные аппроксимации бюджетных ограничений экономических агентов. Пусть даны = (1,..., n) 0, текущее состояние экономики x X и набор допустимых индивидуальных цен q = (q1,..., qn) Q. В качестве новых доходов примем величину i (x, q) = (q)i + i(x, q), где для фиксированного 0 < < 1/2 положим (q) = ( - ||q||)+ + min(, ||qj||).

n N Отметим, что по построению 0 < (q) < 1, откуда в силу i > 0 и предположений A5, A7 следует, что функции i (.) непрерывны и удовлетворяют условию Слейтера.

Далее переходим к построению точечно-множественного отображения, чьи неподвижные точки реализуют -равновесные состояния абстрактной экономики.

Положим Xi = X, Yi = Bn = {y L | ||y||2 j}, i N n N и K = Yi Q Leff Xi.

N N Множество K является непустым выпуклым компактом.

2.2. Теорема существования аппроксимирующих равновесий Определим отображения, действующие из K в себя. Для каждого i N и = (y1,..., yn, q, x1,..., xn) K, xi Xi, q Q положим i() = i(q) = { y Yi | qiy - min(, ||qi||) · ( j) }.

n N Эти точечно-множественные отображения имеют замкнутый график и непустые выпуклые значения для всех K.

Используя закон Вальраса A6 и отвечающее ему отображение проектирования g : LN L, определим точечно-точечные отображения проектирования g (.), g (.) из K в X и B = {y L | ||y|| j}, N полагая g () = g(x1,..., xn), g () = g(y1,..., yn).

Из построения в частности следует, что оба эти отображения непрерывны.

Положим x0 = g(x1,..., xn) и для i() = i(x0, xi, q) определим:

{z Xi | qiz < i (x0, q)}, при qixi > i (x0, q), i()= {z Xi | qiz < i (x0, q)} co Pi(xi), при qixi i (x0, q).

Опять, поскольку каждая функция i (.) непрерывна и по построению удовлетворяет условию Слейтера, то соответствие {z Xi | qiz < i (x1, q)} является полунепрерывным снизу и обладает непустыми, относительно открытыми и выпуклыми значениями. Следовательно, в силу A3 отображение i() будет полунепрерывно снизу и иметь открытые в Xi и выпуклые значения. Однако отображение i(.) может принимать пустые значения. Положим Ui = dom i(.) = { | i() = }.

Отображение i| принимает во всей своей области определения непуUi стые значения. Более того, в силу ограниченности внешних влияний (2.2.9), по выбору q Leff и определению пространства Leff, для всех Ui имеет место i() = pr| [i()] Xt, Li tT \Ti где посредством pr| [i()] обозначена проекция множества i() на Li Li = Lt. Ясно, что точечно-множественное отображение tTi L (.) : pr| [i()] i Li 62 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами полунепрерывно снизу и имеет открытые, выпуклые и непустые при Ui значения. Следовательно, это отображение, (равно как и i(.)), удовлетворяет теореме Майкла (о существовании непрерывного селек тора). Выберем любой непрерывный селектор fL этого отображения и i определим непрерывный селектор отображения i(.) по формуле fi () = (fL (), gL ()), Ui, i -i где gL () проекция вектора g () на пространство L-i = Lt.

tT \Ti -i Другими словами, в силу сделанных предположений у отображения i(.) существует и выбирается селектор, полученный как декартово произведение двух отображений, причём так, что “фрагмент” этого селектора, отвечающий дополнительному к Li пространству L-i, где Li L-i = L, совпадает с соответствующим “фрагментом” введённого выше отображения проектирования g (.).

Теперь можно определить необходимое для построения точечномножественное отображение {fi ()}, при Ui, i() = Xt {gL ()}, при Ui.

/ tTi -i Из построения (ибо Ui открыто в K) следует, что данное отображение имеет замкнутый график и принимает непустые выпуклые значения15.

Последнее, завершающее конструкцию отображение соответствует “работе ценообразующего органа” и определяет реакцию рынка на текущий стратегический выбор экономических агентов:

() = {q A(Q Leff ) | qi(yi + xi - ) qi (yi + xi - ) q A(Q Leff )}.

N N “Собирая” теперь построенные отображения в одно по формуле H() = i() () i(), K, N N мы получаем точечно-множественное отображение, которое имеет замкнутый график и непустые выпуклые значения в K при любом K Обратите внимание, что использованный выше метод нахождения непрерывного селектора нужен только для того, чтобы получить замкнутость графика отображения i(.).

2.2. Теорема существования аппроксимирующих равновесий (в силу вышеуказанных свойств построенных отображений). Следовательно, применима классическая теорема Какутани и отображение H(.) имеет неподвижную точку в K. Пусть H().

Сразу отметим основное отличительное свойство этой неподвижной точки от точки, полученной при доказательстве теоремы 2.2.1: для каждого i N имеет место (xi)t = (g ())t t T \ Ti. (2.2.13) На завершающем этапе доказательства мы исследуем другие свойства точки.

Используя рассуждения, полностью совпадающие с изложенными в доказательстве теоремы 2.2.1, установим, что qixi i (x0, q) и при этом {z Xi | qiz i (x0, q)} co Pi(xi) = i N. (2.2.14) Кроме того, по определению (.) функционал Q(q, y, x) = qi(xi + yi - ) N достигает максимума на q при ограничениях q A(Q Leff ). Однако QLeff по предположению является шаром единичного радиуса в Leff, поэтому рассуждениями, аналогичными изложенным в доказательстве теоремы 2.2.1, получаем Q(q, y, x) = 0, т. е. имеем qi(xi + yi - ) qi(xi + yi - ) = 0 q A(Q Leff ).

N N Более того, последнее соотношение выполняется тогда и только тогда, когда qi(xi + yi - ) = 0 q E(Leff ) = {q Leff | ker qi(.) kerF (.)}.

N N Анализ этой формулы позволяет сделать все необходимые выводы. Действительно, из предыдущего имеем (x1 + y1 -,..., xn + yn - ) E(Leff ).Символом A обозначается ортогональное дополнение к множеству A.

64 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Однако так как E(Leff ) = E(L) Leff, где E(L) = {q (L )N | ker qi(.) kerF (.)}, N то имеет местоE(Leff ) = (E(L) Leff ) = E(L) + (Leff ).

При этом в конце доказательства теоремы 2.2.1 фактически было доказано, что E(L) = {(z,..., z) LN | z kerF (.)}, а из определения пространства Leff следует, что (Leff ) = {(z1,..., zn) LN | (zi)t = 0 t Ti}.

В результате можно заключить существование такого z kerF (.) и таких zi L, удовлетворяющих условию (zi)t = 0 для всех t Ti и i N, что xi + yi = + z + zi.

Последнее в силу (2.2.10) и определения отображений g (.), g (.) влечёт + z = g () + g () ( + z)t = (xi + yi)t, t Ti, i N.

В то же время, в силу (2.2.13), при t Ti должно быть (xi)t = (g ())t, / поэтому (g ())t + (yi)t = (g ())t + (g ())t + (zi)t = (zi)t = (yi)t - (g ())t.

В итоге, если положить zi = xi, i N и x = + z, то в силу последнего и предыдущего соотношения получаем (x)t - (yi)t, при t Ti, (zi)t = (x)t - (g ())t, при t T \ Ti, из чего следует ||zi - x|| ||yj||. Но, так как по построению ||yj|| N k, то n N ||zi - x|| j N Для любых подпространств A и B конечномерного пространства выполняется (A B) = A + B.

2.3. Общее понятие равновесия с нестандартными ценами для всех i N. Поскольку по определению x и свойствам z kerF выполнено F (x) = F (), а q A(Q) по построению, то ввиду соотношения (2.2.14) заключаем, что (x, q) является -равновесием абстрактной модели с ограниченными внешними влияниями относительно “аппроксимаций” z0 = x0 = g(x1,..., xn), zi = xi, i N.

2.3 Общее понятие равновесия с нестандартными ценами С содержательно-экономической точки зрения равновесие с нестандартными ценами представляет собой некоторый устойчивый режим функционирования экономической системы рыночного типа при наличии сколь угодно тонкой (гибкой, мелкой) шкалы измерения стоимостных величин. Делая свой независимый стратегический выбор в рамках собственных финансовых возможностей (бюджетных ограничений), каждый участник экономики (экономический агент) затем “округляет” своё решение до стандартного, т. е. выбирает ближайшее в некоторой стандартной шкале измерений, пренебрегая, таким образом, стоимостями более высокого уровня малости. При этом, как обычно в равновесии, ситуация такова, что совокупность всех индивидуальных решений совместима между собой или, в других терминах, соответствующее состояние экономики достижимо (сбалансированно)18. Таким образом, понятие равновесия с нестандартными ценами обобщает традиционное в том смысле, что отвечающее ему состояние экономики представляет из себя достижимую совокупность “огрублённых”, с бесконечной мерой малости, независимых индивидуальных решений, в рамках бюджетных ограничений, определённых данным механизмом стоимостного регулирования в пределах сколь угодно (бесконечно) тонкой шкалы измерения стоимостных параметров.

С чисто математической точки зрения равновесие с нестандартными ценами реализует идею предельного перехода по гипотетически возможным и близким к равновесным состояниям экономики. Последнее осуществляется посредством методов нестандартного анализа, путём перехода в универсум нестандартной математики, где истинны все теоремы стандартной математики (в силу так называемого принципа переноса), и, следовательно, выполнена теорема существования аппроксимирующих -равновесий. Затем, выбирая бесконечно малые 0, возвращаВ англоязычной литературе, применительно к традиционным моделям, говорят, что “все рынки очищаются”.

66 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами емся в стандартную область изменения состояний экономики, используя в качестве спуска операцию взятия стандартной части, и дополняющую её, операцию взятия стандартной внутренности. Важно, что в рассматриваемом случае такого рода процедура подъёма и обратного спуска в стандартный универсум приводит к состояниям экономики, отвечающим традиционному понятию экономического равновесия, если все эти переходы осуществлялись в точках непрерывности бюджетных отображений участников экономики. Другими словами, реальная новизна в понятии равновесия с нестандартными ценами может проявиться только в точках разрыва, т. е. в случае, когда нарушены условия существования обычного равновесия в смысле определения 2.2.1. В свою очередь, выполнение условия Слейтера при стандартизации нестандартных равновесных цен и состояния экономики является достаточным требованием, обеспечивающим именно непрерывность соответствующих бюджетных отображений. Таким образом, если условие Слейтера выполнено, то равновесие с нестандартными ценами в точности является равновесием в смысле определения 2.2.1.

Прежде чем перейти к формальному описанию понятий и резуль татов, напомним, что для любого внутреннего подмножества A L определены стандартная часть и стандартная внутренность, задаваемые, соответственно, по формулам stA = {y L | µ(y) A = }, siA = {y L | µ(y) A = }, где посредством µ(x) обозначена монада точки x L, т. е. µ(x) = {y L | y x}.

Операции взятия стандартной части и стандартной внутренности могут быть применены не только ко множествам, но и к соответствиям (точечно-множественным отображениям). Чтобы сделать это достаточно применить операцию к графику отображения, а затем опять перейти к отображению, чей график совпадает с полученным множеством. Более точно, пусть P : X Y некоторое внутреннее точечномножественное отображение и Gr(P (.)) его график в X Y, где Gr(P (.)) = {(x, y) X Y | y P (x)}.

Определим (однозначно!) si(P (.)) и st(P (.)) по формулам Gr[si(P (.))] = si[Gr(P (.))] & Gr[st(P (.))] = st[Gr(P (.))].

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.