WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 16 |

Действительно, каждому обобщённому равновесию можно поставить в соответствие нестандартный вектор цен p = 1e1 + 2e2 + · · · + kek Q, где коэффициенты j IR удовлетворяют единственному требованию j+1/j 0, j > 0 для всех j = 1, 2,..., k (k+1 = 0), и набор нестандартных трансферабельных стоимостей i из условия i/k µi = h·i (т. е. полагаем = k h). Тогда в силу теоремы 2.4.2, где нужно принять w = i, = i при j(p, ) = k заключаем, что stBi (p) является множеством, определяемом в (3.1.2), (3.1.3), и, следовательно, совпадает с Bi (e1,..., ek). Таким образом, каждому обобщённому равновесию отвечает нестандартное, удовлетворяющее определению 3.1.1.

Чтобы убедиться в обратном, предположим, что задано некоторое нестандартное -равновесие, такое, что =, где 0 некоторый заданный стандартный вектор и 0. Чтобы охарактеризовать бюджетные множества, вновь воспользуемся теоремой 2.4.2. Отметим, что номер j, фигурирующий в этой теореме в описании структуры i множеств B (p, i) = stBi (p), является общим для всех i I (ибо i/i = i/i 0 при = 0), т. е. j = j(p, i) = j(p, i ) = j(p, ), при любых i = i. Теперь, при /j, выберем в качестве обобщённой цены набор функционалов {er}r=j, тот же вектор, а в качестве h возьr=мём st(/j). В случае /j в качестве обобщённой цены примем {er}j-1, и h = 0. В силу теоремы 2.4.2, формул (3.1.2), (3.1.3) и по r=определению имеем искомый результат.

Прежде чем сформулировать теорему существования обобщённых равновесий, которая является, таким образом, следствием теоремы 3.1.и 2.4.2, напомним, что при полиэдральных Xi, i I и A4 предположение A3 слабая непрерывность предпочтений эквивалентно предположению A3 открытость графика предпочтений, см. замечание 2.2.1.

Теорема 3.1.2 Пусть Em удовлетворяет A2 – A4, потребительские множества Xi полиэдральны, i Xi, а функции дохода определяются 3.1. Модель рынка с нестандартными ценами как i(p) = p, i, i I. Тогда, если 0 intQ, то при любом существуют обобщённые -равновесия.

Иерархия стоимостных оценок, положенная в основу понятия обобщённого равновесия, индуцирует иерархическое расслоение экономических агентов, что позволяет дать этому понятию следующую интерпретацию (см. также [4]). Действительно, в состоянии обобщённого равновесия потребителей экономики Em можно расклассифицировать по при знаку принадлежности бюджетных множеств Bi (e1,..., ek) к тому или иному типу, определяемому соотношениями (3.1.2), (3.1.3). Точнее, для t = 1,..., k определим At I как множество At = {i I | t = t(i)}, где номер t(i), определённый выше, отвечает номеру первого ограничения, удовлетворяющего условию Слейтера. Далее, в пространстве продуктов IRl всегда можно перейти к другому ортонормальному базису, обладающему тем свойством, что первые k l базисных векторов совпадают с векторами e1, e2,..., ek. Содержательно последнее означает переход от отдельных продуктов к “продуктовым корзинам”. В таком случае можно предполагать, без ограничения общности, что вектора e1, e2,..., ek изначально совпадают с единичными ортами исходного пространства продуктов. Теперь тот факт, что i At можно понимать так, что данный агент обладает ненулевыми ресурсами продукта t (в количестве (i)t - (i)t, где вектор i был определён выше), которые могут быть реализованы (проданы) на t-м рынке. Имеющаяся иерархия стоимостных оценок предполагает, что при i At, t < k потребитель i может потреблять любое количество продуктов с номерами t + 1,..., l, или, в другой терминологии, обменять сколь угодно малое количество продукта t на любое (сколь угодно большое) количество продукта более низкого иерархического уровня. Наличие механизма перераспределения избыточных стоимостей означает, что если i At вдруг решит потреблять продукт t в количестве меньшем, чем имеется у него в наличии (т. е. если он достиг насыщения), то неизрасходованный остаток этого ресурса должен быть передан агентам данного и более низких уровней.

Последнее очевидно приводит к тому, что агенты более низких уровней, получив ненулевое количество ресурса t, поднимаются на уровень t. В особом случае, когда потребительские множества совпадают с положительным ортантом, в пространстве продуктов можно не переходить к новому базису, а ситуацию интерпретировать как расслоение общего рынка продуктов на “подрынки”, на каждом из которых ходит собственная “валюта”, причём так, что агенты данного рынка всегда имеют доступ на рынки более низкого уровня и способны “обменять” единицу своей валюты на любое количество валюты “более низкого качества”.

102 Глава 3. Неоклассические модели экономики При этом существует строгий запрет на вход на рынок более высокого уровня. Данилов – Сотсков в [4] указанную ситуацию описывают в терминах меновых стоимостей, допуская возможность пропорциям обмена обращаться в 0 или.

3.2 Экономики с производством модель Эрроу–Дебре Неоклассическая модель децентрализованной экономики типа Эрроу– Дебре предполагает наличие двух секторов потребительского и производственного. Производственный сектор описывается конечным множеством фирм (более общо производителей), каждая из которых характеризуется посредством собственного производственного (технологического) множества, описывающего производство в терминах “потоков”, и формально является подмножеством пространства продуктов. Цель фирмы, являющейся по определению акционерным обществом, состоит в максимизации прибыли (математически выраженной как скалярное произведение вектора цен на технологический вектор), которая затем распределяется среди “пайщиков” (акционеров). Потребительский сектор включает в себя конечное множество потребителей, описанных так же, как в модели рынка. Единственное отличие состоит в способе определения функций распределения дохода: потребители формируют свой доход из двух источников от продажи имеющихся у них в наличии исходных ресурсов, а также из дивидендов по акциям фирм, которые предполагаются полностью распределёнными между потребителями. В краткой математической форме модель представлена следующей шестёркой:

EAD = I, J, IRl, {Xi, Pi, i, i}iI, {Yj}jJ, Q.

Здесь I = {1, 2,..., n} множество номеров потребителей, J = {n + 1, n + 2,..., n + r} номера производителей; IRl пространство продуктов, где {1, 2,..., l} их номенклатура; Xi IRl потребительское множество потребителя i, где xi Xi его потребительские планы, а Yj IRl производственное (технологическое) множество фирмы j, где yj Yj производственные планы этой фирмы.

В данном случае X = Xi Yj IRl(n+r) является множеством I J допустимых состояний, где IRl(n+r) = L играет роль пространства состояний. Каждый потребитель характеризуется также вектором исходных ресурсов i IRl и отношением предпочтения Pi : X Xi, 3.2. Экономики с производством модель Эрроу–Дебре i I. Таким образом, как и в случае модели рынка, предполагается, что в модели Эрроу–Дебре отсутствуют внешние влияния. Величиj n+1 n+r ны i 0 компоненты вектора i = (i,..., i ) указывают на долю (в акциях, дивидендах и т. д.) потребителя i в j-м производстве.

j Из контекста ясно, что они должны удовлетворять условию i = iI для всех j J.

Механизм стоимостного регулирования в модели EAD определяется посредством множества допустимых рыночных цен Q IRl и функций распределения дохода i : X Q IR, определённых по формуле j i(x, y, p) = i(y, p) = p, i + i p, yj, i I.

jJ Первое слагаемое в доходах потребителя i представляет стоимость его исходных ресурсов, а второе, поскольку p, yj следует понимать как прибыль полученную от реализации производственного плана yj при ценах p (ибо yj описывает технологию в терминах потоков), является совокупным (суммарным) дивидендом, полученным потребителем из производственного сектора (заметьте, что эта величина может быть отрицательной). Отметим, что в модели EAD постулируется определённая форма поведения производителей, вытекающая из интересов потребителей владельцев акций, реализующая принцип максимизации прибыли при экзогенно заданных ценах p.

В стандартной постановке в качестве равновесия понимается такая тройка (x, y, p) X Q (совокупность всех потребительских и производственных планов и отвечающий им вектор цен), что выполнено условие баланса xi = yj + i, I J I производители максимизируют доход pyj p, Yj & yj Yj j J, а потребители решают “задачу потребителя” имеет место xip i(y, p) и при этом Pi(x) Bi(y, p) = i I, где по определению Bi(y, p) = {y Xi | pxi i(y, p)} 104 Глава 3. Неоклассические модели экономики бюджетное множество потребителя i.

Чтобы перейти к понятию равновесия с нестандартными ценами, прежде всего необходимо уточнить используемое здесь понятие бюд жетного множества. Для данного i I, заданных p Q, (x, y) X и нестандартного i 0 в качестве нестандартного бюджетного мно жества с трансферабельной стоимостью i примем подмножество Xi, элементы которого удовлетворяют ограничению px i(y, p) + i. Положим Bi (y, p) = {x Xi | px i(y, p) + i}, i I.

Определение 3.2.1 Состояние экономики (x, y) X и нестандарт ный вектор цен p Q называется равновесием модели EAD с фиксированной схемой перераспределения избыточных стоимостей = (1,..., n), IRI, 0, если выполнены условия (i) xi stBi (y, p) i I;

(ii) Pi(x) stBi (y, p) = i I;

(iii) p, yj p, Yj j J ;

(iv) xi = yj + i.

iI jJ iI Модель EAD может быть приведена к форме абстрактной модели экономики. Проделаем это. Положим N = I и рассмотрим то же самое множество допустимых состояний X = Xi Yj. В качестве I J предпочтений экономических агентов, принимающих свои значения в abs X, примем отображения Pi : X X, заданные по формуле abs Pi (x, y) = Xt Pi(x, y) Xt Yj ti jJ для всех i N и (x, y) X, таких, что Pi(x, y) =. В качестве “балан сового оператора” возьмём F (x, y) = xi - yj, (x, y) IRl(n+r) I J и примем как “исходное” состояние abs = (1,..., n, 0,..., 0). Ключевым в переходе от EAD к абстрактной модели является адекватное определение механизма стоимостного регулирования. С этой целью сначала определим совокупность допустимых индивидуальных цен. Пусть 3.2. Экономики с производством модель Эрроу–Дебре T = I J (по определению I J = ) и определим Qabs = { (q1,..., qn) (L )N | i I, j J : (qi)i Q, (q1)j Q & (qi)t = 0, t = i, t I & (qi)t = 0, i = 1, t J }. (3.2.4) По построению Qabs “компоненты” векторов индивидуальных цен, отвечающие производственному сектору, могут быть ненулевыми только у 1-го агента. В потребительском секторе “компонента” индивидуальной цены данного агента ненулевая, если только она отвечает потребительским планам этого агента. Легко видеть, что множество Qabs изоморфно QT L.

Далее определим функции распределения дохода. Пусть (x, y) X и q Qabs. Для i = 1 положим j abs 1 (x, y, q) = q11, 1 + (1 - 1) yj, q1j. (3.2.5) jJ Для прочих i = 2, 3,..., n определим доходы формулой j abs(x, y, q) = qii, i + i [ yj, q1j ]-. (3.2.6) i jJ В последнем случае величина z- по определению равна -z при z 0 и abs 0 иначе4. Построенную модель обозначим символом EAD.

Следует указать на некоторые важные свойства определённых выше функций распределения дохода в абстрактной модели. Поскольку j i 0, то второе слагаемое в правой части (3.2.6) будет неотрицательное. Отсюда в частности следует, что при i Xi, i 2 доходы abs i-го агента в модели EAD удовлетворяют предположению A7 (непустота бюджетных множеств). При i = 1 и 1 X1 это предположение также будет выполнено, если дополнительно предположить, что Yj выпуклы и 0 Yj для всех j J. Действительно, в таком случае вектор n+1 n+r = (1, x2,..., xn, (1 - 1 )yn+1,..., (1 - 1 )yn+r) X при любых yj Yj, xi Xi, i = 1, i N, и, следовательно, B1(x, y, q).

Существование равновесий с нестандартными ценами в модели EAD устанавливает следующая Точнее, z- = (-z) 0.

106 Глава 3. Неоклассические модели экономики Теорема 3.2.1 Пусть модель EAD удовлетворяет предположениям A1–A4. Дополнительно предположим, что Xi и Yj полиэдральны и при этом i Xi, 0 Yj при всех i I, j J. Пусть также 0 int Q и существует i0 I локально ненасыщаемый потребитель, т. е.

такой, что xi cl Pi (x, y) при любом (x, y) X. Тогда для любого 0 0, IRI существует -равновесие с нестандартными ценами, такое, что = при некотором нестандартном 0.

В соответствии с принятой символикой мы полагаем A(X ) = (x, y) Xi Yj | xi = yj + i.

I J I J I Замечание 3.2.1 Предположения теоремы 3.2.1 не являются максимально общими. В частности, полиэдральность Xi была использована только с целью применить более слабое предположение о непрерывности предпочтений A3 вместо A3 (а также из соображений симметрии с полиэдральностью производственных множеств). Полиэдральность Yj играет более существенную роль и требуется, чтобы удовлетворить условию (iii) определения 3.2.1. В общем случае (при выпуклых и замкнутых Yj) можно только гарантировать существование таких нестандартных j 0, что в “равновесии” имеет место p, yj + j p, Yj (величины j можно определить как j = pyj - pyj при некотором yj yj, yj Yj, удовлетворяющем p, yj p, Yj ). В таком случае в качестве трансферабельных стоимостей необходимо также принять j i = i + i j. Последнее обобщение может иметь значение наприJ мер, для того, чтобы установить существование стандартных равновесий (здесь можно использовать соображения подобные указанным в замечании 3.1.1 по отношению к модели рынка). Дополнительно можно заметить, что функции распределения дохода также могут иметь более общий вид. В действительности главное, что необходимо, это предполагать не общую форму их зависимости от p и y, но зависимость от стоимостных величин p, yj, j J.

Можно также отметить возможность замены требования о существовании локально ненасыщаемого потребителя на просто ненасыщаемого, используя стандартный приём, связанный с переходом в модели от исходного предпочтения к “приращённому”, см. по этому поводу [7] и [8].

Нижеследующий пример 3.2.1 показывает, что в общем случае выпуклости и замкнутости Y недостаточно, чтобы свойство p, st(y) p, Y следовало из усло вия p, y p, Y, однако при полиэдральным Y это так, и, более того, p y = p st(y), если st(y) существует.

3.2. Экономики с производством модель Эрроу–Дебре Более того, требование о том, что этот агент является ненасыщаемым на всём X, можно заменить требованием ненасыщаемости на A(X ) множестве всех достижимых состояний экономики. Действительно, если это так, то ненасыщаемость будет иметь место на некоторой окрестности множества A(X ) (из непрерывности предпочтения), и, следовательно, можно стандартным приёмом перейти к другой модели, в которой множество допустимых состояний совпадает с этой окрестностью (выпуклым замкнутым подмножеством в X ). Легко видеть, что полученное в новой модели равновесие будет также равновесием в исходной.

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 16 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.