WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 16 |

Условие (2.1.2) означает, что область значений предпочтения i можно без ущерба ограничить пространством Li, что соответственно уменьшает эффект внешних влияний. Требование (2.1.3) указывает на пределы, в рамках которых возможно эффективное сужение областей изменения индивидуальных цен в таком случае компоненты индивидуальных цен, отвечающие “неинтересным” для i фрагментам состояния экономики, обращаются в ноль. Полученный в теореме 2.1.2 результат можно уточнить, если воспользоваться вышеуказанным замечанием (см. комментарий к теореме 2.1.1) относительно перехода от нестандартной характеризации к стандартной.

Полноценный нестандартный аналог теоремы 2.1.2, дающий необходимые и достаточные условия оптимальности по Парето состояний абстрактной модели в терминах нестандартных цен, является более тонким результатом, требующим уточнения собственно понятия оптимальности.

Определение 2.1.2 Говорят, что допустимое состояние x X сильно оптимально по Парето, если оно достижимо, т. е. F (x) = F (), и для каждой непустой коалиции S N не существует z A(X ) такого, что z Pi(x) i S (2.1.4) и при этом x Pi(z) i S. (2.1.5) / / Содержательно данное определение означает, что нет такой коалиции, которая была бы способна предложить своим членам строго предпочитаемое каждым из них достижимое состояние экономики при условии нейтральности дополняющей коалиции изменение текущего состояния экономики возможно, только если в дополняющей коалиции нет активно несогласных членов. Заметьте, что данное понятие доминирования является более слабым по сравнению с доминированием, отвечающим понятию слабой границы Парето соответственно, сильная граница является подмножеством слабой.

2.1. Нестандартные цены в абстрактной экономике Отметим, что если отношение иррефлексивно и транзитивно, то i условия (2.1.4), (2.1.5), определяющие сильную границу Парето, будут эквивалентны требованию i N : z x & x z i N.

i i В свою очередь, любое строгое бинарное отношение будет иррефлексивно и транзитивно, если оно определено как строгая компонента некоторого нестрогого отношения, которое рефлексивно и транзитивно. Чтобы убедиться в этом, напомним, что по определению строгой компоненты z y z y & y z.

Теперь, если z y & y x, то из транзитивности заключаем z x.

Однако если x z, то из y x z и транзитивности получаем y z, что противоречит условию z y и определению строгой компоненты.

Следовательно x z и по определению z x.

Таким образом, определение 2.1.2, будучи применённым к классическим нестрогим (и полным) предпочтениям экономических агентов, в точности совпадает с традиционным определением сильной границы Парето.

С целью установить точную теорему при ограниченном эффекте внешних влияний, рассмотрим следующую модификацию понятия оптимальности по Парето.

Определение 2.1.3 Допустимое состояние экономики x X строго оптимально по Парето, при ограниченном эффекте внешних влияний, если оно достижимо, т. е. F (x) = F () и для каждой (непустой) коалиции S N не существует z A(X ) такого, что z Pi(x) i S & zi = xi i S, / где zi, xi проекции векторов z, x на Li = Lt и при этом, если tTi Pi(x) =, то Ti = T \ ( Tj), где N = {j N | Pj(x) = }.

jN Легко видеть, что данное понятие занимает промежуточное положение между слабой и сильной оптимальностью по Парето, и, главное, всякое сильно оптимальное состояние является строго оптимальным, если предпочтения иррефлексивны и имеет место ограниченный эффект внешних влияний. Убедиться в этом можно, рассуждая от противного:

если x сильно оптимален и не является строго оптимальным, то найдется z и непустая доминирующая коалиция S, такая, что для агентов, 36 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами не попавших в эту коалицию, выполняется zi = xi (см. опред. выше).

Но тогда, если x z для некоторого i S, то, в силу ограниченного / i эффекта внешних влияний (2.1.2), получаем z z, что невозможно.

i Следовательно x z для всех i S и по определению S (слабо) доми/ i нирует x по z противоречие.

Теорема 2.1.3 Пусть выполнены условия теоремы 2.1.1, имеется ограниченный эффект внешних влияний в достижимом состоянии x и выполнены (2.1.2) и (2.1.3). Тогда состояние x X строго оптимально по Парето тогда и только тогда, когда найдётся набор нестандарт t ных векторов 1,..., n из L, такой, что i = 0 для всех t T \ Ti, t t где i = (i)tT, i L t, выполняются (2.1.1) и Pi(x), i > x, i для каждого i N, удовлетворяющего Pi(x) =.

Доказательство теорем 2.1.2, 2.1.3 идёт параллельно доказательству теоремы 2.1.1 и приводится в конце данного пункта (непосредственно после доказательства теоремы 2.1.1). Доказательство теоремы 2.1.основано на применении нестандартного обобщения известной теоремы Дубовицкого–Милютина, которое имеет также и самостоятельный интерес.

Теорема 2.1.4 Пусть {Bj}j=k некоторая совокупность выпуклых j=подмножеств пространства L, такая, что для некоторого x L и любого j множество Bj {x} выпукло. Тогда, если k (Bj {x}) = {x}, j= то существуют нестандартные линейные функционалы fj L, j = 1, 2,..., k, удовлетворяющие условию k fj = 0, (2.1.6) j=и такие, что fj(Bj) fj(x), причем выполняется FB (x) = {y Bj | fj(y) = fj(x)}, (2.1.7) j 2.1. Нестандартные цены в абстрактной экономике где FB (x) обозначает грань4 минимальной размерности (возможно j пустую) множества Bj, которой принадлежит элемент x.

Замечание 2.1.1 Прежде всего, отметим тот факт, что если x riBj,/ то FB (x) riBj =, и в силу (2.1.7) разделяющий функционал fj ненуj левой. Соответственно, если x riBj для всех j, то все разделяющие / функционалы ненулевые, что демонстрирует отличие данной теоремы от стандартной версии теоремы Дубовицкого–Милютина. Теорема 2.1.является достаточно глубоким результатом. В определённом смысле она показывает, что стандартные выпуклые множества обладают свойствами выпуклых многогранников в классе всех нестандартных множеств.

В частности, из этой теоремы следует, что любые два выпуклых стандартных множества, имеющие пустое пересечение, можно строго разделить нестандартной гиперплоскостью (см. теорему 1.2.5). Действительно, для выпуклых X, Y L, если X Y =, то достаточно применить теорему 2.1.4 к совокупности из двух множеств, имеющих вид {0} и {(x - y) | x X, y Y, 1 > 0}, рассмотренных относительно вектора 0 (т. е. нужно принять x = 0 в формулировке теоремы 2.1.4).

Искомым разделяющим нестандартным функционалом здесь является f = f1 = -f2.

В основе доказательства данной теоремы лежит следующий стандартный факт о разделимости выпуклых многогранников.

Утверждение 2.1.1 Пусть {Aj}j=k совокупность выпуклых мноj=гогранников6 в пространстве L, удовлетворяющая условию k Aj = {x}, j=Подмножество C замкнутого выпуклого множества B L называется гранью B, если и только если для любых a, b B условие (a, b) C = влечет [a, b] C.

Здесь [a, b] = {y L | y = a + (1 - )b, 0 1}, (a, b) = {y L | y = a + (1 - )b, 0 < < 1}.

Под гранью произвольного выпуклого множества мы понимаем подмножество, которое можно представить как пересечение грани замыкания с основным множеством.

О граневой структуре выпуклых множеств подробнее см. [16].

Для выпуклых множеств riB означает относительную внутренность множества B это внутренность, определённая в минимальном афинном подпространстве, содержащем B.

Под термином “выпуклый многогранник” мы понимаем множество, представимое как выпуклая оболочка конечного числа точек. Множества, представимые как пересечение конечного числа замкнутых полупространств, называются “полиэдральными”.

38 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами и пусть x riFA для всех j = 1,..., k, где FA грань Aj 7. Тогда найj j дется совокупность линейных стандартных функционалов {fj}j=k, не j=все из которых равны нулю если x riAj для некоторого j = 1,..., k / и таких, что fj(Aj) fj(x) и FA = {y Aj | fj(y) = fj(x)} для всех j j = 1,..., k, и k fj = 0.

j=При доказательстве последнего утверждения будет использоваться следующая вспомогательная Лемма 2.1.1 Пусть C L выпуклый многогранник, FC собственная грань в C и H L аффинное подпространство, удовлетворяющее H C FC и H riFC =. Тогда H можно продолжить до опорной к C гиперплоскости D, такой, что D C = FC.

Доказательство леммы 2.1.1. В целом доказательство леммы следует схеме доказательства теоремы 7.5 из [16], утверждающей, что каждая грань многогранника является выступающей8.

Без ограничения общности можно считать, что dimC = dimL. Далее ведем индукцию по размерности пространства L. При dimL = 1, утверждение леммы очевидно, что обеспечивает базу индукции. Предполагая истинность леммы при dimL < m, докажем её для dimL = m.

По условию леммы H C FC и, так как FC собственная грань C (значит, FC intC = ), заключаем H intC =. В силу классической теоремы отделимости найдется такая гиперплоскость E H, что E intC =. Покажем, что FC E. Действительно, пусть x riFC H.

Теперь, если y FC \ E, то из x riFC найдем такой > 0, что z = x + (x - y) FC, откуда по выбору y получаем z E, причём / y и z лежат в разных полупространствах, ограничиваемых гиперплоскостью E. По условию найдется c intC, возьмём любой. Теперь, в силу свойства выпуклых множеств, имеем (y, c) intC и (z, c) intC.

Однако, так как y и z лежат в разных открытых полупространствах, ограничиваемых гиперплоскостью E, получаем либо (y, c) E =, либо (z, c) E =, что влечет E intC = противоречие с выбором E. В итоге заключаем, что FC E.

Это означает, что FAj грань минимальной размерности, содержащая точку x.

Грань F выпуклого множества B L называется выступающей, если либо F совпадает с или B, либо F = B D, где D опорная гиперплоскость к B.

2.1. Нестандартные цены в абстрактной экономике Далее, если E C = FC, то гиперплоскость E искомая. В противном случае FC является собственной гранью многогранника C E, и, в силу индуктивного предположения, аффинное подпространство H может быть продолжено до гиперплоскости H в E так, чтобы было выполнено утверждение леммы: FC = H C и H опорная гиперплоскость к C E в E. Заметим, что dimH = m - 2 1. Пусть T двумерное подпространство в L, ортогональное к H, и pr(.) обозначает ортогональную проекцию L на T. Тогда pr(H ) одноточечное множество, а pr(C) двумерный многогранник в T. Далее покажем, что pr(H ) вершина pr(C). Действительно, если бы это было не так, то в C нашлись бы такие точки y и z, что pr(y) = pr(z) и при этом pr(H ) = (1 - ) pr(y) + pr(z) для некоторого 0 < < 1. Полагая v = (1 - )y + z, находим, что v C и pr(v) = pr(H ). Однако последнее влечет v H, ибо по построению имеем pr-1(pr(H )) = H. Следовательно v принадлежит FC (так как FC = H C). Но тогда из определения грани мы заключаем, что y, z FC. В то же время, поскольку FC H, то для всех u FC должно выполняться pr(u) = pr(H ), откуда, в частности, следует pr(y) = pr(z).

Полученное противоречие доказывает, что pr(H ) является вершиной в pr(C). Далее, в силу истинности леммы в двумерном варианте, в T найдется такая прямая Q, что Q pr(C) = pr(H ).

Но теперь достаточно положить D = aff(H Q) = pr-1(Q) и убедиться в том, что D является опорной гиперплоскостью к C в L, удовлетворяющей (по построению) условиям D H и D C = FC.

Доказательство утверждения 2.1.1. Применим лемму 2.1.1 к многоj=k граннику C = Aj, точке (x,..., x) и подпространству j=H = {(y,..., y) | y L}, k определенным в пространстве Lk. Поскольку F = FA (x) является j j=гранью C, содержащей (x,..., x) в своей относительной внутренности, мы заключаем существование опорной к C гиперплоскости9 E H, По условию леммы 2.1.1 необходимо, чтобы грань F была собственной. Однако, k если эта грань несобственная, т. е. F = C = Aj, то x riAj и fj = 0, j = 1,..., k j=удовлетворяют всем требованиям утверждения 2.1.1.

40 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами удовлетворяющей условию k E C = FA (x).

j j=Так как 0 H E, то найдется (ненулевой, если F собственная) линейный функционал f, такой, что {y Lk | f(y) = 0} = E. Записывая функционал f в виде f = (f1,..., fk), где fj функционалы над L, в j=k силу f(H) = 0 находим fj(z) = 0 для всех z L, что доказывает j=вторую часть утверждения. Ввиду опорности E к C, мы можем предполагать, что f(C) f(F ) = 0 (в противном случае возьмем -f вместо f). Отсюда, применяя f к элементу из C, имеющему вид (z1,..., zk), где zi = x для i = j и zj Aj, находим fj(zj) + fi(x) fj(x) + fi(x) = fj(zj) fj(x) zj Aj.

i =j i =j Осталось заметить, что в последнем неравенстве равенство возможно только тогда, когда zj FA (x).

j Доказательство теоремы 2.1.4. Прежде всего, отметим, что достаточно рассмотреть случай, в котором Bj = для всех j = 1,..., k. Действи тельно, для j таких, что Bj =, можно взять новые множества, полагая Bj := {x}. Ясно, что набор нестандартных функционалов, отвечающий новому набору выпуклых множеств, будет удовлетворять требованиям теоремы в отношении старого набора.

Доказательство теоремы основывается на применении теоремы направленности из теории нестандартного анализа, (см. § 1.2.2 Теорема 1.2.4). С этой целью определим направленное отношение U следующим образом. Пусть C = {C1,..., Ck} есть любая совокупность конечных (возможно пустых) подмножеств Cj Bj, удовлетворяющая следующему условию: если x Bj, то x co Cj и размерность минимальной грани в co Cj, которой принадлежит x, совпадает с размерностью минимальной грани из Bj при FB (x) = (это грани, для которых x лежит j в их относительной внутренности, см. теорему 5.6 в [16]). Далее, определим Aj = co(Cj {x}) для всех j = 1,..., k и отметим, что этот набор выпуклых многогранников удовлетворяет всем условиям Утверждения 2.1.1. Пусть F = F(C) = {f1,..., fk} набор линейных функционалов, отвечающих данному набору {Aj} многогранников и удовлетворяющий требованиям утверждения 2.1.1. Теперь определим отношение U как со2.1. Нестандартные цены в абстрактной экономике вокупность всех пар (C, F(C)) указанного вида, т. е. положим U = {(C, F) | C = {Cj}j=k, |Cj| <, Cj Bj, F = F(C)}.

j=Свойство направленности отношения U легко проверяется. Действительно, для конечного семейства {Ct} из dom U достаточно положить t Cj = tCj, и, используя утверждение 2.1.1, найти набор функционалов F, соответствующий набору многогранников {Aj}, где Aj = co(Cj{x}).

Легко видеть, что (Ct, F) U, что и требовалось доказать. Итак, U направленное отношение, и в силу теоремы направленности найдётся такой набор ненулевых нестандартных функционалов F = {fj}j=k, что j= (C, F) U при любом C dom U. Чтобы закончить доказательство до статочно заметить, что по определению U набор F удовлетворяет всем свойствам утверждения 2.1.1 при любом C dom U, и, так как к Cj можно добавить любую точку из Bj не выходя за пределы dom U, то fj(y) > f(x) = f(z) z FB (x) & y Bj \ FB (x), j j что устанавливает (2.1.7). Свойство (2.1.6) выполнено по определению отношения U и в силу утверждения 2.1.1.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.