WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 16 |

18 Глава 1. Введение в нестандартный анализ С целью упростить обозначения, символ обычно опускают, если в нестандартном универсуме имеется в виду какая-либо привычная операция +, <, ·, или другое “стандартное” отношение или функция. Таким образом, принято писать 3, >, =, sin, | · | (абсолютная величина или мощность) для нестандартных аналогов этих объектов, вместо 3, >, =, sin, | · |, соответственно.

Рассмотрим нестандартного индивида w, генерированного последовательностью w = (1, 2, 3, 4,...).

Здесь w является элементом множества IN нестандартных натуральных чисел, ибо wn IN для каждого n IN. Заметьте, что посколь ку каждое натуральное n IN принадлежит IN (через вложение), мы вправе записать IN IN. Так как w IN, то IN является собственным подмножеством IN. Ясно, что последовательность w больше любого натурального n IN в бесконечном числе компонент (так как она меньше n только в конечном числе позиций). Следовательно, истинно w > n для каждого n IN, и мы получили, таким образом, бесконечно большое натуральное число.

Аналогично убеждаемся в том, что величина, для = (1, 1/2, 1/3,...) должна рассматриваться как гипердействительная, которая меньше любого положительного действительного числа:

< 1/n для каждого n IN. (1.1.4) Более того, покоординатное произведение w и даёт постоянную после довательность (1, 1, 1,...), откуда заключаем w· = 1. Таким образом, мы не только нашли бесконечно большое и бесконечно малое число, но также обнаружили, что их произведение может дать действительное число.

Любое гипердействительное число IR, удовлетворяющее || < 1/n для каждого n IN, называется бесконечно малым (инфинитезималь ным). Для любых двух гипердействительных чисел x, y IR пишем x y (читается как: x бесконечно близко к y), если разница x - y бесконечно мала.

Элемент r U, для которого существует другой элемент r U из стандартного универсума, называется стандартным элементом в U.

Естественно, что элементы U, которые не являются стандартными, на зываются нестандартными элементами U. В частности, стандартными индивидами являются только элементы S; нестандартные индивиды образуют “множество” W \ S.

1.1. Нестандартный анализ: конструктивный подход Множества из W, принадлежащие U, называются внутренними;

множества из W, которые не являются внутренними, называются внешними они буквально внешние по отношению к нестандартному уни версуму U принадлежат W \ U. Примерами внутренних множеств являются IN и IR. Примеры внешних множеств множество всех стандартных натуральных чисел IN и множество всех бесконечно малых.

Можно доказать, что не существует такого элемента z Z, что z = IN или z =. Функция называется внутренней, если её график является внутренним множеством.

Подведём некоторые итоги. Выше было построено два универсума:

стандартный универсум U, который является просто суперструктурой, построенной на подходящем множестве индивидов S, и нестандартный универсум U, состоящий из множества индивидов W S и некоторых множеств из суперструктуры W. Показано, что множество U содержит бесконечно малые и бесконечно большие числа. На U существует отображение (.), действующее в U. Элементы U вида x для некото рого x U называются стандартными; прочие элементы U называются нестандартными. Множества из W, являющиеся элементами U, называются внутренними, все прочие множества внешними. Внешние множества существуют уже совокупность натуральных чисел является внешним множеством.

1.1.4 Языки и семантика Для произвольного универсума U построим соответствующий язык L = L(U), который используется для формулировки утверждений об U. Основой каждого языка L является множество A, называемое алфавитом в L, члены которого называются символами. Мы записываем A в виде A = A1 A2 A3, причём множества A1, A2, и A3 предполагаются попарно дизьюнктными и удовлетворяющими следующим требованиям.

(1) Символами, принадлежащими A1, являются = ¬ & ( ), (2) Символы, принадлежащие A2, называются переменными и образуют счётное бесконечное множество:

x1 x2 x3...

20 Глава 1. Введение в нестандартный анализ (3) Множество A3 находится во взаимно однозначном соответствии с универсумом U. Для каждого b U элемент из A3, соответствующий b, называется именем b. Символы из A3 называются константами. Конечно, в общем случае A3 бесконечно и даже несчётно.

Конечная последовательность символов алфавита L называется выражением в L. Выражение µ называется термом, если существует конечная последовательность µ1, µ2,..., µn выражений, где µn = µ, такая, что для каждого i, 1 i n истинна одна из следующих альтернатив:

(1) µi переменная, (2) µi константа, (3) µi = (µj, µk), где j, k < i, (4) µi = µj(µk), где j, k < i.

Выражение (x3(x2), x2) является примером терма. Терм, не содержащий переменных, называется замкнутым термом.

Выражение называется формулой, если существует конечная последовательность выражений 1,..., n, где n =, такая, что для каждого i, 1 i n имеет место (1) (µ = ), где µ и термы в L, или (2) (µ ), где µ и термы в L, или (3) ¬j, где j < i, или (4) (j&k), где j, k < i, или (5) (xj µ)k, где k < i, xj является переменной и µ терм в L, в который xj не входит.

Примером формулы является ((x1 = x2)&¬(x1 x2)). Вхождение переменной xi в формуле называется связанным, если существует такая формула, что является частью, содержащей вхождение xi, и при этом является формулой вида (xi µ). Вхождение x в, которое не является связанным, называется свободным. Формула, не содержащая переменных со свободными вхождениями, называется высказыванием.

Например, формула (x1 b)¬(x2 c)(x1 x2), где b и c некоторые константы, является высказыванием, так как все вхождения переменных являются связанными. Интуитивно высказывание представляет 1.1. Нестандартный анализ: конструктивный подход некоторое утверждение, значение которого не меняется в зависимости от значений входящих в него переменных.

Для формулы языка L пишем = (xi,..., xi ), 1 k когда все переменные, имеющие свободные вхождения в, включены в список xi,..., xi. В этом случае через (b1,..., bk) обозначают выска1 k зывание, полученное заменой каждого свободного вхождения xi на b1, xi на b2 и т. д.

Предполагается, что каждый замкнутый терм в L “представляет” определённый элемент универсума U и что каждое высказывание в L образует истинное или ложное утверждение об U. Все эти понятия и представления принимают точный смысл в семантике языка L, описываемой ниже.

Пусть µ замкнутый терм в L. Определим значение |µ| следующим образом:

(1) |b| = b для всех констант b U, (2) |(µ, )| = (|µ|, ||), (3) |µ()| = |µ|(||).

Используя это определение рекурсивным образом (рекурсия по длине µ), придаём значение |µ| для всех замкнутых термов. Применяя далее индукцию и теорему 1.1.6, заключаем, что |µ| U для каждого замкнутого терма µ.

Далее определим по рекурсии понятие истинности в U высказывания в языке L, что записывается как U |= и читается “ истинно в U”. Положим:

(1) U |= (µ = ) тогда и только тогда, когда |µ| = ||, (2) U |= (µ ) тогда и только тогда, когда |µ| ||, (3) U |= ¬ тогда и только тогда, когда неверно, что U |=, (4) U |= (&) тогда и только тогда, когда U |= и U |=, (5) U |= (xi µ)(xi) тогда и только тогда, когда U |= (c) для некоторого c |µ|.

22 Глава 1. Введение в нестандартный анализ Это определение представляет собой рекурсию по общему числу вхождений символов ¬, &, и в высказывание. Заметим при этом, что при полном отсутствии этих символов, так как мы имели дело с высказываниями, µ и в (1) и (2) должны быть замкнутыми термами.

Отсюда следует определённость |µ| и ||, что и задаёт базу индукции по числу вхождений указанных логических символов. А дальше рекурсия.

Формулы в L могут использоваться не только для формулировки утверждений об U, но также для определения подмножеств в U. Пусть A U. Тогда множество A называется определимым, если существует формула = (x) в L, такая, что A = {b U | U |= (b)}.

Напомним, что все прочие (привычные) логические операции могут быть выражены посредством операций, рассмотренных выше. Действительно, пусть, произвольные формулы в L, xi переменная и µ терм в L. Тогда полагаем ( ) для ¬(¬&¬), ( ) для ¬(&¬) и (xi µ) для ¬(xi µ)¬. Тем самым понятие истинности распространяется на все привычные математические высказывания.

1.2 Три техники Теория нестандартного анализа работает с двумя структурами стандартным универсумом и нестандартным универсумом. Кроме того, имеется формальный язык, который применяется для формулировки разного рода утверждений в каждой из этих структур.

Имеется три основных инструмента вида математической техники нестандартного анализа. Первый из них это принцип переноса, который, грубо говоря, утверждает, что любое утверждение, истинное в стандартном универсуме, является истинным в нестандартном, и наоборот. Другая техника это теорема направленности. Эта теорема гарантирует, что расширенная структура содержит достаточно много идеальных элементов и, в частности, включает в себя все мыслимые пополнения, компактификации и т. д.. Третья техника это принцип доказательства от противного в предположении, что то или иное множество является внутренним. Множество S элементов нестандартного универсума называется внутренним, если S само является элементом нестандартного универсума; в противном случае S называется внешним множеством.

1.2. Три техники 1.2.1 Принцип переноса Имеется ровно два универсума, которые будут рассматриваться в дальнейшем и относятся собственно к нестандартному анализу. Это стан дартный универсум U и нестандартный универсум U. Далее пишем L = L(U) язык, используемый для стандартного универсума, и L = L( U) для нестандартного. Если высказывание в L, то пи шем |= вместо U |=. Аналогично, если высказывание в L, то используем |= вместо U |=.

Далее, мы пополним область определения, введённого ранее отображения (.), множеством всех формул и термов языка L. Именно, пусть терм или формула в L. Определим как терм (или формулу) в L, полученную из замещением каждой константы b U в соответству ющей константой b U в языке L. Следующий факт является весьма важным и широко используется в “нестандартных” доказательствах.

Теорема 1.2.1 (Принцип переноса) Пусть высказывание в L.

Тогда |= тогда и только тогда, когда |=.

Принцип переноса образует один из основных инструментов нестандартного анализа. Математическая теорема, эквивалентная |= при некотором высказывании в L, может быть доказана посредством де монстрации того, что |=.

С целью продемонстрировать продуктивность принципа переноса, рассмотрим последовательность действительных чисел s = {sn | n IN} IR. Тогда выполнено |= (n IN)(r IR)(sn = r).

По принципу переноса истинно |= (n IN)(r IR)(( s)n = r), что влечёт, что s отображает IN в IR. В последующем, так как s является стандартным элементом в U, будем естественно писать sn для s (вместо громоздкого ( s)n), даже если n бесконечно. Далее докажем следующий критерий сходимости стандартной последовательности s.

Теорема 1.2.2 Число r IR является пределом s = (sn) тогда и только тогда, когда sn r для всех n IN \ IN.

24 Глава 1. Введение в нестандартный анализ Доказательство. Пусть sn r. Возьмём некоторый > 0, IR. Из определения предела для этого существует такой n0 IN, что |= (n IN)(n > n0 |sn - r| < ).

Применяя принцип переноса, заключаем |= (n IN)(n > n0 |sn - r| < ).

Заметьте, что опять мы пишем n0, r, без, поскольку эти числа яв ляются стандартными индивидами в U. Так как n0 конечно, то имеем |sn - r| < для каждого n IN \ IN. В силу произвольности в выборе заключаем |sn - r| 0, т. е. sn r для каждого бесконечного натурального n IN \ IN.

Докажем обратное. Пусть sn r для всех n IN \ IN. Возьмём и зафиксируем произвольный > 0, IR. Так как sn r для всех бесконечных n, то |sn -r| < для всех бесконечных n. В частности, если n0 является некоторым фиксированным бесконечным натуральным, то |sn - r| < для всех n > n0. Следовательно |= (n0 IN)(n IN)(n > n0 |sn - r| < ).

По принципу переноса получаем |= (n0 IN)(n IN)(n > n0 |sn - r| < ), что является стандартным определением того факта, что r является пределом последовательности (sn).

Используя принцип переноса также можно легко доказать, что множество всех стандартных чисел IN является внешним. Действительно, известно, что каждое ограниченное подмножество IN имеет максимальный элемент. Тогда из принципа переноса заключаем, что каждое вну треннее ограниченное подмножество IN имеет максимальный элемент.

Множество IN является подмножеством IN и ограничено любым бесконечным натуральным. Легко видеть, что максимальный элемент IN, если существует, не является элементом IN. Это противоречие показывает, что на самом деле IN является внешним множеством относительно универсума U.

Полезным следствием принципа переноса является следующая ха рактеризация множества A для определимого множества A U.

1.2. Три техники Теорема 1.2.3 Пусть A = {b U ||= (b)}, где формула в L, является множеством в U (т. е. A U). Тогда A = {b U | |= (b)}.

В заключение отметим, что в некотором смысле последняя теорема верна не только для элементов из U, но также и определимых подмножеств A U. Если положить A = {b U | |= (b)}, то можно доказать, что множество A не зависит от конкретного вида определяющей его формулы, но только именно от множества A.

1.2.2 Теорема направленности Начнём данный раздел с определения направленного отношения.

Определение 1.2.1 Бинарное отношение r U называется направленным относительно U (или просто направленным), если для любого конечного набора a1,..., ak dom(r) существует такой элемент b, что (ai, b) r для всех i = 1,..., n.

Основным результатом о направленных отношениях является Теорема 1.2.4 (Теорема направленности) Пусть r направлен ное отношение в U. Тогда существует такой элемент b U, что ( a, b) r для всех a dom(r).

По определению направленного отношения для каждого конечного подмножества A из области определения dom(r) отношения r найдётся такой элемент qA U, что (a, qA) r для всех a A. Интуитивно, теорема направленности обеспечивает существование такого (нестандартного) b, который представляет собой “предел” точек qA как только A “приближается” к dom(r).

С целью иллюстрации практической полезности теоремы направленности, мы докажем ниже нестандартную теорему отделимости, которая утверждает, что любые два выпуклых дизьюнктных подмножества некоторого векторного пространства могут быть строго разделены нестандартной гиперплоскостью.

Теорема 1.2.5 (Маракулин [22]) Пусть X и Y любые два непересекающихся выпуклых подмножества векторного пространства L. То гда существует внутренний линейный функционал f : L IR, такой, что f(x) > f(y) x X, y Y.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.