WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |

Доказательство теоремы 3.2.1. Доказательство будет основано на применении теоремы 2.3.1 о существовании нестандартных abs квазиравновесий к модели абстрактной экономики EAD, построенной выше. Сразу укажем, что без ограничения общности мы будем считать в условиях теоремы i0 = 1 (т. е. потребитель с номером 1 является локально ненасыщаемым на X ). Условия теоремы 3.2.1 обеспечивают предположения A1–A5 и A7, а также A3 применительно к модели abs EAD (напомним, что из построения и условий следует A7, а из полиэдральности X и A3, A4 следует A3, см. замечание 2.2.1). Таким образом, чтобы воспользоваться теоремой 2.3.1, достаточно установить A закон Вальраса. Сделаем это.

Положим Ti = {i} при i I, i 2 и T1 = {1} J. Здесь Ti Tk = для всех i = k и Ti = T = I J. Следовательно, существует N единственное согласованное отображение проектирования g : LN L, такое, что (g(z1,..., zn))t = (zi)t при t Ti и любом i I. По выбору Ti и определению abs(y, q) достаточно рассмотреть оптимальные реакции i 1-го агента. Итак, пусть abs abs q1, (x, y) q1, P1 (x, y) & P1 (x, y) B1(x, y, q) =, где abs B1(x, y, q) = {(x, y ) X | q11, x 1 + q1j, yj 1 (y, q)}.

J abs{T1} По построению P1 (x, y) = P1(x, y) Yj и при этом xJ cl P1(x, y). Ясно, что первая часть предыдущего соотношения возможна 108 Глава 3. Неоклассические модели экономики только если q1j, yj q1j, Yj j J, откуда в силу 0 Yj заключаем q1j, yj 0 = [ q1j, yj ]- = - q1j, yj j J.

Теперь, подставляя эти равенства в правую часть (3.2.6) и суммируя (3.2.5) и (3.2.6) по i I = N, с учётом построения Q, см. (3.2.4), находим abs i (x, y, q) = qii, i = qi, (1,..., n, 0,..., 0), N N N что и доказывает A6.

Итак, пусть (x, y, q) -квазиравновесие абстрактной модели, су ществующее в силу теоремы 2.3.1, где =, 0, IR. Пусть также (x, ) (x, y) нестандартное состояние модели, отвечающее определению 3.1.1. Теперь в силу теоремы 2.3.1 (см. последнее из заключений теоремы), “устройства” отображения проектирования g(.), а также ввиду ненасыщаемости 1-го агента и того факта, что является “фрагментом” его оптимальной реакции, заключаем, что q1j, j q1j, Yj, j J. (3.2.7) При этом, поскольку 0 Yj для всех j, то бюджетные ограничения имеют вид j qii, x i qiii - i q1j, j + i, i I (3.2.8) J для i 2. Кроме того, в силу пункта (ii) определения нестандартного квазиравновесия, для 1-го агента имеет место abs P1 (x, y) stB1(, q) =, где множество B1(, q) = B1 задаётся формулой j B1 = {(x, y ) X | q11x 1 + q1jyj q111 + (1 - 1) q1j, j + 1}.

J J Если y, q1J < y, q1J для некоторого y Yj, то из локальной ненасыщаеJ мости найдётся x 1 P1(x, y), такой, что (x 1, y1), q1 < q1, (x, y) противоречие с первой частью предыдущего соотношения.

3.2. Экономики с производством модель Эрроу–Дебре Последнее условие эквивалентно P1(x, y) pr| [stB1(, q)] = 7. ОдXнако в силу (3.2.7) при определении проекции нестандартного мно жества B1(, q) (очевидно, что в силу “прямоугольности” X порядок применения операций проектирования pr| [.] и взятия стандартной Xчасти множества может быть любым) в левой части определяющего его бюджетного неравенства величины q1j, yj можно заменить на q1j, j, что после их “переноса” в правую часть даёт ограничение j q11x 1 q111 - 1 q1j, j + 1. Таким образом, для всех i I имеет J место j Pi(x, y) st{x i Xi | qiix i qiii - i q1j, j + i} =. (3.2.9) J Далее, по определению -квазиравновесия должно быть q A(Q), откуда получаем ker qi kerF & q Leff p IRl : p = qii i I & qit = 0, t = i, i = 1 i I t T & q1j = -p j J.

Теперь, чтобы получить искомый результат, достаточно заменить в (3.2.9) “компоненты” вектора qi на p или -p и установить тот факт, что pj = pyj для всех j.

Чтобы убедиться в последнем, воспользуемся (3.2.7), что в данном случае даёт p, j p, Yj, j J, и полиэдральностью Yj. Действительно, без ограничения общности можно считать Yj многогранником (в силу ограниченности A(X )), т. е.

предположить, что Yj = co Aj при некотором конечном Aj IRl.Но тогда множество решений задачи pyj max, yj Yj может быть записано в виде coA j для некоторого A j Aj. Таким образом, вектор j представляется как (нестандартная) выпуклая комбинация конечного числа (стандартных) точек из IRl, на которых нестандартный функционал p достигает максимума и, очевидно, pa = pa для всех a, a A j. Отсюда по линейности заключаем pj = p(st j), что ввиду st = y всё доказывает.

Напомним, что pr|X [A] это проекция множества A X на X1.

Можно также в общем случае использовать лемму Фаркаша.

110 Глава 3. Неоклассические модели экономики Заканчивая данный раздел, приведём пример, показывающий, что условия выпуклости и замкнутости множества Y IRl недостаточ но, для того, чтобы из p, y p, Y при y Y следовало бы p, st(y) p, Y. Любопытно, что в двумерном случае это всегда так (легко доказывается).

Пример 3.2.1 Пусть Y IR3 и определён следующим образом:

{(y1, y2, y3) IR3 | y = h(x1, x2, 0)+(1-h)(0, 0, 1), 0 h 1, x2+x2 1}.

1 Другими словами, Y представляет из себя выпуклую оболочку диска единичного радиуса с центром в нуле в подпространстве, определённом ортами e1 и e2, с точкой (0, 0, 1) это круговой усечённый конус, представленный на рис. 3.2.1.

yyb a yРис. 3.2. Выберем точки a = (,, 0), b = (0, 0, 1), принадлежащие Y, и 2 1+ 1+ проведём через них опорную гиперплоскость. Эта гиперплоскость опре1 деляется вектором нормали p = (,, 1). Действительно, вы2 1+ 1+ числение показывает, что p, a = p, b = 1/2. Однако при этом для y Y имеем y, p = hx1 hx2 1 + + (1-h)= (x1, x2),, h + (1 - h).

2 1+ 1+ 2 1 + 2 2 1 + 2 Положим x = (x1, x2) и d =,. По условию ||x||2 = 2 1+ 1+ x2 + x2 1 и ||d||2 = 1. Поскольку x, d = ||x||2||d||2 cos(), где 1 3.3. Экономики с общественными благами угол между векторами x и d, то x, d 1 и, значит, p, y 1/2, т. е.

p, Y p, a. Однако 1 p, st(a) = < p, a = p, b =, 2 1 + т. е. отрезок (st(a), b] не пересекается с {y Y | p, y p, st(a) }.

3.3 Экономики с общественными благами Модель экономики с общественными благами характеризуется наличием продуктов специального вида, которые по своим физическим качествам являются продуктами общественного потребления. Примерами общественных благ9 являются общественные теле- и радиотрансляции, уличное освещение, дороги, разного рода продукция типа “безопасность” (полиция, государственная оборона и т. д.). Список примеров можно продолжить, однако ясно, что во всех этих случаях имеется продукт (благо), одновременно потребляемый многими агентами. Этот продукт нужно воспроизводить (ремонтировать дороги, производить телепрограммы и осуществлять вещание), что нужно как-то финансировать.

Понятно, что финансирование воспроизводства продукта коллективного потребления должно осуществляться за счёт всех его потребителей.

В неоклассической теории децентрализованной экономической системы в основу механизма стоимостного регулирования общественных благ положено понятие индивидуальных стоимостных оценок, вычисляемых как произведение индивидуальной цены на общий объём потребления.

Конечно, в экономике могут быть и обычные продукты, процессы обмена и воспроизводства которых осуществляются по обычным рыночным правилам. В теории определяется соответствующее понятие равновесия (по Линдалю), обладающее в том числе тем свойством, что отвечающие ему состояния экономики оптимальны по Парето. Трудным теоретическим вопросом является проблема практического определения индивидуальных цен. Действительно, в случае продуктов индивидуального потребления этот вопрос решается автоматически, посредством рыночного механизма, основанного на большом числе сделок обмена, методом “нащупывания”. По отношению к общественным благам этот способ не срабатывает, ибо индивиды в принципе не могут обмениваться частями общественных благ10. С теоретической точки зрения индивидуальные В англоязычной литературе “public goods”.

Поэтому на практике рекомендуется всегда, когда это возможно, посредством разного рода специфических приёмов “представлять общественное благо как част112 Глава 3. Неоклассические модели экономики цены должны быть пропорциональны маргинальным нормам замещения (обмена), а в терминах функций полезности фрагменту градиента, отвечающему общественным благам. Таким образом, чтобы “вычислить” индивидуальные цены, нужно обладать сугубо частной информацией о предпочтениях индивидуумов, что практически неосуществимо.

Формально модель экономики с общественными благами имеет следующий вид. В модели имеется конечное число потребителей, образующих множество I = {1,..., n}, и конечное число производителей (фирм) J = {n + 1,..., n + r}. В экономике представлено l типов продуктов частного потребления, их номенклатура {1,..., l}, и s видов общественных благ, занумерованных индексами {l + 1,..., l + s}. Таким образом, всего имеется l + s продуктов. Потребители оснащены индивидуализированными потребительскими множествами частных продуктов p Xi IRl и общим для всех потребителей множеством допустимых к потреблению общественных благ Xc IRs. Здесь IRl+s это пространство продуктов. Кроме того, потребители обладают исходными запасами частных продуктов i IRl, i I, а экономика в целом запасами общественных благ c IRs. Фирмы могут производить и затрачивать как частные так и общественные блага, их производственные возможности заданы посредством технологических множеств Yj IRl+s, j J. Производственные планы yj Yj будут записываться в виде p p c yj = (yj, yj), где yj IRl соответствует продуктам частного потреблеp c pg ния, а yj IRs общественного. Множество X = Xi Xc Yj I J отождествляется с совокупностью всех допустимых состояний, а проpg странство L = IRln+s+r(l+s) X есть пространство состояний. Предpg почтения потребителей определены на X и принимают значения в p p pg Xi Xc, т. е. Pi : X Xi Xc. Как мы видим, в данной модели имеются внешние влияния, сконцентрированные в сфере общественных благ. Кроме того, так же как и в модели Эрроу–Дебре, определены доj n+1 n+r ли i 0 компоненты вектора i = (i,..., i ) потребителя i в прибыли производителя j. Эти величины удовлетворяют условию j i = 1 для всех j J (т. е. прибыль полностью распределяется iI между акционерами).

Процессы обмена и воспроизводства благ регулируются посредством индивидуальных цен на общественные блага qi IRs и рыночных цен p IRl на продукты частного потребления. Множество Qc IRs определяет допустимые наборы индивидуальных цен для каждого потребиное”, с тем чтобы задействовать рыночный механизм. Примером может служить переход к счётчикам при оплате водоснабжения.

3.3. Экономики с общественными благами теля, а Qp IRl это множество всех допустимых рыночных цен.

Механизм стоимостного регулирования определяется как обычно, с помощью функций распределения дохода i : Yj Q IR, где J Q = Qp [Qc]I, которые задают бюджетное ограничение p xi, p + xc, qi i(y, q, p), xi Xi, xc Xc, i I, где y = (y1,..., yr) Yj, q = (q1,..., qn) [Qc]I и p Qp. В чисто J неоклассическом варианте функции распределения дохода “вычисляются” по формуле j p c i(y, q, p) = i, p + c, qi + i (pyj + qyj), i I, jJ где q = qi. Как видим, в последнем случае “доходы” формируются I из трёх источников: от продажи исходных ресурсов i по рыночным ценам p, индивидуализированной стоимостной оценки общественных благ qi, c и как “сумма дивидендов” из прибыли производителей. Отметим (это важно), что прибыль определяется с помощью “производственных цен” (p, q).

Кратко модель экономики с общественными благами может быть записана в виде p Epg = I, J, IRl, IRs, { Xi, Pi(.), i, i }iI, {Yj}jJ, Xc, Qc, Qp, c.

В неоклассической постановке в качестве равновесия (по Линдаpg лю) принимается такое состояние z = (x, xc, y) X и набор цен (p, q1,..., qn) Q, что при q = qi выполняется I p p c c qyj + pyj qj + pj, j J, p c для каждого (j, j) Yj (принцип максимизации прибыли производителями); имеет место xip + xcqi i(y, q, p) и Pi(x, xc, y) Bi(y, q, p) =, i I;

и при этом выполнены: баланс по продуктам частного потребления p xi = i + yj I I \J и баланс общественных благ c xc = c + yj.

J 114 Глава 3. Неоклассические модели экономики Здесь Bi(y, q, p) это бюджетное множество потребителя i, заданное по формуле p Bi(y, q, p) = {(xi, xc) Xi Xc | xip + xcqi i(y, q, p)}.

Как это следует из формального определения, в понятие равновесия по Линдалю в модели Epg заложен принцип максимизации прибыли производителями по совокупным производственным ценам (p, q), q = qi.

I Прочие требования, предъявляемые в понятии равновесия с общественными благами, имеют обычный содержательный смысл и аналогичны соответствующим условиям, которым удовлетворяет конкурентное равновесие модели Эрроу–Дебре. Нужно только обратить внимание на специфическую форму балансовых ограничений общественных благ это принципиально и следует из содержательной стороны вопроса.

С целью перейти к понятию равновесия с нестандартными ценами необходимо определить понятие бюджетного множества. При фикси рованных y Yj, нестандартных ценах (p, q) Q и для нестанJ дартного i 0 положим p Bi (y, q, p) = {(xp, xc) Xt Xc | xpp + xcqi i(y, q, p) + i}.

i i Величины i 0 условимся, как обычно, называть трансферабельными стоимостями, а вектор = (1,..., n) схемой перераспределения избыточных стоимостей.

pg Определение 3.3.1 Состояние экономики (x, xc, y) X, набор нестандартных индивидуальных цен q = (q1,..., qn), qi Qc, i I и нестандартный вектор рыночных цен p Qp называется равновесием модели Epg с фиксированной схемой перераспределения избыточных стоимостей = (1,..., n), IRI, 0, если выполнены условия (i) (xi, xc) stBi (y, q, p) i I;

(ii) Pi(x, xc, y) stBi (y, q, p) = i I;

p p p c c c (iii) p, yj + qi, yj p, j + qi, j (j, j) Yj, j J ;

I I p c (iv) xi = yj + i, xc = yj + c.

iI jJ iI jJ Исследование модели Epg и проблемы существования равновесий с нестандартными ценами будет осуществлено стандартным приёмом, посредством сведения Epg к модели абстрактной экономики. С этой целью 3.3. Экономики с общественными благами положим N = I, а в качестве пространства состояний L и множества допустимых состояний X возьмём p L = IRln+s+r(l+s) & X = Xi Xc Yj, I J соответственно.

abs Предпочтения агентов абстрактной экономики Pi : X X определим по формуле p abs Pi (x, xc, y) = Xt Pi(x, xc, y) Yj t =i tN J для всех i N и (x, xc, y) таких, что Pi(x, xc, y) =. Ясно, что таким образом определены предпочтения с ограниченными внешними влияниями.

Далее определим балансовый оператор F : L IRl+s, полагая F = p c p c (F, F ), где F : L IRl и F : L IRs задаются тождествами p p c c F (x, xc, y) = xi - yj & F (x, xc, y) = xc - yj, (x, xc, y) L.

I J J Примем в качестве “исходного состояния” вектор abs = (1, 2,..., n, c, 0,..., 0) L.

В таком случае имеем F (abs) = ( i, c).

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.