WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 16 |

xu 2 = (1, 1) p p u x1 1 = (1, 0) Рис. 2.2.Покажем, что в этой модели рынка нет равновесия. Предполагая противное, из условия монотонности предпочтений находим p 0, 50 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами p = 0. Но p = (, 0) или p = (0, ), > 0 невозможно, ибо тогда спрос одного из потребителей бесконечен. Следовательно p 0, что также невозможно, поскольку спрос на второй продукт строго больше 1. Противоречие.

Следующий пример однопродуктовой экономики представляет модель с внешними влияниями.

Пример 2.2.2 Пусть N = {1, 2}, пространство состояний L = IR2, где IR пространство продуктов. Пусть X = IR2, а предпочтения определе+ ны на IR2 посредством функций полезности: u1(x) = x1 ·x2 и u2(x) = x2.

+ В экономике функционируют индивидуальные цены qi IR2, а доходы агентов определены с помощью 2-мерного вектора “исходных ресурсов” = (1, 2) X, где 1 = 0.6, 2 = 0.4, а i(q) =, qi, i = 1, 2.

На рис. 2.2.2 изображён образ U(A(X )) множества всех достижимых состояний в критериальном пространстве переменных (u1, u2).

u1 потенциально равновесный исход слабая граница Парето 0.u0.4 = 0.5 Рис. 2.2.Равновесием здесь является вектор (x1, x2) IR2, такой что x1+x2 = + 1+2 = 1 и при этом для некоторых qi IR2, i = 1, 2, удовлетворяющих 1 1 2 условию q1+q2 = q1+q2 (в силу (iv) из Определения 2.2.1, где F (y1, y2) = y1 + y2), имеет место ui(x) = max{ui(y) | y IR2 : qiy qi}, i = 1, 2.

+ Покажем, что равновесие не существует. Предполагая противное, из оптимальности по Парето равновесного распределения (в силу результатов из предыдущего раздела) находим, что x2 0.5 x1, а 2.2. Теорема существования аппроксимирующих равновесий из решения задачи потребителя (т. е. в силу (i), (ii) и необходимых условий экстремума) заключаем: grad u1(x1, x2) = (x2, x1) = q1 и grad u2(x1, x2) = (0, 1) = q2 при некоторых > 0, > 0. Но в силу бюджетного ограничения (i) должно быть x2 2, что невозможно при x2 > 2.

Оба рассмотренных выше примера удовлетворяют требованиям A1– A7, однако равновесия не существуют, на первый взгляд, по разным причинам. Действительно, в примере 2.2.1 достаточно добавить к исходным ресурсам первого потребителя любое количество второго продукта, и в экономике появится равновесие. В примере 2.2.2 первый потребитель хотел бы передать (подарить) второму 0.1 продукта, (изменяя распределение до оптимального по Парето), но стоимостной механизм запрещает такого рода операцию, ибо второй потребитель оказывается не способным как-либо финансировать потенциально равновесное распределение (0.5, 0.5) (в силу условия (iv) единственная возможность это положить q2 = 0, но тогда его спрос бесконечен).

На самом деле причина отсутствия равновесия в обоих примерах общая и она состоит в том, что в области допустимых цен нарушено условие Слейтера в задаче потребителя: для каждого q Q, q = 0 и любого x A(X ) найдутся такие yi X, что qi, yi < i(x, q) i N.

Действительно, в примере 2.2.1 это условие нарушается при p = (0, 1), а в примере 2.2.2 при qi = 0 & qj = 0, i = j.

В каждом конкретном случае несложно придумать такую аппроксимацию функций распределения дохода, чтобы условие Слейтера выполнялось во всей области достижимых цен A(Q). Вводимое ниже понятие аппроксимирующего равновесия решает эту задачу неким универсальным образом.

Определение 2.2.2 Пусть = (1,..., n) 0. Состояние x L экономики E называется -равновесием при ценах q Q, если найдётся 0 1 и допустимые zi X, i = 0,..., n такие, что ||zi - x||2 j для всех i N {0}, и выполнены условия:

N (i) qi, zi i(z0, q) + i i N ;

(ii) Pi(zi) {y X | qi, y i(z0, q) + i} = i N ;

52 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами (iii) F (x) = F ();

(iv) q A(Q).

Как это следует из формального определения, в -равновесии постулируется существование ||||1-близких состояний экономики, которые являются решением задачи потребителя i N при соответствующих аппроксимациях бюджетного ограничения, определяемых посредством состояния z0 X и величин i > 0, 0. Отметим, что эти аппроксимации расширяют бюджетные множества агентов, причём иногда очень значительно (при qi 0 и фиксированных > 0, 0), хотя по абсолютному значению могут быть сколь угодно малы. Уместно также отметить, что состояние экономики, отвечающее понятию -равновесия, может не быть допустимым, однако является -допустимым и -F -сбалансированным.

Основным результатом настоящего пункта являются две теоремы существования -равновесий. Первая из них имеет дело со случаем всеобщих (тотальных) внешних влияний, вторая обобщает результат на случай ограниченных внешних влияний.

Теорема 2.2.1 Пусть E удовлетворяет предположениям A1–A7 и 0 intQ. Тогда -равновесия существуют.

Доказательство следующей теоремы основано на тех же идеях, что и доказательство теоремы 2.2.1, однако в силу специфики несколько более громоздкое.

Теорема 2.2.2 Пусть E удовлетворяет предположениям A1-A7 и является экономикой с ограниченными внешними влияниями в следующем смысле. Для некоторого конечного T имеет место X = Xt T и для каждого i N определены Ti T, такие, что Ti Ti Pi(x) = Pi (x) Xt, Pi (x) Xi = Xt Li = Lt, (2.2.9) tT \Ti tTi tTi причём соотношения (2.2.9) выполнены для всех x X, таких, что Pi(x) =. Пусть также выполнено Ti = T (2.2.10) iN 2.2. Теорема существования аппроксимирующих равновесий и 0 int| (Q Leff ), где Lef f t Leff = {q = (q1,..., qn) (L )N | qi = 0 i N, t T \ Ti}.

Тогда для каждого согласованного проектирования g : LN L, удовлетворяющего A6, существует -равновесие с ценами q = (q1,..., qn) Q Leff, такое, что z0 = g(z1,..., zn).

Описанное в теореме 2.2.2 пространство Leff это эффективная область изменения цен, в рамках которой имеет место вторая теорема благосостояния, состояния экономики оптимальны (строго) по Парето тогда и только тогда, когда в Leff найдётся допустимый набор линейных (и нестандартных) функционалов, опорных к множествам строго предпочитаемых состояний каждого экономического агента (см. теорему 2.1.3). Данное доказательство является наиболее технически сложным в данном пособии.

2.2.2 Техника точечно-множественных отображений Доказательство существования аппроксимирующих равновесий основано на применении техники точечно-множественных отображений (соответствий) и теоремы о неподвижной точке. Ниже даётся соответствующая сводка результатов.

Пусть X и Y некоторые множества. Тот факт, что F является либо точечно-множественным отображением, либо отношением, либо соответствием10 из A в B, мы будем записывать в виде F : X Y (здесь F (x) Y x X)11 или в виде x F (x), x X.

Графиком отображения F : X Y называется множество Gr(F ) = {(x, y) X Y | y F (x)}.

Далее пусть X и Y топологические пространства. Нас будут прежде всего интересовать свойства разного рода непрерывности соответствия, выраженные в терминах топологий на X и Y.

Под термином соответствие в отличие от точечно-множественного отображения, иногда понимают точечно-множественное отображение, отображающее каждую точку из указанного множества в непустое подмножество области значений. Мы не будем делать такого рода различий.

В литературе широко используется обозначение F : X 2Y, которого мы избегаем.

54 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Определение 2.2.3 Отображение F : X Y называется полунепрерывным сверху (п. н. св.) в точке x X, если при F (x) = для каж дой окрестности U множества F (x) найдётся такая окрестность V точки x, что F (x ) U для всех x V.

Отображение называется полунепрерывным сверху, если оно п. н. св. для всех x X.

Определение 2.2.4 Отображение F : X Y называется полунепрерывным снизу (п. н. сн.) в точке x X, если для каждой открытого U Y, такого, что F (x) U = найдётся такая окрестность V точки x, что F (x ) U = для всех x V.

Отображение называется полунепрерывным снизу, если оно п. н. сн. для всех x X.

Определение 2.2.5 Отображение F : X Y называется замкнутым, если замкнут его график.

Определение 2.2.6 Отображение F : X Y называется непрерывным, если оно полунепрерывно сверху и снизу одновременно.

Для функций (точечно-точечных отображений) понятия полунепрерывности сверху и снизу совпадают с обычной непрерывностью, а если область значений компактна, то они эквивалентны замкнутости отображения.

Следующие утверждения описывают характеристические свойства полунепрерывных отображений.

Утверждение 2.2.1 Отображение F : X Y полунепрерывно сверху выполнена одна из альтернатив:

(i) множество {x X | F (x) U} открыто для любого открытого U Y ;

-(ii) множество F (G) = {x X | F (x) G = } замкнуто для любого замкнутого G Y.

Утверждение 2.2.2 Отображение F : X Y полунепрерывно снизу выполнена одна из альтернатив:

(i) множество {x X | F (x) G} замкнуто для любого замкнутого G Y ;

-(ii) множество F (U) = {x X | F (x) U = } открыто для любого открытого U Y.

2.2. Теорема существования аппроксимирующих равновесий Утверждение 2.2.3 Пусть отображения Fk : X Y k = 1,..., m полунепрерывны сверху (снизу). Тогда отображение x Fk(x) является полунепрерывным сверху (снизу) соответственно.

Если, дополнительно, Y линейное пространство, то x Fk(x) является полунепрерывным сверху (снизу) соответственно.

Если, более того, Y конечномерное линейное пространство, то x co Fk(x) является полунепрерывным сверху (снизу) соответственно.

В приложениях весьма полезно следующее Утверждение 2.2.4 Пусть Y компакт и отображение F : X Y замкнуто-значно. Тогда отображение F полунепрерывно сверху F замкнуто.

Рассмотрим далее применяемую нами теорему о неподвижной точке.

Пусть F : X X точечно-множественное отображение. Тогда x X называется неподвижной точкой, если x F (x).

Теорема 2.2.3 (Какутани) Пусть X непустое, компактное и выпуклое подмножество некоторого конечномерного пространства12.

Пусть F : X X замкнутое отображение, и при этом F (x) непустой выпуклый компакт для каждого x X. Тогда у отображения F существует неподвижная точка.

Селектором точечно-множественного отображения F : X Y называется такая функция f : X Y, что f(x) F (x) для каждого x domF.

Теорема 2.2.4 (Майкл) Пусть F : X E полунепрерывное снизу точечно-множественное отображение из метрического пространства X в конечномерное пространство E13, такое, что F (x) непустое выпуклое подмножество для каждого x X. Тогда отображение F имеет непрерывный селектор, определённый на X.

Давно и хорошо известно, что эта теорема выполняется в любых топологических векторных пространствах. Однако Какутани формулирует её только для конечномерных пространств, см., например, [17].

Это не самая общая, но удобная в наших приложениях версия теоремы Майкла, в которой не требуется замкнутость значений исследуемого отображения (конечномерность E очень важна). Более сильную теорему, из которой следует данная, можно найти в [11] (теорема 3.1, с. 368).

56 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами 2.2.3 Доказательство теорем существования Доказательство теоремы 2.2.1. Прежде всего отметим, что, с целью упростить изложение и в силу предположения 0 intQ, мы можем считать, без ограничения общности, что Q является шаром единичного радиуса в (L )N. Более того, в силу предположений A1, A2, поскольку пространство L предполагалось конечномерным, мы можем также считать, что X является компактным подмножеством в L (в противном случае в нижеизложенных рассуждениях можно стандартным образом заменить X пересечением этого множества с любой компактной выпуклой окрестностью множества A(X )).

Рассмотрим следующие аппроксимации бюджетных ограничений экономических агентов. Пусть даны = (1,..., n) 0, текущее состояние экономики x X и набор допустимых индивидуальных цен q = (q1,..., qn) Q. В качестве новых доходов примем величину i (x, q) = (q)i + i(x, q), где для любого фиксированного 0 < < 1/(n + 1) положим (q) = ( - ||q||)+ + min(, ||qj||).

N Здесь по определению для всякого действительного y величина y+ = y для y 0 и y+ = 0 – иначе. Сразу отметим, что по построению 0 < (q) < 1, откуда в силу i > 0 и предположений A5, A7 следует, что функции i (.) непрерывны и удовлетворяют условию Слейтера.

На следующем этапе мы переходим к построению точечномножественного отображения, неподвижные точки которого реализуют -равновесные состояния абстрактной экономики. Положим Xi = X, Yi = B = {y L | ||y||2 j}, i N N и K = Yi Q Xi.

N N Множество K является непустым выпуклым компактом.

Далее определим отображения, действующие из K в себя. Для каждого i N и = (y1,..., yn, q, x1,..., xn) K, xi Xi, q Q положим i() = i(q) = { y Yi | qiy -min(, ||qi||) · ( j) }.

N 2.2. Теорема существования аппроксимирующих равновесий Из построения с очевидностью следует, что эти точечно-множественные отображения имеют замкнутый график и непустые выпуклые значения для всех K.

С целью использовать закон Вальраса A6, рассмотрим согласованное с T проектирование g : LN L и определим x0 = g(x1,..., xn)14.

Далее, для i() = i(x0, xi, q) положим:

{z Xi | qiz < i (x0, q)}, при qixi > i (x0, q), i()= {z Xi | qiz < i (x0, q)} co Pi(xi), при qixi i (x0, q).

Заметьте, что правая часть каждого из использованных здесь “бюджетных ограничений” зависит от состояния x0 = g(x1,..., xn), это не случайно, и является необходимым элементом конструкции. Посколь ку каждая функция i (.) непрерывна и по построению удовлетворяет условию Слейтера, то соответствие {z Xi | qiz < i (x0, q)} является полунепрерывным снизу и обладает непустыми, относительно открытыми и выпуклыми значениями. Отсюда, в силу A3, легко заключить, что и отображение i() будет полунепрерывно снизу и иметь открытые в Xi и выпуклые значения. Заметим, однако, что отображение i(.) может иметь пустые значения. Положим Ui = dom i(.) = { | i() = }.

Теперь уже отображение i| имеет в своей области определения непуUi стые значения и, следовательно, удовлетворяет теореме Майкла (о существовании непрерывного селектора). Выберем любой непрерывный селектор fi и положим {fi ()}, при Ui, i() = Xi, при Ui.

/ Из построения (т. к. Ui открыто в силу A3 и условия Слейтера) легко следует, что данное отображение имеет замкнутый график и принимает непустые выпуклые значения.

В данном случае неявно предполагается, что Ti = T для всех i N и, в частности, T может быть одноэлементным множеством. Поэтому любое проектирование является согласованным, однако при этом нужно, чтобы была выполнена вторая часть предположения A6.

58 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Последнее, завершающее конструкцию отображение соответствует тому, что иногда называется “ценообразующим органом” и определяет реакцию рынка на текущий стратегический выбор экономических агентов:

() = {q A(Q) | qi(yi + xi - ) qi (yi + xi - ) q A(Q)}.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.