WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 16 |

Первый результат этого типа появился в пионерской работе Брауна и Робертсона [3], основанной на понятии гиперконечной экономики чистого обмена. Описание достижений в этой области равновесного анализа можно найти в [12] и [1]. Имеется также множество других приложений методов нестандартного анализа к математической экономике и теории игр. В их числе работы по моделям с перекрывающимися поколениями экономических агентов, с бесконечным временным горизонтом, экономикам с общественными благами, бескоалиционным играм с “большим” числом игроков и т. д. Во второй главе настоящего пособия будет показано, как с помощью методов нестандартного анализа разрешается проблема существования экономического равновесия при отсутствии в модели (очень нереалистичного) условия Слейтера в задаче потребителя или каких-либо его аналогов (survival assumption).

1.1 Нестандартный анализ: конструктивный подход Типичным в истории развития математики является метод, основанный на введении и изучении идеальных элементов, обеспечивающих существование решения уравнений, ранее таковых не имевших. Древние греки открыли, что уравнение x2 = 2 неразрешимо в рациональных числах; проблема разрешается через введение идеального элемента 2, а в дальнейшем и собственно множества действительных чисел как пополнения множества рациональных. Подобным образом комплексные числа появляются посредством введения идеального элемента i = -1.

1.1. Нестандартный анализ: конструктивный подход Лейбниц1 (1684) впервые вводит в рассмотрение бесконечно малые как идеальные элементы, которые не равны нулю и неотрицательны, но при этом меньше любого положительного действительного числа. Таким образом, бесконечно малые появляются как решение семейства неравенств x > 0; x < 1, x < 1/2, x < 1/3,... (1.1.1) Бесконечно малые играли важную роль в созданном Лебницем дифференциальном исчислении. Например, по Лейбницу производная функции определялась как наклон функции на интервале бесконечно малой длины. Лейбниц постулирует, что множество действительных чисел, пополненное бесконечно малыми, обладает теми же свойствами и удовлетворяет тем же правилам оперирования с его элементами, что и множество обычных действительных чисел. К сожалению, эти воззрения не являлись непротиворечивыми. К примеру, известно, что каждое ограниченное множество действительных чисел обладает точной верхней гранью. Однако что произойдёт если рассмотреть бесконечно малые Очевидно, что множество бесконечно малых обозначим его далее как ограничено любым положительным действительным числом. Предположим, что у существует точная верхняя грань. Теперь, если бесконечно малое число, т. е. если удовлетворяет неравенствам (1.1.1), то таким же является число +, ибо неравенство + < 1/n следует из < 1/2n для всех натуральных n IN. С другой стороны, так как > 0, то должно быть + >, что противоречит тому факту, что является точной верхней гранью множества. Наконец, если предположить, что не является бесконечно малым, то получаем > 1/n для некоторого n IN. Однако 1/n больше любого бесконечно малого числа противоречие с тем, что является точной верхней гранью.

Теория, построенная Абрахамом Робинсоном [13], избегает такого рода парадоксов, поскольку использует язык и обоснования математической логики. В рамках этой теории “принцип Лейбница” формулируется в следующем виде: существует расширение множества действительных чисел, включающее бесконечно малые и имеющее те свойства числовой прямой, которые выражаются в определённом формальном языке. Таким образом, свойство числа быть бесконечно малым не имеет соответствующего описания в языке. В таком случае в нестандартном анализе говорят, что совокупность бесконечно малых является внешним множеством (будет пояснено ниже).

Leibniz G. Nova methodus pro maximis et minimis// Acta Eruditorum. Leipzig, 1684.

12 Глава 1. Введение в нестандартный анализ Конечно, изложенные положения и комментарии достаточно приблизительны. Чтобы предмет нестандартного анализа стал действительно ясным, неопытному в этой области читателю необходимо обратиться к детализированным руководствам (некоторые из них указаны выше).

1.1.1 Фильтры Конструкция нестандартного универсума (мира нестандартной математики) основана на методах математической логики, причём при этом используется понятие ультрапроизведения. Чтобы прояснить существо конструкции ниже приводится понятие и сводка простейших свойств фильтров.

Определение 1.1.1 Пусть I любое непустое множество. Семейство подмножеств F 2I называется фильтром на I, если (1) A F и A B влечёт B F, (2) A, B F влечёт A B F, и, (3) F, I F.

Максимальный элемент (по включению) множества всех фильтров на I называется ультрафильтром. Другими словами, F ультрафильтр на I, если F является фильтром и для любого другого фильтра F1 включение F1 F влечёт F1 = F. Например, множество всех подмножеств в I, содержащих фиксированный элемент в I, является ультрафильтром:

Fx = {A 2I | x A}, x I.

Ультрафильтры этого вида называются главными, или тривиальными. Тот факт, что нетривиальные ультрафильтры существуют, является следствием леммы Цорна (или эквивалентной ей аксиоме выбора).

Теорема 1.1.1 (Картан) Если F0 фильтр на I, то существует ультрафильтр F на I, такой, что F F0.

Теорема 1.1.2 (Бурбаки) Если I бесконечное множество, то нетривиальный ультрафильтр на I существует.

Интересное свойство нетривиальных ультрафильтров состоит в том, что они не содержат конечных множеств.

1.1. Нестандартный анализ: конструктивный подход Теорема 1.1.3 Пусть F нетривиальный ультрафильтр на I. Тогда из A F следует, что A бесконечное.

Доказательство. Предположим, что существует такое конечное множество A, что A F. Без ограничения общности можно считать, что никакое собственное подмножество A не принадлежит F. По определению фильтра A непусто. Пусть a A. Так как F нетривиальный ультрафильтр, A должно содержать не менее двух элементов, т. е. A \ {a} =.

Рассмотрим семейство множеств G = {X I | {a} X F } и покажем, что G фильтр. Очевидно, G и I G. Если X1, X2 G, то X1 {a}, X2 {a} F, откуда (X1 X2) {a} F и X1 X2 G.

Предположим X2 X1 и X1 G. Тогда X1 {a} F и X2 {a} F, что влечёт X2 G.

С другой стороны, X F влечёт {a} X F и X G. Следовательно, G F. Более того, F является собственным подмножеством G, так как A \ {a} G, но A \ {a} F. Но последнее означает, что F не является ультрафильтром противоречие.

Определяющим свойством того, что некоторый фильтр является ультрафильтром, является тот факт, что каждое подмножество A в I или его дополнение I \ A должно быть элементом фильтра.

Теорема 1.1.4 Пусть F фильтр на I. Тогда F ультрафильтр на I для каждого A I либо A F, либо I \ A F.

Следствие 1.1.1 Если F нетривиальный ультрафильтр на I, то каждое множество с конечным дополнением является элементом F.

1.1.2 Индивиды и суперструктуры Приложения нестандартного анализа начинаются с выбора подходящего множества индивидов S. Обычно в качестве S выбирается множество точек топологического пространства или, например, множество всех действительных чисел. Технически удобно считать, что члены S не являются множествами (хотя индивидами могут быть объекты, которые в распространённых изложениях определяются как множества);

т. е., если x S, то x = и утверждения t x и t x не являются осмысленными (т. е. ложны). Далее будет показано, как можно построить простейшую суперструктуру всех множеств (включая отношения и 14 Глава 1. Введение в нестандартный анализ функции), необходимую в обычных математических построениях, связанных с элементами S. Определим иерархию:

S0 = S, i Si+1 = Si 2S, i = 0, 1, 2,...

и положим S = Si.

iI N Тогда S называется суперструктурой с индивидами S. Каждый элемент из S называется индивидом суперструктуры S, и каждый элемент из S \ S называется множеством из S. Заметьте, что S, так что S1.

Следующие примеры показывают, как разного рода математические объекты могут быть представлены в суперструктуре.

• Предположим, что a1,..., an Si для некоторого i IN. Известно, что упорядоченное множество (кортеж) a = (a1,..., an) может быть представлено как множество {{a1}, {a1, a2},..., {a1,..., an}}.

Но тогда, так как каждое из множеств {a1},..., {a1,..., an} является элементом в Si+1, множество a будет элементом в Si+2.

• Предположим, что A и B два множества, такие, что A, B Si для некоторого i IN. Функция f : A B может быть определена с помощью её графика G = {(x, f(x)) | x A}. Из предыдущего примера мы знаем, что каждая упорядоченная пара (x, f(x)) является элементом в Si+2. Следовательно, G Si+2 и G Si+3. Множество всех функций из A в B тогда является элементом в Si+4.

• Рассмотрим пример модели экономики с множеством I S экономических агентов и пространством продуктов IRl. Каждый элемент из + IRl является l-мерным вектором (кортежем упорядоченной совокуп+ ностью l элементов из IR) и, следовательно, является элементом в S(предполагаем S = IR). Отношение предпочтения отождествляется с подмножеством из IRl IRl и, таким образом, является элементом в + + S3. Пара предпочтение-запасы (, i), i I, где i IRl, является i + элементом в S5. Тогда экономика обмена представляется как функция из I в множество пар вида “предпочтение-запасы” и, таким образом, является элементом в S8.

1.1. Нестандартный анализ: конструктивный подход 1.1.3 Универсумы Пусть S некоторое множество индивидов.

Определение 1.1.2 Любое подмножество U суперструктуры S называется универсумом с индивидами S, если (1) U, S U, (2) x, y U {x, y} U, (3) для каждого A U, x A выполнено x U.

Первый важный факт об универсумах состоит в том, что построенная выше суперструктура S является универсумом с индивидами S.

Теорема 1.1.5 S универсум с индивидами S.

Предположим, что r и s два элемента суперструктуры S. Если r отношение (соответствие) и существует единственный t S, такой, что (s, t) r, то пишем r(s) = t. В частности, если r является графиком некоторой функции (отображения), то r(s) обозначает значение этой функции в точке t. Во всех других случаях (если нет такого t или их имеется более двух, или r не является отношением), полагаем r(s) =. Важно, что любой универсум удовлетворяет следующему свойству замыкания :

Теорема 1.1.6 Если U универсум и r, s U, то r(s) U и (r, s) U, где (r, s) = {{r}, {r, s}} упорядоченная пара.

Далее всюду в этом разделе, когда мы говорим о стандартном универсуме с индивидами S, или просто о стандартном универсуме, обозначенном как U, то это означает, что рассматривается суперструктура S, т. е. полагается U := S.

Ниже излагается вариант конструкции другого, так называемого нестандартного универсума U, индивиды которого включают элементы S и свойства которого тесно связаны со свойствами U.

Итак, пусть F некоторый нетривиальный ультрафильтр на множестве натуральных чисел IN. Будем говорить, что некоторое свойство элементов из IN имеет место п. в. (почти всюду), или для почти всех n IN, если множество чисел n, для которых это свойство выполнено, принадлежит F.

16 Глава 1. Введение в нестандартный анализ При построении нестандартного универсума используются последовательности f = (fn)nI, отображающие IN в U. Для каждого i IN N определим Zi как множество всех последовательностей f, отображающих IN в U, для которых fn Si п. в. Наконец, пусть Z = Zi.

iI N Множество Z поставляет “сырьевые ресурсы” для конструкции нестан дартного универсума U.

Далее отметим, это важно, что имеется естественное вложение стандартного универсума U в Z. Именно, отождествим элемент r U с постоянной последовательностью r, т. е. положим rn = r для всех n IN.

Например, таким образом полагается, что 4 = (4, 4, 4,...) Z0.

Далее фиксируем любой нетривиальный ультрафильтр F на IN. Для двух последовательностей f и g из Z0 положим f g, если fn = gn почти всюду. Из определения ультрафильтра следует, что является отношением эквивалентности на Z0. Теперь для f Z0 определим f = {g Z0 | g f}. (1.1.2) Таким способом отношение “расчленяет” Z0 на дизьюнктные классы эквивалентности. Далее положим W = { f | f Z0}, принимая это множество в качестве совокупности нестандартных индивидов. Отметим, что из определения ультрафильтра и в силу вложения S в Z0 следует, что для любых двух различных x, y из S выполнено x = y. Это означает, что можно корректным образом отождествить каждый x S с элементом x W. В таком случае, например, класс эк вивалентности 3, содержащий последовательности вида (1, 2, 3, 3, 3,...) и (2, 1, 3, 3, 3,...), отождествляется с натуральным числом 3. Таким образом, имеем S W, и теперь можно сказать, что для x S имеет место x = x.

На следующем шаге определим суперструктуру W, полагая i W0 = W, Wi+1 = Wi 2W, i 2 & W = Wi.

iI N И наконец определим универсум U, который состоит из множества W и определённых (не всех!) подмножеств W, ассоциируя, по некоторому 1.1. Нестандартный анализ: конструктивный подход рекурсивному правилу, с элементами f Zi, соответствующие элемен ты f Wi. Действительно, f были выше определены для f Z0.

Пусть натуральный k 0, f Zk+1 \ Zk, и предположим, что g уже определены для всех g Zi, i k. Положим f = { g | g Zk и gn fn почти всюду}. (1.1.3) Другими словами, f содержит такие элементы g, для которых (любой) его “прототип” g Z удовлетворяет условию gn fn для почти всех n IN. Тогда по построению и рекурсии для каждого g f будем иметь g Wk. Следовательно, f Wk и f Wk+1. Более того, таким способом мы фактически определили отображение (.) : Z W.

В итоге нестандартный универсум, соответствующий U, определяется по формуле U = { f | f Z}, или, иначе говоря, U является образом Z при отображении (.):

U = (Z) W.

Имеет место следующая Теорема 1.1.7 U является универсумом в суперструктуре W.

Так как U Z (через вложение), то каждому элементу, (который может быть множеством в обычном смысле!), стандартного универсума U сопоставляется определённый элемент суперструктуры W. Например, из построения U следует, что в -образах множеств IR, IN, определены и обладают привычные свойствами алгебраические операции + и ·, а также отношение упорядочивания >. В частности, множество ги пердействительных чисел IR является элементом W1, генерированным последовательностью (IR, IR, IR,...) Z1. Несложно видеть, что > яв ляется таким отношением на IR, что x > y xn > yn п. в.

Причем из конструкции ясно, что это свойство не зависит от того, ка кой именно представитель выбран из классов эквивалентности x и y, представляющих x и y.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.