WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 16 |

Доказательство теоремы 2.1.1. Необходимость. Поскольку Pi(x) X для каждого i, то условие оптимальности по Парето состояния x может быть записано в эквивалентной форме:

Pi(x) {y L | F (y) = F ()} =, N причём выполнены условия теоремы 2.1.4 (по условиям теоремы 2.1.1). Следовательно, существует набор нестандартных функционалов {ft}t=n, удовлетворяющий соотношениям (2.1.6) и (2.1.7), где t=функционал с номером 0 соответствует множеству, определённому через балансовое соотношение. В силу (2.1.6) и (2.1.7), применённому к функционалу f0, заключаем fi = -f0 = ker fi(.) kerF (.).

N N Далее заметим, что по условию теоремы 2.1.1 для каждого i N выполняется FP (x)(x) =. Применяя (2.1.7) в отношении f1,..., fn, находим i fi(Pi(x)) > fi(x) 42 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами для каждого i N, такого, что Pi(x) =. Чтобы закончить данную часть доказательства, осталось заменить все функционалы представляющими их векторами (в форме скалярного произведения), что возможно в силу конечномерности L.

Доказательство теоремы в части достаточности совершенно стандартно и приводится здесь только с целью полноты изложения. Действительно, пусть найдётся x A(X ) и набор нестандартных векторов 1,..., n, удовлетворяющий условиям теоремы. Тогда, если y Pi(x) A(X ), N то i(y) > i(x) для каждого i, откуда i(y) > i(x).

N N В то же время в силу x, y A(X ) и по свойству векторов {i} должно быть F (y) = F (x) = F () = i(y) = i(x), N N что противоречит предыдущему соотношению.

Доказательство теоремы 2.1.2. Рассмотрим модификацию исходной модели экономики, в которой в качестве нового множества допустимых состояний выбирается всё пространство L, а в качестве новых предпочтений в точке x множества вида Ti Pi(x) = Pi (x) Lt tT \Ti (при Pi(x) = ). Тогда, так как в силу (2.1.3) при ненасыщенных предпо чтениях имеем Pi(x) = Pi(x) X, то из оптимальности по Парето N N x в исходной модели заключаем, что Pi(x) {y L | F (y) = F ()} =.

N Однако последнее означает оптимальность по Парето состояния x в новой модели (если Pi(x) = для некоторого i, то последнее соотношение выполнено автоматически). Кроме того, заметим, что множества Pi(x) {x} выпуклы это следует из условий теорем 2.1.1 и 2.1.2, что 2.1. Нестандартные цены в абстрактной экономике Ti эквивалентно выпуклости Pi (x) {xi}, где xi обозначает проекцию вектора x на Li = Lt. По условиям Теоремы 2.1.1 также имеем Ti Ti xi Pi (x).

/ Далее применим теорему 2.1.1 к новой модели и найдём соответствующий набор нестандартных векторов 1,..., n. По условию (1,..., n) = 0 можно считать, что евклидова норма вектора (1,..., n) в точности равна 1, откуда в силу компактности единичной сферы в L заключаем существование i = st(i), i N, не все из которых равны нулю. Для каждого из этих векторов мы имеем i, Pi(x) i, x = i, yt 0 yt Lt, t Ti.

t / Последнее возможно, только если i = 0 для всех t T \ Ti, что t совместно с предыдущим и заканчивает доказательство.

Доказательство теоремы 2.1.3. Необходимость. В отличии от предыдущего доказательства рассмотрим несколько иные множества “предпочитаемых” состояний, полагая Ti Pi(x) = (Pi (x) {xi}) Lt tT \Ti Ti для всех i N (здесь Pi (x) = при Pi(x) = ). Далее, используя свойство строгой оптимальности состояния x, покажем, что Pi(x) {y L | F (y) = F ()} = {x}. (2.1.8) N Действительно, пусть z принадлежит множеству, расположенному в левой части последнего соотношения. Прежде всего отметим, что в силу (2.1.3) должно быть z X, и, следовательно, z A(X ). Далее, если z = x, то определим непустую (в силу (2.1.3)) коалицию агентов, полагая S = {i N | zi = xi}. Легко видеть, что S коалиция, су ществование которой отрицается по свойству строгой оптимальности по Парето состояния x. Таким образом, (2.1.8) истинно, и можно применить теорему 2.1.4. Отметим, что грань минимальной размерности множества Pi(x), которой принадлежит элемент x, это в точности множество {xi} Lt. Поэтому в силу теоремы 2.1.4 и аргуменtT \Ti тов, аналогичных изложенным выше при доказательстве теоремы 2.1.1, найдётся совокупность нестандартных функционалов, чьи представляющие вектора удовлетворяют всем требованиям теоремы 2.1.3. В части достаточности доказательство стандартно.

44 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами 2.2 Теорема существования аппроксимирующих равновесий Прежде всего в данном пункте вводятся понятия общего и аппроксимирующего равновесия в абстрактной модели экономики.

2.2.1 Равновесия, предположения и теоремы Из результатов предыдущего пункта следует, что эффективный механизм стоимостного регулирования в случае общей модели с внешними влияниями должен основываться на понятии индивидуальной цены, допустимая совокупность которых должна удовлетворять условию (2.1.1), что является основным аргументом в пользу нижеследующего определения.

Введём множество достижимых наборов индивидуальных цен, полагая A(Q) = {q Q | ker qi(.) kerF (.)}.

N Далее для каждого i N определим бюджетное множество агента i в состоянии x X при ценах q Q, полагая Bi(x, q) = {y X | qi, y i(x, q)}.

Множество Bi(x, q) имеет обычный содержательный смысл и состоит из тех состояний экономики, которые способен “купить” агент i по индивидуальным ценам qi в текущем состоянии x относительно допустимого набора индивидуальных цен q.

Определение 2.2.1 Допустимое состояние x X экономики E называется абстрактным равновесием при ценах q Q, если выполнены условия (i) x Bi(x, q) i N ;

(ii) Pi(x) Bi(x, q) = i N ;

(iii) x A(X );

(iv) q A(Q).

2.2. Теорема существования аппроксимирующих равновесий Приведённое здесь условие (i) следует понимать как требование индивидуальной финансовой достижимости состояния x, тогда (ii) совместно с (i) можно интерпретировать как реализацию принципа максимизации полезности в рамках бюджетного ограничения, (именуемую иногда как индивидуальная рациональность, хотя это может входить в противоречие с терминологией теории игр). Требование (iii) означает реализуемость (достижимость) состояния x в экономике в целом, а (iv) эффективность набора индивидуальных цен q = (q1,..., qn).

Далее, сформулируем некоторые минимальные требования, предъявляемые к модели экономики, с тем чтобы можно было надеяться на существование равновесий. Все эти требования носят общематематический характер, и прежде всего в их числе предположения, относящиеся собственно к множеству допустимых состояний экономики:

A1 (выпуклость и замкнутость) Множество допустимых состояний X выпукло и замкнуто.

A2 (ограниченность) Множество достижимых состояний A(X ) ограничено.

В следующую группу входят предположения, связанные со свойствами предпочтений их непрерывностью и выпуклой иррефлексивностью. В современной литературе используется два типа предположений о непрерывности предпочтений сильная и слабая.

A3 (слабая непрерывность) Для каждого i N отображение Pi(.) : X X удовлетворяет условиям (i) полунепрерывность сверху: для всех x X множество Pi(x) открыто в X ;

(ii) полунепрерывность снизу: для всех y X множество -Pi (y) = {x X | y Pi(x)} открыто в X.

A3 (сильная непрерывность) Для каждого i N отображение Pi(.) : X X имеет открытый график GrPi(.) в X X, где GrPi(.) = {(x, y) X X | y Pi(x)}.

46 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Замечание 2.2.1 Предположение A3 очевидно влечёт A3 и в общем случае является более квалифицированным требованием к предпочтениям агентов. Однако заметим, что если бинарное отношение являi ется строгой компонентой некоторого транзитивного, полного и рефлексивного отношения, то A3 эквивалентно A3. Чтобы убедиться в этом возьмём произвольную пару (x, y) GrPi(.). Предположим, что -z Pi(x) Pi (y) =. Тогда из транзитивности -(x, y) Pi (z) Pi(z) GrPi(.) -для некоторого z X. Если Pi(x) Pi (y) =, то из транзитивности и полноты несложно заключить, что -(x, y) Pi (y) Pi(x) GrPi(.).

Таким образом, GrPi(.) есть окрестность каждой своей точки и, по определению, является открытым подмножеством в X X.

Другая ситуация, в которой предположение A3 оказывается эквивалентным A3, состоит в предположении о полиэдральности множества допустимых состояний экономики X в случае выпуклых значений у Pi(.). Полиэдральность выполняется “по определению” в ряде традиционных моделей экономики. Кроме того, как мы увидим в дальнейшем, в рамках предположения о полиэдральности X получаются наиболее интересные результаты в приложениях общей теории равновесия с нестандартными ценами.

Чтобы убедиться в истинности последнего высказывания, предположим A3 и возьмём любую пару (x, y) GrPi. Имеем y Pi(x), где в силу полиэдральности X и A3(i) найдётся многогранная окрестность V X точки y в топологии L, индуцированной на X, такая, что V Pi(x). Другими словами, найдётся такое конечное A X, что co A окрестность точки y в X и co A Pi(x). Теперь в силу -A3(ii) множество Pi (a) = W является открытой окрестностью aA точки x в X, и в силу предположения о выпуклозначности Pi(.) заключаем co A Pi(x ) для всех x W, т. е. W co(A) GrPi и GrPi является окрестностью каждой своей точки и, значит, является открытым множеством в X X.

A4 (выпуклость и иррефлексивность) Для каждого i N и для всех x X выполняется x co Pi(x).

/ 2.2. Теорема существования аппроксимирующих равновесий Отметим, что co Pi(.) удовлетворяет A3, если оно выполнено для Pi(.).

Поэтому, комбинируя A3 и A4 в предположении о полиэдральности X, заключаем эквивалентность A3 и A3.

В другую группу предположений входят требования, предъявляемые к механизму стоимостного регулирования. Первое из этих требований имеет обычный математический смысл.

A5 (непрерывность доходов) Для каждого i N функция i(.) : X Q IR непрерывна.

Для существования любого экономически значимого понятия равновесия необходимы предположения, обеспечивающие выполнение финансового баланса в итоговом решении. В теории существования вальрасовского равновесия такую роль играет закон Вальраса. В абстрактной модели экономики этот закон имеет не совсем привычную форму, что обусловленно большой общностью модели. Именно, чтобы сформулировать этот закон в форме, приложимой к случаю ограниченных внешних влияний, нам потребуется определить некоторое правило, в соответствии с которым всякому заданному набору x1,..., xn состояний экономики сопоставляется состояние, состоящее из “компонент” этих состояний. Другими словами, необходимо определить отображение g(.) проектирования из LN в L, надлежащим образом согласованное с понятием ограниченных внешних влияний.

Пусть в модели E множество допустимых состояний X представляется в виде X = Xt при некотором конечном T и имеет место ограT ниченный эффект внешних влияний (см. (2.1.2)). Отображение проектирования g : LN L назовём согласованным со структурой внешних влияний, если для каждого t T определён такой i N, что (g(x1,..., xn))t = (xi)t, t Ti.

В дальнейшем для краткости такого рода проектирование назовём проN сто согласованным. Отметим, что при (x1,..., xn) X выполняется g(x1,..., xn) X. Еще раз подчеркнем, что единственное требование, предъявляемое к согласованному проектированию g(.), состоит в том, что его компонента t определяется как компонента t у состояния, отвечающего некоторому агенту i, где t входит в область эффективного изменения его предпочтений, т. е. должно быть t Ti. Таким образом, согласованные проектирования существуют, только если выполнено Ti = T.

N 48 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами A6 (закон Вальраса) Существует такое согласованное проектироваN ние g : X X, что для любого заданного набора x1,..., xn X и любого набора достижимых индивидуальных цен q A(Q), если qixi < qi, Pi(xi) & Pi(xi) Bi(g(x1,..., xn), q) = i N, то i(g(x1,..., xn), q) = qi,.

iN iN Ясно, что закон Вальраса в данной формулировке является ослаблением общепринятого в моделях типа Эрроу–Дебре, где нет ограничений на выбор текущего состояния экономики. Несмотря на его внешнюю искусственность с экономической точки зрения (и трудность проверки), эта формулировка является приемлемой для абстрактной модели и в чём-то даже ближе к классическим установкам. Действительно, здесь требуется, чтобы финансовый баланс выполнялся только в точках, которые представлены через оптимальные решения в задачах “выбора состояния” у агентов экономики. В свою очередь, в классическом понимании требуется, чтобы скалярное произведение вектора цен на текущий избыточный спрос обращалось в ноль (т. е. требуется нулевая стоимость избыточного спроса). Таким образом, “странность” изложенной формы закона Вальраса сводится только к тому, что он применяется по отношению не к заданному состоянию экономики, но к набору этих состояний (для перехода используется отображение g(.)). Как это будет видно в дальнейшем, предложенный вариант закона Вальраса удобен в приложениях абстрактной модели (см. § 3.2), учитывающих наличие производственного сектора.

A7 (непустота бюджетных множеств) Существует компакт M L такой, что для каждого i N и любых (x, q) X Q выполняется Bi(x, q) = y X M : qi, y i(x, q).

Данное предположение аккумулирует основной смысл нашего подхода.

Должно быть ясно (и это показывают примеры), что предположение Aявляется слишком слабым, чтобы гарантировать существование равновесий в смысле определения 2.2.1, даже если выполняются все прочие предположения A1–A6. Более того, как показывает нижеследующий 2.2. Теорема существования аппроксимирующих равновесий пример (см., напр., [4]), его будет также недостаточно и в случае обычной модели обмена без внешних влияний, даже если предпочтения агентов локально ненасыщаемые, а цены сколь угодно гибкие, это хорошо известный в теории равновесия факт.

Пример 2.2.1 Пусть N = {1, 2}, а пространство состояний L = L1L2, где L1 = L2 = IR2 пространство продуктов. Пусть X = IR2 IR2, + + а предпочтения определены на L+ = IR2 (нет внешних влияний) поi + средством функций полезности: u1(x1) = x1 и u2(x2) = x2, где верх1 ний индекс указывает на номер продукта в потребительском плане xi.

В экономике функционируют рыночные цены p IR2, а доходы агентов определены с помощью векторов “исходных ресурсов” i IR2, где + = (1, 2) X и 1 = (1, 0), 2 = (1, 1), а i = i, p, i = 1, 2. Равновесием здесь является вектор (x1, x2) IR4, такой что x1 + x2 = 1 + + (из условия достижимости (iii) определения 2.2.1), и при этом для некоторого p IR2 имеет место ui(x) = max{ui(y) | y IR2 : py pi}, i = 1, 2.

+ Ситуацию иллюстрирует рис. 2.2.1, где в пространстве продуктов IRизображены исходные запасы, кривые безразличия функций полезности и возможные бюджетные множества экономических агентов.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.