WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 |

Наконец, необходимо подходящим образом определить механизм стоимостного регулирования. Положим T = I J {c}, где индекс “c” отвечает множеству Xc допустимых общественных благ, и определим p c Qabs = { (q1,..., qn) (L )N | (qii, qi ), q1j Qp Qc i I, j J & (qi)t = 0, t = i, t I & (qi)t = 0, i = 1, t J }. (3.3.10) p c Здесь (qii, qi ) это “фрагмент” вектора qi, отвечающий потреблению p c агента i, где qii для частных, а qi общественных благ. Аналогично, (qi)t это “фрагмент”, отвечающий t T. Заметьте, что только у 1-го агента компоненты индивидуальной цены, соответствующие производственному сектору, могут принимать ненулевое значение.

Из построения множества Qabs и определения предпочтений в абстрактной модели следует, что в качестве эффективной области изменения цен можно принять подпространство Leff = { (q1,..., qn) (L )N | (qi)t = 0, t = i, t I & (qi)t = 0, i = 1, t J }.

116 Глава 3. Неоклассические модели экономики Функции распределения дохода зададим по формулам p j abs c i (y, q, p) = qii, i + qi, c + i [ yj, q1j ]jJ при i = 1 и i N. Для i = 1 положим p j abs c 1 (y, q, p) = q11, 1 + q1, c + (1 - 1) yj, q1j.

jJ Так же как и в модели Эрроу–Дебре легко убедиться в том, что услоp вия i Xi, c Xc и 0 Yj при выпуклых Yj для всех i I и j J влекут истинность предположения A7 в абстрактной модели ибо abs принадлежит бюджетному множеству при i 2, а n+1 n+r (1, 2,..., n, c, (1 - 1 )yn+1,..., (1 - 1 )yn+r) находится в бюджетном множестве агента 1.

Прежде чем перейти к теореме существования равновесий с нестандартными ценами, установим следующий вспомогательный результат.

Лемма 3.3.1 Пусть q1, q2,..., qn L. Тогда условие ker qi kerF N для q = (q1,..., qn) Leff эквивалентно существованию такого p IRl, что p (i) qii = p i I;

c (ii) qi = q = -(q1j)c, q1j = -(p, q) j J ;

I (iii) (qi)t = 0, t = i t, i I;

(iv) (qi)t = 0, i = 1 t J, i I.

Доказательство леммы 3.3.1. По определению имеем -1 p c p c kerF = F (0) = [F ]-1(0) [F ]-1(0) = kerF kerF.

С другой стороны, для любого линейного h : L IR условие ker(h) kerF эквивалентно p c h (kerF ) = (kerF ) + (kerF ).

Таким образом, чтобы получить необходимую характеризацию, нужно p c p определить (kerF ) и (kerF ). Легко видеть, что h (kerF ) p IRl : h i = p, h c = 0, h j = (-p, 0) IRl+s i I, j J, 3.3. Экономики с общественными благами c и h (kerF ) q IRs : h i = 0, h c = q, h j = (0, -) IRl+s i I, j J.

q Учитывая условие q = (q1, q2,..., qn) Leff и, таким образом, qi = h + h, имеем искомый результат.

N Существование равновесий с нестандартными ценами и фиксированной схемой перераспределения избыточных стоимостей в модели Epg будет установлено для полиэдрального множества допустимых состояний и основано на применении теоремы о существовании -квазиравновесий в абстрактной модели.

Теорема 3.3.1 Пусть модель Epg удовлетворяет предположениям p A1–A4. Дополнительно предположим, что Xi, Xc и Yj полиэдральны p и при этом i Xi, c Xc, 0 Yj при всех i I, j J. Пусть также 0 int Qp, 0 int Qc и существует i0 I локально ненасыщаемый потребитель, т. е. такой, что (xi, xc) cl Pi (x, xc, y) при 0 pg любом (x, xc, y) X. Тогда для любого 0, IRI существует -равновесие с нестандартными ценами, такое, что = при некотором нестандартном 0.

Доказательство теоремы 3.3.1. Доказательство идёт симметрично теореме 3.2.1 о существовании нестандартных равновесий в модели Эрроу– pg Дебре. Напомним, что в условиях полиэдральности X и A4 предположение A3 эквивалентно A3. Таким образом, в силу условий теоремы выполнены предположения A1–A5 и A7 в абстрактной модели экономики. Проверка закона Вальраса предположения A6 осуществляется с помощью тех же аргументов, что и в теореме 3.2.1. В данном случае нужно положить T1 = {1, c} J и Ti = {i, c} для всех i = 1.

Далее, используя локальную ненасыщаемость 1-го агента (так можно считать без ограничения общности), заключаем, что для оптимальных реакций (x, xc, y, q) имеет место q1j, yj q1j, Yj j J.

Отсюда, в силу 0 Yj, следует q1j, yj 0, что даёт [ q1j, yj ]- = - q1j, yj для всех j J. Последнее из определений и после несложных вычислений даёт abs i (y, q) = qi, abs, N N что доказывает A6.

118 Глава 3. Неоклассические модели экономики Итак, выполнены все условия теоремы 2.3.1 в абстрактной модели, отвечающей Epg, используя которую, заключаем, что существует -квазиравновесие, такое, что = при некотором нестандартном 0. Пусть (x, xc, y, q) и есть это -квазиравновесие, а (x, xc, ) (x, xc, y) нестандартное состояние экономики, отвечающее определению 2.3.3 и обладающее свойствами, указанными в теореме 2.3.1. Опять, также как в доказательстве теоремы 3.2.1, из локальной ненасыщаемости 1-го агента следует q1j, j q1j, Yj j J, (3.3.11) откуда, используя свойство (ii) определения квазиравновесия, а также из построения, несложно заключить, что Pi(x, xc, y) не пересекается с p p p j c c st{(x i, xc ) (Xi Xc) | qiix i + qi xc qiii + qi c - i j, q1j + i} jJ (3.3.12) для всех i N. Действительно, проверки требует только случай i = 1, ибо qij = 0 для i 2, j J по построению Qabs, а дальше из определения равновесия. Напомним, что в рассматриваемом случае бюджетное ограничение для i = 1 имеет вид p p j c c q11xp + q1xc + q1jyj q111 + qi c + (1 - 1) j, q1j + 1, jJ jJ p xp X1, xc Xc, yj Yj, j J. Однако опять, в силу теоремы 2.3.(см. последний фрагмент), последнее неравенство остаётся истинным при замене в его левой части xp, xc, yj на xp, xc, j и, кроме того, 1 1 1 имеет место abs P1 (x, xc, j) B1(, p, q) =.

Отсюда, стандартным образом используя ненасыщаемость 1-го агента, заключаем истинность нужного соотношения (грубо говоря величину q1jyj нужно перенести в правую часть бюджетного неравенства и J “сократить” с q1jj).

J Наконец, используя (3.3.11) и полиэдральность X, заключаем, что q1j, j = q1j, yj, j J, что можно подставить в (3.3.12). Чтобы закончить доказательство, осталось воспользоваться свойством q = (q1,..., qn) QabsLeff, пунктом (iv) определения нестандартного квазиравновесия, что влечёт ker qi kerF, и применить принцип переN носа к лемме 3.3.1.

3.4. Конечность числа нестандартных равновесий 3.4 Конечность числа нестандартных равновесий Джерард Дебре, один из основоположников равновесного анализа, в [5] впервые установил конечность числа равновесий для “почти всех” экономик чистого обмена. Тем самым чисто математическими методами была подтверждена самодостаточность понятия экономического равновесия, которое, будучи представлено ранее как чисто дескриптивное понятие, теперь уже можно было принять в качестве полноценного экономического решения11. Подход Дебре основывался на рассмотрении такого класса моделей, где все параметры фиксированы, но изменяются исходные запасы экономических агентов. Используя теорему Сарда, применённую к функции избыточного спроса, Дебре установил конечность равновесий для почти всех в смысле меры Лебега экономик.

Несколько позже появились и другие подходы, основанные на изменениях другого параметра модели, функций полезности участников экономики. Здесь используются методы дифференциальной топологии и в первую очередь теоремы Р. Тома об открытости и плотности трансверсальных сечений. П. Дубей был одним из первых, кто использовал эту технику, в [6] он доказал, в частности, конечность (и неэффективность) числа равновесий Нэша для “почти всех” игр в нормальной форме. Впоследствии его результаты были обобщены автором на случай моделей экономики [21]. Термин “для почти всех” понимается здесь как “для всех экономик из открытого всюду плотного (или массивного) подмножества в соответствующем функциональном пространстве “полезностей”. С целью придать законченность теории равновесия с нестандартными ценами необходимо прояснить вопрос о конечности отвечающих им равновесных распределений.

Чтобы дать корректный ответ на этот вопрос, мы будем использовать второй подход, т. е. варьируются функции полезности участников экономики. Последнее вызвано тем, что при “вариациях” исходных запасов нестандартные равновесия “почти всегда” являются обычными равновесиями (ибо почти всегда исходные запасы потребителей находятся во внутренности потребительских множеств и, следовательно, будет выполнено условие Слейтера в задаче потребителя), что очевидным образом (в силу теоремы Дебре) влечет их конечность. В то же время если исходные запасы фиксированы и расположены на границе потреЕдинственность равновесий реализуется довольно редко, необходимы дополнительные ограничения на модель типа условия валовой заменимости.

120 Глава 3. Неоклассические модели экономики бительских множеств, (а именно этот случай наиболее реалистичен), то условие Слейтера выполняется не для всех цен, и вопрос о конечности нестандартных равновесий становится нетривиальным.

Для исследуемого вопроса наличие производственного сектора в модели экономики не является математически значимым фактором, но делает изложение более громоздким. Поэтому мы ограничимся рассмотрением простейшей модели экономики чистого обмена, описанной в §3.и представленной четверкой Em(u) = I, IRl, {Xi, ui, i}iI, Q.

Напомним значение параметров этой модели. Здесь I = {1,.., n}, множество номеров потребителей, Xi IRl, i I их потребительские множества, где IRl пространство продуктов, а l их число;

i Xi, i I начальные запасы потребителей, и Q IRl множество допустимых цен. Предпочтения потребителей задаются с помощью функций полезности ui : Xi IR по правилу I Pi(x) = {yi Xi | ui(x|yi) > ui(x)}, i I, где по определению (x|yi) = (x1,..., xi-1, yi, xi+1,..., xn).

Вопрос о конечности нестандартных равновесий будет исследоваться применительно к понятию равновесия с нестандартными ценами и фиксированной схемой перераспределения избыточных стоимостей, отвечающему определению 3.1.1. Отметим, что, в рамках модели Em(u) и сделанных предположений, это понятие эквивалентно понятию обобщённого равновесия, введённого в §3.1. Там же была установлена общая теорема существования (теорема 3.1.1) нестандартных равновесий этого типа. Ниже приводится адаптированная формулировка этого понятия.

Определение 3.4.1 Допустимое состояние x Xi экономики I Em(u) называется равновесием с нестандартными ценами p Q и фиксированной схемой перераспределения избыточных стоимостей IRI, 0, если выполнены условия:

(i) индивидуальная рациональность: ui(x) = max{ui(x|x i) | x i Bi (p)} для каждого i I;

(ii) сбалансированность: xi = i, I I где максимум в (i) берется по множеству Bi (p) = st{x Xi | px pi + i}.

3.4. Конечность числа нестандартных равновесий В отличие от традиционных, равновесия с трансферабельными стоимостями предполагают возможность перераспределения избыточной стоимости (т. е. стоимостей, не израсходованных агентами, достигшими насыщения в своем потреблении) между “ненасыщенными” агентами.

Причем передача избыточных стоимостей может осуществляться как для величин стандартного типа, так и для бесконечно малых. Важной особенностью рассматриваемой ситуации является то, что агент может и не потреблять наилучший с его точки зрения набор благ, т. е. не достигать насыщения в обычном смысле, но при этом для увеличения полезности ему требуется стоимость бесконечно большая относительно имеющейся у него неизрасходованной стоимости. В этом и состоит специфика используемого нами термина “насыщаемость”, предопределённая нестандартностью цен и трансферабельных стоимостей. В идеале ситуацию можно интерпретировать как существование некоего “банка”, принимающего от агентов ненужную им стоимость и выдающего её в виде кредитов желающим их получить. Можно, однако, просто считать, что посредством трансферабельных стоимостей осуществляется расширение бюджетных возможностей участников, позволяющее им достигать равновесного состояния в ситуации, когда этого нельзя сделать в рамках традиционных бюджетных ограничений.

В рассмотренном выше примере 3.1.1 число состояний нестандартного равновесия с трансферабельными стоимостями конечно, однако в общем случае гипотеза о конечности неверна. В следующем примере имеется континуум нестандартных равновесий с трансферабельными стоимостями (рис. 3.4.1).

x x1 u2 = u1 2 = 3 xРис. 3.4.Пример 3.4.1 Рассмотрим экономику обмена со следующими параметрами. Пусть X1 = X2 = X3 = {(x1, x2) | 0 xj 10, j = 1, 2}, 122 Глава 3. Неоклассические модели экономики Q = {p IRl | p 2}, u1 = 5 - (x1 - 1)2 - (x2 - 2)2, u2 = u3 = x1, 1 = (2, 1), 2 = 3 = (2, 0). Несложный анализ показывает, что точки x1 = (1, 1), x2 = (2 +, 0), x3 = (3 -, 0), 0 1, будут нестандарт ными равновесиями с трансферабельными стоимостями при p = (, 1), = (0,, (1 - )), 0, 0. Более того, ясно, что для всех достаточно малых “возмущений” функций полезности в данной экономике имеется бесконечное число (континуум) нестандартных равновесий с трансферабельными стоимостями.

Отметим ещё раз, что если в примере 3.4.1 рассмотреть “вариации” исходных запасов, то число равновесий будет конечным “почти всегда”.

Последнее должно быть ясно, ибо в этом случае в “возмущенной” модели условие Слейтера (здесь это i 0, i = 1, 2, 3) будет выполнено “почти всегда”, а значит, нестандартные равновесия с трансферабельными стоимостями являются обычными равновесиями (в силу утверждения 2.4.2 и ненасыщаемости предпочтений, что исключает p = как цены равновесия). Именно поэтому, исследуя вопрос о конечности числа нестандартных равновесий с целью получить нетривиальный математический результат, мы должны использовать “вариации” функций полезности, а не исходных запасов (как это было сделано в работе [5]).

В этом разделе вводится специфическое понятие нестандартного равновесия, аналогичное определению 3.1.1, но с конкретизированными трансферабельными стоимостями, которое далее условимся называть -равновесием. Пусть стандартный вектор = (1,..., n) строго положителен и фиксирован.

Определение 3.4.2 Распределение x Xi называется состояниI ем -равновесия экономики Em(u), если найдутся такие IR, и p Q, что (x, p) является -равновесием при =.

Нижеследующее определение выделяет класс -равновесий, конечность которых будет доказываться.

Определение 3.4.3 Состояние -равновесия x Xi невырождеI но, если найдется такой i0 I, что выполнено включение xi intXi.

0 В дальнейшем всюду полагаем Xi и i фиксированными для всех i I. Основной результат будет установлен при следующих предположениях.

3.4. Конечность числа нестандартных равновесий FA1. Для всех i I множество Xi выпуклое, замкнутое, ограниченное снизу полиэдральное множество (многогранник), причем int Xi =.

FA2. Функции полезности ui участников экономики определены и дважды непрерывно дифференцируемы на некоторой непустой от крытой окрестности X множества X.

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.