WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 16 |

26 Глава 1. Введение в нестандартный анализ Доказательство. Рассмотрим множество F всех пар (A, B), таких, что A конечное подмножество X и B конечное подмножество Y. Обозначим сопряженное пространство линейных (и непрерывных в нужной отделимой линейной топологии) функционалов на L символом L и рассмотрим отношение U на множестве F L, заданное по формуле U = {((A, B), f) F L | f, coA > f, coB }, где coA и coB стандартное обозначение выпуклой оболочки множества здесь A и B соответственно. Для каждого (A, B) F, множества coA и coB являются непустыми выпуклыми компактами (в любой отделимой линейной топологии). Следовательно, в силу (второй) теоремы отделимости найдётся линейный функционал, строго разделяющий эти множества, т. е. существует такой g L, что ((A, B), g) U. Теперь пусть (A1, B1),..., (Ak, Bk) F. Так как k k ( Ai, Bi) F, i=1 i=то найдётся g L, такой, что k k (( Ai), ( Bi), g) U.

i=1 i=Но тогда ((Ai, Bi), g) U для каждого i = 1,..., k, что совместно с предыдущим и доказывает направленность отношения U. Теперь, применяя теорему направленности, заключаем существование (внутреннего) линейного функционала f (L ), такого, что f(x) > f(y) для каждого x X, y Y, что и заканчивает доказательство теоремы.

1.3 Сводка некоторых результатов В приложениях нестандартного анализа бывает весьма важно уметь показать, что то или иное множество является внутренним. Следующая теорема даёт для этого эффективный критерий, утверждающий, что определимые подмножества внутреннего множества являются внутренними.

Теорема 1.3.1 Пусть A внутреннее и B U определимое множества. Тогда A B внутреннее множество.

1.3. Сводка некоторых результатов Гиперконечные множества Предположим, что A U является множеством. Пусть F (A) обозначает совокупность всех конечных подмножеств A. Говорят, что множество B U гиперконечно (гиперфинитно), если B F (A) для некоторого A U. В этом случае, конечно, имеем B A. Следующая теорема говорит о том, что каждое множество из стандартного универсума U содержится в некотором гиперконечном множестве.

Теорема 1.3.2 Пусть A U и n IN \ IN любое бесконечное натуральное число. Тогда существует гиперконечное множество D, такое, что |D| < n и x A x D.

Важно также то, что каждое внутреннее подмножество гиперконечного множества само является гиперконечным (доказательство несложно).

Гипердействительные числа и стандартные части Из того, что IR упорядоченное поле, следует (по принципу переноса), что IR также является упорядоченным полем относительно операций +, ·, и отношения <. Говорят, что нестандартное число r IR конечное, если |r| < n для некоторого n IN. Если r IR конечное, то существует единственное действительное число, бесконечно близкое к r. Это число называется стандартной частью числа r и обозначается как r (иногда st(r) = st r). Верно и обратное если стандартная часть r существует, то r конечно.

Монады и топология Предположим, что (X, T ) топологическое пространство, где T обозначает совокупность всех открытых множеств. Если x X, то монада элемента x это множество µ(x) = T.

xT T Пусть (X, d) метрическое пространство. Тогда для x X, метрическая монада x это множество µm(x) = {y X| d(x, y) 0}.

Теорема 1.3.3 Предположим (X, d) метрическое пространство и x X. Тогда монада x совпадает с метрической монадой x.

28 Глава 1. Введение в нестандартный анализ Если x, y X и y элемент (метрической) монады x, то пишут x y (читается как “y бесконечно близок к x”). Это определение согласуется с предыдущим обозначением, введённым для элементов IR. Обозначение x y используется и для произвольных топологических пространств, но только если x X; в таком случае x y y µ(x). Пример IR показывает, что монады, вообще говоря, не являются внутренними множествами. Однако каждая монада содержит в себе некоторое внутреннее множество, подобное открытой окрестности точки. Более точно, истинна следующая Теорема 1.3.4 Для каждого x X существует внутреннее множе ство D T, такое, что D µ(x).

В остатке этого раздела будет представлен список нестандартных эквивалентностей разного рода топологических понятий.

Теорема 1.3.5 Множество A X открыто тогда и только тогда, когда µ(x) A для каждого x A.

Теорема 1.3.6 Множество A X замкнуто тогда и только тогда, когда для каждого x X условие µ(x) A = влечёт x A.

Теорема 1.3.7 Множество K X компактно тогда и только тогда, когда для каждого y K существует такой x K, что y µ(x).

Для топологического пространства X точка y X называется околостандартной, если y x для некоторого x X; иначе y называется отдалённой точкой.

Теорема 1.3.8 Топологическое пространство X компактно тогда и только тогда, когда каждая точка y X околостандартна.

Теорема 1.3.9 Пусть f отображение из топологического пространства X в топологическое пространство Y и предположим, что x X.

Тогда f непрерывно в точке x тогда и только тогда, когда x x = f(x ) f(x).

Последнее условие может быть записано в эквивалентном виде:

f(µ(x)) µ(f(x)).

Глава Экономическое равновесие с нестандартными ценами 2.1 Нестандартные цены в абстрактной экономике Мы начнём с рассмотрения модели экономической системы, описанной в наиболее абстрактной форме. Характерной чертой представленной модели является допущение внешних влияний, что мотивирует изучение в её рамках эффективных механизмов стоимостного регулирования, использующих индивидуализированные стоимостные оценки, так называемые “индивидуальные цены”. В рамках данной модели будут представлены два важных результата двойственная характеристика оптимальных по Парето состояний экономики (аналог “второй теоремы благосостояния”), данная в терминах нестандартных индивидуальных цен, а также теорема о существовании аппроксимирующих равновесий.

В последующем будет показано, что, надлежащим образом применённая в соответствующих конкретизациях абстрактной модели, эта аппроксимизирующая теорема приводит к целому спектру теорем существования экономических равновесий с нестандартными ценами. В частности это могут быть теоремы существования в традиционных “неоклассических” моделях, таких как экономика чистого обмена, экономика с производственным сектором типа Эрроу–Дебре, экономика с общественными благами, а также разного рода их обобщения. Представляется весьма важным то обстоятельство, что при наличии дополнительных модель30 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами ных предположений, обеспечивающих выполнение “условия Слейтера” в задаче потребителя, соответствующее равновесие с нестандартными ценами превращается в “стандартное” равновесие. Таким образом, изложенные в данной главе результаты можно также рассматривать как некий универсальный метод анализа проблемы существования равновесия в замкнутой экономической модели.

2.1.1 Модель абстрактной экономики Основополагающими элементами любой модели экономики являются пространство состояний L и выделяемое в его рамках множество X L допустимых состояний экономики. В пособии мы будем всегда предполагать, что L является конечномерным эвклидовым пространством и, таким образом, может быть отождествлено с IRm при некотором натуральном m. Достижимыми называются такие допустимые состояния x из X, которые удовлетворяют дополнительному требованию F (x) = F (), где F (.) некоторый заданный линейный оператор, а некоторый фиксированный элемент в X, отождествляемый с “исходным” состоянием экономики. В приложениях абстрактной модели определяемые этим оператором соотношения F (x) = F () выражают в наиболее общей форме свойство сбалансированности состояния x. Положим, A(X ) = {x X | F (x) = F ()} множество всех достижимых состояний экономики.

Субъектами модели являются экономические агенты, представленные в её конкретизациях как потребители и производители; однако на первоначальном этапе мы не делаем такого рода разграничений. Множество N всех представленных в модели агентов предполагается конечным и для простоты полагается N = {1,..., n}. Агенты способны сравнивать между собой различные состояния экономики, выделяя из их числа те, которые им нравятся больше по сравнению с любым заданным “текущем” состоянием. Другими словами, первоначально можно считать, что для всякого i N на множестве допустимых состояний X определено точечно-множественное отображение Pi : X X, где Pi(x) интерпретируется как множество всех состояний экономики, строго предпочитаемых агентом i состоянию x, а само отображение Pi(.) называется отношением (строгого) предпочтения1. В тексте будет также использоваться Если в модели допускаются предпочтения агентов, для которых принципиально наличие столь обширных областей определения и значения, то принято говорить о наличии внешних влияний.

2.1. Нестандартные цены в абстрактной экономике общепринятое обозначение, определяющее предпочтение агента i в i виде бинарного отношения на X, где для любых x, y X имеем y x y Pi(x).

i Множество допустимых индивидуальных цен Q, где Q (L )N = Ln и q = (q1,..., qn) для q Q, является частью определённого в модели формального механизма стоимостного регулирования, который включает в себя также заданные для каждого i N функции распределения дохода i : X Q IR.

В краткой форме модель абстрактной экономики может быть записана в следующем виде:

E = N, X, Q, F (.),, {Pi(.)}iN.

Одним из наиболее естественных требований, предъявляемых в любой экономической системе к механизму стоимостного регулирования, является требование его эффективности, которое в рассматриваемом нами классе моделей понимается как оптимальность по Парето отвечающих ему состояний равновесия. Данный вопрос находится в тесной связи с тем, какого типа цены допустимы в данном механизме, насколько гибкими они являются и т. д. Следующий пункт раздела посвящен анализу данной проблемы.

2.1.2 Нестандартная характеристика оптимальности по Парето Прежде всего дадим необходимые определения.

Определение 2.1.1 Говорят, что допустимое состояние экономики x X оптимально (слабо) по Парето, если оно достижимо, т. е.

F (x) = F () и при этом выполняется Pi(x) A(X ) =.

iN В существующей литературе множество состояний экономики, удовлетворяющих Определению 2.1.1, принято называть слабой границей Парето.

Полную характеризацию (слабо) оптимальных по Парето состояний, представленную в терминах индивидуальных нестандартных цен, даёт следующая 32 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Теорема 2.1.1 Пусть x A(X ), множества Pi(x) & Pi(x) {x} выпуклы и x Pi(x) для всех i N. Cостояние x оптимально по Парето / тогда и только тогда, когда найдётся набор ненулевых нестандарт ных векторов 1,..., n из L, такой, что Pi(x), i > x, i для каждого i N, удовлетворяющего Pi(x) =, и при этом kerF (.) ker i(.) [ y L, F (y) = F () i(y)= i() ].

N N N (2.1.1) Комментируя содержание теоремы 2.1.1, прежде всего отметим возможность получения, как следствия, характеризации оптимальных по Парето состояний экономики в терминах стандартных линейных функционалов. Последнее возможно при дополнительных модельных предположениях.

Действительно, с целью перейти к стандартным векторам индивидуальных цен будем считать, что норма вектора = (1,..., n) равна 1 (при необходимости всегда можно так его пронормировать). Так как сфера единичного радиуса компактна в Ln (ибо L конечномерно), то каждая точка её -изображения околостандартна и, следовательно, существует стандартная часть вектора. Полагая i = st(i), получим набор стандартных векторов 1,..., n, не все из которых равны нулю (при данном переходе нельзя гарантировать, что каждый из них ненулевой даже если Pi(x) = для всех i N ), таких, что ker i(.) kerF (.), и при этом N Pi(x), i x, i для каждого i N, такого, что Pi(x) =. Далее, если дополнительно предположить, что x intX (без ограничения общности можно считать intX = ) и Pi(x) относительно открыты в X, то из предыдущего соотношения несложно заключить, что Pi(x), i > x, i для i = 0. Вышесказанное и составляет стандартную характеризацию оптимальных по Парето состояний экономики (используя дополнительные предположения, этот результат можно распространить и на случай x intX, но здесь мы не будем этим заниматься).

/ 2.1. Нестандартные цены в абстрактной экономике Другой важный вывод, следующий из теоремы 2.1.1, состоит в том, что в общем случае, при наличии внешних влияний, эффективный механизм стоимостного регулирования должен основываться на понятии индивидуальной цены, допустимая совокупность таких цен должна удовлетворять условию (2.1.1). Без сомнения, использование индивидуальных цен в реальной экономической практике сталкивается с серьёзными затруднениями, тем большими, чем больше их “индивидуализация”.

Поэтому представляется важным определить те минимальные пределы, в которых индивидуализация цен действительно необходима, с тем чтобы сохранить свойство эффективности стоимостного механизма по мере уменьшения эффекта внешних влияний. Формально вопрос можно поставить так: как можно сузить пространство допустимых индивидуальных цен при уменьшении внешних влияний, чтобы выполнялась теорема 2.1.1 При исследовании данной проблемы прежде всего нужно уточнить математический смысл высказывания “уменьшение эффекта внешних влияний”.

Будем говорить, что в абстрактной модели E в состоянии x имеется ограниченный эффект внешних влияний, если имеет место следующая ситуация. Пусть для некоторого конечного T пространство состояний представляется в виде L = Lt, а множество допустимых состояtT ний в виде X = Xt, где Xt Lt, для каждого t T. Пусть для tT каждого i N, такого, что множество Pi(x) =, определено Ti T, такое, что индивидуальные предпочтения можно представить в виде Ti Ti Pi(x) = Pi (x) Xt, Pi (x) Xi = Xt Li = Lt. (2.1.2) tT \Ti tTi tTi Если для каждого i N представление (2.1.2) имеет место при любом x A(X ) domPi(.)2, причём выбор Ti не зависит от x, то мы будем говорить просто об ограниченном эффекте внешних влияний.

В терминах стандартных цен приемлемый ответ на поставленный выше вопрос, особенно важный в приложениях абстрактной модели, даёт следующая Теорема 2.1.2 Пусть выполнены условия теоремы 2.1.1, имеется ограниченный эффект внешних влияний в достижимом состоянии x и выполнено (2.1.2). Пусть в случае Pi(x) = для всех i N дополни тельно выполнено Ti = T.3 (2.1.3) iN Здесь стандартным образом полагается dom Pi(.) = {y X | Pi(y) = }.

При Pi(x) = для некоторого i условие (2.1.3) не накладывается.

34 Глава 2. Экономическое равновесие с нестандартными ценами Тогда существует набор стандартных векторов 1,..., n, не все из которых равны нулю, таких, что i = 0 для всех t T \ Ti, где t i = (i)tT, i L t, причём ker i(.) kerF (.), и при этом t t N Pi(x), i x, i для каждого i N, такого, что Pi(x) =.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.